二次型化为规范

二次型化为规范篇一：化二次型为标准型的方法二、 二次型及其矩阵表示 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 ax2?2bxy?cy2?f. （1） 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度?，作转轴（反时针方 ?x?xcos?ysin? 向转轴） ? （2） ?y?xsin?ycos? 把方程（1）化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。 （1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量 的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本的性质。 x 二次齐次多项式设 P 是一数域，一个系数在数域 P上的 x1,x2,.,的 nf(x,x,.n,?x)11a1?x12 2 12 2a1?xx?2.1n2?a1 n xx2?a?x22 2 ?2a?x x2n 2 nn .na x 称为数域 P 上的一个 n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。 设 x1,x2,.,xn；y1,y2,.,yn 是两组文字，系数在数域 P 中的一组关系式 ?x1?c11y1?c12y2?.c1nyn ? x?c21y1?c22y2?.c2nyn?2? ?x3?c31y1?c32y2?.c3nyn （4） ?.?xn?cn1y2?cn2y2?.cnnyn 称为由 x1,x2,.,xn 到 y1,y2,.,yn 的一个线性替换， 。如果 cij?0，那么线性替换（4）就称为非退化的。 在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另 aij=aji，i f(x1,x2,.,xn)?a11x1?2a12x1x2?.?2a1nx1xn?a22x2?.?2a2nx2xn?.?annxn n n2 2 2 =? i?1 ?a j?1 ij xixj 它的系数排成一个 n*n 矩阵 ?a11 a12?a1n?a21 a22?a2n A? ? ?an1 an2?anm? ? 它就称为二次型的矩阵。显然它是对称矩阵。 ?x1?x2 令 X? ?xn ? ? 于是二次型可写成 f(x1,x2,.,xn)=XAX 非退化线性替换可以表示成 X=CY 三、化二次型为标准形的方法之一：配方法 定理：数域 P 上任意二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和的形式，即标准形。 证明：下面的证明实际就是一个具体的把二次型化成平方和的方法，也就是“配方法” 。 我们对变量的个数做数学归纳法。 2 对于 n=1，而二次型就是 f(x1)?a11x1 已经是平方和的形式了。现假定对 n-1 元二次 nn ij 型，定理的结论成立。再假设 f(x1,x2,.,xn)?分三种情况来讨论： ?a i?1 j?1 xixj（aij=aji） 1）aii（i=1，2，n）中是少有一个不为零，例如 a11?0。这时 n 21 nnn f(x1,x2,.,xn)=a11x +?a1jx1xj+?ai1xix1+? j?2 i?2 ? aijxixj i?2j=2 n 21 nn =a11x +2?a1jx1xj+? j?2 ? aijxixj 2 i?2j=22 =a11 ? ?x1? ?x1? n ? j?2n n ?n?1?1 a11a1jxj?-a11?a1jxj?+? ?j?2?i?2 2 n ? j=2 aijxixj =a11 这里 n ? j?2 n?1 a11a1jxj?+? i?2? n ? j=22 bijxixj， n ? i?2j=2 bijxixj=-a ?1 11 n ?n? ?a1jxj?+?j?2?i?2 n ? j=2 aijxixj 是一个 x2,.,xn 的二次型。令? ?y1?x1? ?y2?x2?.?yn?xn n ? j?2 ? aa1jxj ?x1?y1? 即?x(转 载 于: 小 龙文 档 网:二次型化为规范)2?y2 ?.?xn?yn -1 11 n ?a j?2 -111 a1jxj nn 这是一个非退化线性替换，它使 f(x1,x2,.,xn)=a11y+? 21? bijxixj。 i?2j=2 nn 有归纳法假定，对?b ij yiyj 有非退化线性替换 i?2j?2 ?z2?c22y2?c23y3?.c2nyn? ?z3?c32y2?c33y3?.c3nyn222 能使它变成平方和 d2z2?d3z3?.dnzn。 ? ?. ?z?cy?cy?.cy n22n33nnn?n 于是非退化的线性替换 ?z1?y1 ? z?c22y2?c23y3?.c2nyn?2? ?z3?c32y2?c33y3?.c3nyn ?.?zn?cn2y2?cn3y3?.cnnyn 222 就使 f(x1,x2,.,xn)变成 f(x1,x2,.,xn)=d2z2?d3z3?.dnzn 由归纳法，即证。 2）所有 aii 都等于 0，但至少一 a1j?0（j1） ，不是一般性，设 a12?0。令 ?x1?z1?z2 ? ?x2?z1- z2 它是非退化线性替换，且使 f(x1,x2,.,xn)=2a12x1x2?.? .? ?x?z?nn 22 =2a12(z1?z2)(z1- z2)?.=2a12z1?2a12z2?. 这时上式右端是 z1,z2,.,zn 的二次型，且 z1 的系数不为 0，属于第一种情况，定理成立。 3）a11?a12?.a1n?0 由于对称性，有 a21?a22?.a2n?0 n n ij 2 这时 f(x1,x2,.,xn)? ?a i?2j?2 xixj 是 n-1 元二次型。根据归纳假设，它能用非退化线性替 换变成平方和。这样就完成了定理得证明。 说明：虽然配方法是基础方法，但在应用化简二次型时比较麻烦。配方法需要通过观察来配方，对初学者来讲，具有一定的盲目性。 四、化二次型为标准形方法之二：合同变换法（初等变换法） 由上述配方法即得： 定理 在数域 P 上，任意一个对称矩阵都合同于以对角矩阵。 即对于任意一个对称矩阵 A，都可以找到一个可逆矩阵 C 使 CTAC 成对角形。 即任意对称矩阵都可用同样类型的初等行变换和初等列变换化成与之合同的对角矩阵。 典型例题：用合同变换法化二次型为标准型，并写出非退化的线性替换。 f(x1,x2,x3)?x1?2x2?x3?2x1x2?2x1x3 2 2 2 ?1 ? 解：f(x1,x2,x3)的矩阵为 A=1 ?1? 120 ?1?0 ?1? 以下为合同变换过程： ?1 ?1?1?1?0?0?1?0?0? 1XX0011 ?1?1*(?1)0?2?1?0? 0?1? ?1?1?3?1*(1)?2? ?1 ?0?1?1?0?0? 011 110010 ?1?1?2?1*(?1)?1?1 ?0?1?1?0?0?010 011?110 ?1?1*(1)1?3? ?1?0?0 ?1? 0? ? 0 ?1? 0?2*(?1)1?3?2? ?1 ?0?0? ?1?0?0?0? 1?3? ?2*(?1)?3? ?1 ?0?0?1?0?0? ?110010 0? 0?1?0?0 ?3? ?1 ?0?0? ?110 1? 0 ?1?1 ?0?0? ?110 1?0 ?1? ?1 ?0?0? ?110 2?1 ?1? ?1?因此 D=0 ?0? 010 0?1?0，C=0?0?3? ?110 2? ?1 ?1? 令 X=CY，得 f(x1,x2,x3)=y12?y22?3y32 五、 化二次型为标准形方法之三：正交变换法（实二次型） 利用欧式空间的理论，我们得到这样的结论： 对于任意一个 n 级是对称矩阵 A，都存在一个 n 级是正交矩阵 T，使 T-1 TAT=TAT 成对角形。 nn ij 定理 任意一个实二次型 f(x1,x2,.,xn)? ?a i?1 j?1 xixj （aij=aji） 222 都可经过正交的线性替换变成平方和 f(x1,x2,.,xn)=d2z2?d3z3?.dnzn 其中平方项系数 d1,d2,.,dn 就使矩阵 A 的特征多形式全部的根。 因此只要求出特征根，二次型标准形也就求出来了。正交变换更具实用性。如： 典型例题：作直角变换，把下述二次曲面方程化成标准方程，并指出它是什么二次曲面？ x?2y?3z?4xy?4yz?1 2 2 2 解：此方程左端的二项式部分为：f(x,y,z) =x2?2y2?3z2?4xy?4yz 下把它正交替换成标准型： ?1? 它的矩阵 A=?2 ?0? ?22?2 0?1? ?2?E?A=2? 03? 2 02 ?22 =（?2） （?5） ?3 （?1）,A 的全部特征值是 2，5，-1.对于特征值 2，求出（2E-A）X=0 的一个基础解系：?2? ? 3 ?2?1?1?1?1 单位化，得?1?,把;对于特征值5，求出（5E-A）X=0 的一个基础解系：?3? ?2?2? ?3?1?3 ?1? 2? ?2?;对于特征值-1，?2?2,把?2 单位化，得求出（-E-A）X=0 的一个基础解系：?3? ?2?2? ?3? 篇二：化二次型为标准形的几种方法化二次型为标准形的几种方法 摘 要 二次型是代数学要研究的重要内容，我们在研究二次型问题时，为了方便，通常将二次型化为标准形.这既是一个重点又是一个难点，本文介绍了一些化二次型为标准形的方法：正交变换法，配方法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤，并举出合适的例题加以说明其中，偏导数法与配方法又相似，只是前者具有固定的步骤，而配方法需要观察去配方 关键词：正交变换法 配方法 初等变换法 雅可比方法 偏导数法 reduce the quadratic forms to the standard forms Abstract：Quadratic is the important content should study algebra, in our studies of quadratic problem, for convenience, will usually be quadratic into standard form. This is both a key is a difficulty, this paper introduces some HuaEr times for the standard form of orthogonal transform method, method: match method, elementary transformation, jacobian method, partial derivative method. The text introduces several methods defined and concrete step, simultaneously gives appropriate examples to illustrate. Among them, the partial derivative method and match method and similar, but the former has the fixed steps, and match method need to observed to formula. Keywords: orthogonal transform method match method elementary transformation jacobian method partial derivative method 一、 引言 二次型的本质是一个关于 n 个变量二次齐次函数，在它的表达式中除了平方项就是交叉项，没有一次项或常数项，其具体定义为： 设 P 是一个数域，一个系数在数域 P 中 x1,x2?xn 的二次齐次多项式 f(x1,x2,xn)?a11x12?2a12x1x2?.?2a1nx1xn?a22x22?.?2a2nx2xn?.?annxn2? ?axxiji j?1i?1nnj，称为数域 P 上的一个 n 元二次型 二次型具有广泛的应用性，在工程技术、经济管理、社会科学以及数学的其他分支中均需要运用到二次型，在实际运用过程中经常需要将二次型化为标准形，很多同学能够根据标准的步骤将二次型化为标准形，但是却不能很好地根据所给的题目运用最适宜的方法进行解决本文参考已有的研究结果，总结化二次型为标准形的几种方法，分析每种方法的解题原理和过程，归纳其应用特点，帮助线性代数的初学者根据题目的特点和要求采取最佳的方法解决问题，达到简明快速的目的 关于二次型化为标准型的问题，许多数学学者作了较深入的研究，获得了许多具有研究价值和参考价值的成果 庄瓦金在文【11】中给出了二次型的定义及其若干性质陈惠汝、刘红超在文【12】中将二次型和非退化线性替换用矩阵形式表示，对二次型化为标准形问题采取两种转化思路：一是联系矩阵的初等变换，把问题转化为矩阵合同变换问题；二是借助实对称矩阵特征值与特征向量的有关理论，把问题转化为用正交变换化实对称矩阵为对角形的问题这两种转化思路产生了二次型化为标准形的两种方法，即合同变换法(也称初等变换法)和正交变换法 李五明，张永金，张栋春在【7】中给出了实二次型化为标准形的方法通过观察各项进行配方，其实质就是运用非退化的线性替换使用配方法将二次型化为标准形问题时采取两种转化思路：一是含有平方项时，把平方项集中，然后配方，化为标准形；二是不含平方项时构造平方项，进行逆变换，继续第一步进 行配方，这种转化思路产生了二次型化为标准形的方法，即配方法胡明琼在【9】中给出了二次型化为标准形的方法此方法是利用二次型的矩阵的顺序主子式来确定标准形中各项平方和项的系数它要求二次形的矩阵所有的顺序主子式必须都不为零这种转化思路产生了又一种二次型化为标准形的方法，即合雅可比方法 郭佑镇在【8】中给出了实二次型的化简及应用偏导数法与配方法的实质是相同的，但是它是根据函数与其偏导数之间关系这一原理，依据配方法而提出的化二次型为标准行的新方法，解题思路与配方法极为相似把问题转化为用偏导数法实解决问题这种转化思路产生了二次型化为标准形的另一种方法，即偏导数法 孙秀花在文【13】讨论了化二次型为标准形的两种常用方法的区别：正交变换法的第一步是将二次型写成矩阵形式，然后将二次型的矩阵通过单位正交化方法进行对角化，最后利用正交矩阵得到正交变换，利用特征值得到标准形正交变换法需要求出二次型矩阵的全部特征值，即求特征方程的根，由于代数方程没有统一的求根公式，因此在操作上存在一定的困难而配方法避免了求解矩阵特征值的问题，因而使用起来比较方便 以上学者的研究为本文介绍的化二次型为标准形的六种方法奠定了基础，为以后的研究工作做出了重要贡献.本文梳理了已有的研究成果，并对六种方法做出总结，希望能够对未来的相关研究作出贡献 二、 化二次型为标准形的六种方法 （一）正交变换法 由于实对称矩阵必定与对角矩阵合同，因此任何实二次型必定可以通过一个适当的正交线性替换将此实二次型化为标准形 定理 1 任意一个实二次型 f?XAX?aijxixj（其中aij?aji）都可以经过 T i?1j?1nn 22 正交线性替换变成平方和?1y12?2y2，其中平方项的系数?1,?2.,?n 就?.?nyn 是矩阵 A 的全部特征根 由此定理得到的化二次型为标准形的方法称为正交变换法，此法的解题步骤 为：1. 将实二次型表示成矩阵形式 f?XTAX，并写出矩阵A； 2. 求出矩阵 A 的所有特征值?1,?2.,?i，它们的重数分别记为 k1,k2.,ki（k1?k2?.?ki=n） 3 求出每个特征值所对应的特征向量，因为k?k?.?k=n，所以共有 n 个特2i1 征向量?1,?2.,?i具体方法是：列出方程(?1E?A)X?0，解出与?1 对应的 k1 个线性无关的特征向量；同理求出其他的特征值?2,?3.,?i 所对应的特征向量 4 将 n个特征向量?,?.,?，先后施行正交化和单位化，得到单位正交向量组i12? ?1,?2,?,?n，并记 C =(?1,?2?,?n)T； 5 作正交变换 X?CY，则二次型 f 化为标准形f=?y2?y2?.?y2 1122nn 例 1 用正交变换方法化二次型 222f(x1,x2,x3,x4)?x12?x2?x3?x4?2x1x2?6x1x3?4x1x4?4x2x3?6x2x4?2x3x4 为标准形 解：（1）二次型的矩阵为 ?1?13?2?11?23? A=?3?21?1?23?11? 由 A 的特征多项式 1?32?1?1?12?3?=(?3)(?7)(?1)(?1) ?E?A=?32?11?2?31?1? 得 A 的特征值为?1=-3，?2=7，?3=-1，?4=1 （2）将?1=-3 代入(?1E?A)X?0 中，得到方程组 篇三：化二次型为标准型的方法一、绪论 高等代数是数学专业的一门重要基础课。该课程以线性空间为背景，以线性变换为方法，以矩阵为工具，着重研究线性代数的问题。二次型式多元二次函数，其内容本应属于函数讨论的范围，然而二次型用矩阵表示之后，用矩阵方法讨论函数问题使得二次型的问题变得更加简洁明确，二次型的内容也更加丰富多彩。本文的中心问题是如何化二次型为标准形，也就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵。 二次型是高等代数的重要内容之一，二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项，即二次型的标准型。二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题，其理论也在网络、分析、热力学等问题中有广泛的应用。将二次型化为标准型往往是困惑学生的一大难点问题，而且它在物理学、工程学、经济学等领域有非常重要的应用，因此探索将实二次型化为标准型的简单方法有重要的理论与应用价值。 我们知道，任一二次型和某一对称矩阵是相互唯一确定，而任一实对称矩阵都可以化成一对角矩阵，相应的任一实二次型都可以化为标准型。在高等代数课本中介绍了将实二次型化为标准型的两种方法：配方法和正交变换法；此外，由于任意矩阵可以利用初等变换化为对角矩阵，因此也可用初等变换法将二次型化为标准型。 通过典型例题，更能体会在处理二次型问题时的多样性和灵活性，我们应熟练掌握各种方法。 以下就是几种方法的简单介绍，并且又提出了一种新的方法：雅可比方法。我们在解决二次型问题时可对它们灵活应用。 二、 二次型及其矩阵表示 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 ax2?2bxy?cy2?f. （1） 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度?，作转轴（反时针方 ?x?xcos?ysin? 向转轴） ? （2） ?y?xsin?ycos? 把方程（1）化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。 （1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本的性质。 x 设 P 是一数域，一个系数在数域 P 上的x1,x2,.,n 的二次齐次多项式 f(x,x,.n,?x)11a1?x12 2 12 2a1?xx?2.1n2?a1 n xx2?a?x22 2 ?2a?x x2n 2 nn .na x 称为数域 P 上的一个 n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。 设 x1,x2,.,xn；y1,y2,.,yn 是两组文字，系数在数域 P 中的一组关系式 ?x1?c11y1?c12y2?.c1nyn?x?c21y1?c22y2?.c2nyn?2? ?x3?c31y1?c32y2?.c3nyn （4） ?.?xn?cn1y2?cn2y2?.cnnyn 称为由 x1,x2,.,xn 到 y1,y2,.,yn 的一个线性替换， 。如果 cij?0，那么线性替换（4）就称为非退化的。 在讨论二次型时，矩阵是一个有力