第1-5章概率论的基本概念习题及答案w

1第一章 随机变量 习题一主要知识点：事件的互不相容（互斥） 、独立的概念；加法公式、乘法公式；全概率公式及逆概率公式及其应用典型习题：同步练习一：2、12、14、21、22、29、30、312、互不相容事件与对立事件的区别何在？说出下列各对事件的关系(1) 与 互不相容 (2) 与 对|ax|x20x立事件(3) 与 互不相容 (4) 与 2018 2x相容事件(5)20 个产品全是合格品与 20 个产品中只有一个废品 互不相容(6)20 个产品全是合格品与 20 个产品中至少有一个废品 对立事件解: 互不相容: ; 对立事件 : 且ABAB)1(12.(1)设事件 A , B 的概率分别为 与 ，且 A 与 B 互斥，则 54= .)(P51A,B 互拆,则 , ,所以AB1()(5pABP(2).一个盒中有 8 只红球，3 只白球，9 只蓝球 ，如果随机地无放回地摸 3 只球，则取到的 3只都是红球的事件的概率等于 _ _14285(3) 一 袋中有 4 只白球，2 只黑球，另一只袋中有 3 只白球和 5 只黑球，如果2从每只袋中各摸一只球 ，则摸到的一只是白球，一只是黑球的事件的概率等于_ _132411452368C(4) .设 A1 , A2 , A3 是随机试验 E 的三个相互独立的事件，已知 P(A1) = , P(A2) = ，P(A3) = ，则 A1 , A2 , A3 至少有一个 发生的概率是 1-(1-)(1-)(1 ) .123123123()()()PAPAPA(5) 一个盒中有 8 只红球，3 只白球，9 只蓝球，如果随机地无放回地摸 3 只球， 则摸到的没有一只是白球的事件的概率等于 _ _4573121898930457CC14、两射手同时射击同一目标，甲击中的概率为 0.9，乙击中的概率为 0.8，两射手同时击中的概率为 0.72，二人各击中一枪，只要有一人击中即认为“中”的， 求“中”的概率.解: “甲中” ， “乙中”AB98.072.89.0)()()( APP21、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占 70%，乙厂占 30%，甲厂产品的合格率为 95%，乙厂的合格率是 80%若用事件 、 分别表示甲、乙两厂产品，B 表示合格品试写出有关事件的概率. (1) 70% (2) 30% (3) 95%)(AP)(AP)|(ABP(4) 80% (5) 5% (6) )|(B)|(B)|(320%22、袋中有 10 个球，9 个是白球，1 个是红球，10 个人依次从袋中各取一球，每人取一球后，不再放回袋中，问第一人，第二人，最后一人取得红球的概率各是多少？解:设 第 i 个人取得红球的事件 ,iA),(102i则 为第 i 个人取得白球的事件，i显然 , 10)(P )(212121 AA09)|()22 PA同理 1!0()(19211029、设有甲、乙两袋，甲袋装有 n 只白球，m 只红球；乙袋中装有N 只白球，M 只红球，今从甲袋中任取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，问取到白球的概率是多少？解：设 表示从甲袋中任取一只白球放入乙袋中的事件，1H表示从甲袋中任取一只红球放入乙袋中的事件，2112,表示从甲袋中任取一只球放入乙袋后再从乙袋中取一只白球的事B件，所求事件 21BH由全概率公式： )|()|()( 2211 HBPP易知： mnnP,(21 1)|(,)|( 21 MNHBPMNHB4于是 11)( MNmnNmnBP30、某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产品占全厂产品的比例 分别为 25%,35%,40%；并且它们的废品率分别是 5%,4%,2%(1)今从该厂产品中任取一件问是废品的概率是多少？(2)如果已知取出的一件产品是废品，问它最大可能是哪个车间生产的？解：设 “所取出的一件产品是废品” ， “产品系甲车间A1B生产” ，“产品系乙车间生产” ， “产品系丙车间2B3生产”已知 , ,5.0)(1P35.0)(24.0)(3BP, ,|BA|A2.)|3A(1)由全概率公式： 31 034540.50.2)(|()(i iiPP(2)由贝叶斯公式： 362.045.20)(|)|(11 APBBP 8)(|)|(222319.045.)(|)|(33 APBBP所以，所取出的一件废品最大可能是乙车间生产的.31、如图 1,2,3,4,5 表示继电器接点假设每一继电器接点闭合的概率为 ，且设p各继电器接点闭合与否相互独立，求 至 是通路的概率.LR5解: 设 为第 i 只继电器闭合的事件， 为有电流从 L 流向 R 的事iAB件，已知 )5,21()(npPi显然 4323421 AAB故 )()()()()() 52414325315421 APPP)()()()( 4352315432415321 AAA1253 APPP)()()( 54325341412 53pp32、在 18 盒同类电子元件中有 5 盒是甲厂生产的，7 盒是乙厂生产的，4 盒是丙厂生产的，其余是丁厂生产的，该四厂的产品合格品率依次为 0.8，0.7，0.6， 0.5 ， 现任意从某一盒中任取一个元件，经测试发现是不合格品， 试问该盒产品属于 哪一个厂生产的可能性最大 ？解: A i ( i = 1,2,3,4):“ 所取一盒产品属于甲，乙 ，丙 ，丁厂生产 ” B ：“ 所取一个元件为不合格品 ” 则 ， ， ， 185P1872A1843P1824AP， ， ， .01A.0.0B54B由全概率公式 : = iiiAPB41571801324 5L R6由贝叶斯公式 : 5710,5716,572,571043BAPBAP故该盒产品由乙厂生产的可能性最大33、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4, 0.5, 0.7飞机被一人击中而被击落的概率为 0.2，被两人击中而被击落的概率为 0.6若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率.解：设 表示“恰有 i 人击中飞机” ， 为飞机被击落，)3,210(nAi B36.075.603.56.05.4)(1 P同理 41473.02A147)(3易知 ，2.0)|(,|0ABP)|(,6.0)|(32ABPABP由全概率公式 )(|()|()|()|() 3210BP 458.0.4.063.29. 第 2 章一维随机变量 习题 2主要知识点：离散随机变量分布律的性质；分布函数的性质；常见分布的分布律、密度、分布函数。典型习题：同步练习二：一、2,5,6,8；二、3,9,13,16，20,28一. 填空题：2.设 随机变量 的分布函数为 ,则 xarctgxF127P 01 = _ _. 解： P 01 = 14 )0(F1145 设随机变量 的分布律是 4,321,kAkP则 = 0.8 。251P解： AAkk 16584141 令 得 5665212pP8.04156.若定义分布函数 ， 则函数 F(x)是某一随机变量xPF 的分布函数的充要条件是 单调不减 ，函数 右连续 ,且 F( ) = 0 ， F ( + ) ()Fx()x= 18. 设 ，记 的概率密度为 ( x ) ，分布函数为 ，(,)N ()x则 0.5 。1P,()(0.5pF1二. 计算题：3、(1)设随机变量 X 的分布律为：为常数，试确定常数 .0,21k,!aP a8(2)设随机变量 X 的分布律为： ，N,21k,aP试确定常数 .a解: (1) 因 ，0k0k0k !a!ae故 ea(2) 1aNa1aXPkN1kN1k 9、设某批电子管正品率为 ，次品率为 ，现对这批电子管进行434测试，只要测得一个正品，管子就不再继续测试，试求测试次数的分布律.解：设测试次数为 ，则随机变量 的可能取值为： ，XX,321当 时，k相当于前 次测得的都是次品管子，而第 k 次测得的是正品1管子的事件，43)(1kP),2(13 设 X 服从泊松分布，且已知 ，求XP4解： ，由 ，得!kex21x，!2!1e)0,(0, 为为 093.!42exP16. 已知连续型随机变量 的概率密度为 13()0 AxBxf且知在区间( 2，3 )内取值的概率是在区间( 1，2 ) 内取值的概率的二倍 ，试确定常数 A ，B 。9解：由条件 2132pp即 知 有 321dxBAdx10AB又 由 即 1dx31124dx解 得 A = ，B = 0B31620、设连续型随机变量 X 的分布函数为 )0(,0)( xexF求(1)常数 A,B ， (2) ，(3)概率密度3,2XP)(xf解: (1) （0= ，1(0)(0)0FAB(2) ，(3)32,1e,xexf21、某种型号的电子管寿命 X(以小时计)，具有如下概率密度：现有一大批此种电子管(设各电子管为,01)(2xxf损坏与否相互独立)，任取 5 只，问其中至少有 2 只寿命大于 1500小时的概率是多少？并求 .)(xF解：设使用寿命为 x 小时 150 1502 32|)(150 xdxPxP10，3150xP所求事件的概率： 3225 )150()10(xPxPC 5544335 )10()10()1( xPCxxC 23)(3)(3(20 52再求 xxxddfF10210)(为,01)(28、设 ，求(1) 的概率密度；(2) 的概)1(NXXeY12XY率密度；(3)求 的概率密度|Y解：(1)设 。注意xexfNxx,21)(,.02是单调可微函数,所在可应用相应的定理XeYyxeyxx 1,ln,0, 即为,01ln)(yf为,012)()(ln2yeyy(2) ，当 时， Y 的分布函数非零，2YX22111()122Y yyyFyPyPXPX11 2102212 01,yxyx Ydede当 时， ，)(yFY2120,1()xYedyyY 的概率密度 121(),()0YyfyF即 1,)1(2)(4yeyyy(3) ，当 时， Y 的分布函数|,|0YXxydxfxyPyPF )(|)(yyxxdede0221当 时， (当 时，0)FY)，()|,YFyPXy20,0()xYedy的概率密度 0,)(2)(yfyF0,2)(2yeyy12第三章 多维随机变量及其分布主要知识点：离散随机变量联合分布律与边缘分布律的关系；联合分布函数与边缘分布函数的关系；常见分布的联合分布与边缘分布；随机变量独立性的判定及应用。典型习题：同步练习三：一、5,6,8，10；二、6,8,9,10,11一、填空题5、设随机变量 的概率密度为),(YX，则 .为042,6),( yxyxkyxf k816、随机变量 的分布如下，写出其边缘分布.),(Y7、设 是 的联合分布密度， 是 的边缘分布),(yxfYX, )(xfX密度，则 1 .8、二维正态随机变量 ， 和 相互独立的充要条件是),(Y参数 0 .10、设 相互独立， ，则 的联YX, )1.0(),(NX),(YX合概率密度XY0 1 2 3 jP1 0 830 863 0 0 12iP83813， 的概率密度 ),(yxf 21yxeYXZ)(Zf.421e67p二、证明和计算题6、设随机变量 的密度函数为),(YX为00),()43(yxkeyxfy(1)确定常数 ， (2)求 的分布函数 ，(3)求),(Y。2,1YXP解：(1) 0)43(1dxekdyy，所以 。 0304 12keek xyx 12(2) yx yxvu edeF0 43)43( )(1212),(yx 0,， 或),(yx34(1),0,0xyexFory(3) )2,0(),1,()2,1, FFYXP 950.)1(83e8、设随机变量 在矩形区域,内服从均匀分布，(1)求联合概率密|),(dycbxayD度及边缘概率密度. (2)问随机变量 是否独立？YX,解：(1)根据题意可设 的概率密度为),(14为0,),( dycbxaMyxf badc cadf )(,1于是 ，故)(1cab为0,)/),( dycbxdyxf dcX abcabyxff 1)(),()(即 为01)(abfX baY cdxdxyfyf 1)(),()(即 为0/1)(cfY(2)因为 ，故 与 是相互独立的.)(,yfxfyfYXXY9、随机变量 的分布函数为)(，其 它,00,31),( yxyxFyyx求：（1）边缘密度；（2）验证 X,Y 是否独立。解：（1） ，)3(ln),( yxxy,),(22 xxF.0,y15其 它00,3ln),(2 yxyxf yx,其 它3lnl)(20 xdyf xX 其 它 0,l3ln)(20 yxf yxY(2) 因为 ，故 与 是相互独立的.)(,ffyfYXXY10、一电子器件包含两部分，分别以 记这两部分的寿命(以,小时记)，设 的分布函数为),(Y 为00,1, )(01.1 yxeeyxFyyx(1)问 和 是否相互独立？ (2)并求XY 12,YXP解：(1) 01),()0.xex),()1.yyFyY易证 ，故 相互独立.,(xxXYX,(2)由(1) 相互独立, 120120120120 YPXPPYP9.)()( 42eFYX11、设随机变量( , )的分布函数为 。FxyABarctgxCarcty()()23求：( 1 ) 系数 A , B 及 C 的值 ，( 2 ) ( , )的联合概率密度 (x , y)。16解：( 1 ) FABC(,)()21。 0,02ABCFABC()()20,2由此解得 12,( 2 ) 2226(,)(4)9Fxyxy第 4 章 随机变量的数字特征主要知识点：期望、方差的定义与性质；常见分布的分布参数与期望和方差的关系；期望和方差的计算；协方差与相关系数的计算；不相关与独立的区别与联系。典型习题：同步练习四：一、3,4,6,9,10；二、3, 5，9,11，15,16,17一、填空题3、已知随机变量 服从二项分布，且 ，则X4.1)(,.2)(XDE二项分布的参数n= 6 , p= 0.4 . 2.4,(1).np4、已知 服从 ，则. = 1 , = Xxe1)x(XE)(X1/2 . 2 22(1)_ _1()x t tEedtxeded 172_11utedt2 22(1)1()(x tDXEedted 2211()2t te6、设 相互独立，则协方差 0 .YX, ),cov(YX这时， 之间的相关系数 0 .9、若 ，且 相互独立，则 36 .4)(,8)(D, )2(YXD10、若 为常数，则 .ba, )baX)(2二、计算题3、设 的密度函数为 ，求 、X为012)(xxf )(XE)(D解: 123d)(fE022)(xx故 18)(2)( XEXD5、设连续型随机变量 的分布函数1 ,arcsin ,0)(xbF求 、 、 、 .)(XE)(D解: 为连续型随机变量，所以 为连续函数.)(xF(1)(, 02Fab181 ),1(2baF可解得; ,的概率密度 X为 ,01)(2xxFf=012dd)()( xxfE102122 d)() xXD令 ，则 txsinsin)(20tD9、设 的分布律为),(YX求 .)(,YE解: 0)10(1).02)(1( XE()10.2.1)2(01)3(0.)EY11、设随机变量 的,(YX密度函数为, 求 .为0,), xyxyxf )(XYE解: ：fEGxOy d2d),( 10xy= .4121010xx15、设区域 为 ，二维随机变量 服从 上的均匀G),(YXG分布，判断 、 的相关性、独立性.XYYX1 2 3-10.20.1000.100.310.10.10.119解: 显然，二维随机变量 的概率密度函数为),(YXGyxyxf),( 01),(所以 为 , 1dd),()(21xXfxf为 ,0122)(yfY为 ,2y因此 0d1d)()( 2 xxfXE同样可得 0Y又21()(,)dd0xxOyGfxyxyyd 所以 0)(,covYEXYX故 、 不相关，但由于),()(yxffxYX所以 与 不相互独立 .XY16、设随机变量 和 的联合分布律为Y1018820081081验证 不相关，但 不相互独立.YX,YX,证：因为 0831)(YE 0810)1()( X所以 0)()(),cov( YEXY故 不相关 .X,又 ， 83 ,11p1所以 . 故 不相互独立.YX,17、设随机变量 具有概率密度),(为020,81),( yxyxyf求 .XYYEX),cov(),(解： 67d)(81d,20 yxyxfxOy由 的“对称性”可得 .x, 67)(YE又 34d)(d81,()( 20xOy yxyxfXYE21所以 .361)()(),cov( YEXYX又 5d)d8,2022 yxyxfExOy由 的“对称性”可得 x, 3)(2Y所以 .61 ,61)()2DXEXD故 .)(,covYY第五章 典型习题主要知识点：切比雪夫不等式条件与结论；大数定律的条件与结论；中心极限定理的条件与结论典型习题：同步练习五：一、1，3, 4，5,10；二、2, 4,10,121.设随机变量 ，方差 ，则由切比雪夫不等式有)(E2)(D.|3P913. 设随机变量 相互独立且同分布, 而且有 , 129,X 1iEX, 令 , 则对任意给定的 , (,)iD 1iiX0由切比雪夫不等式直接可得 .9P291解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量 满足：X与 都存在, 则对任意给定的 , 有()EX2()D0, 或者2|P2|1.P由于随机变量 相互独立且同分布, 而且有 129,X所以,()iiED22999111()(),iiiiiEXEX9992111()().iiiiiDD4. 设随机变量 X 满足： , 则由切比雪夫不等2,EX式, 有 |4PX.16解：切比雪夫不等式为：设随机变量 X 满足 , 2(),()ED则对任意 的 , 有 由此得 02|.P21|4.()6PX5、设随机变量 ，则2)(,DE.|24310. 设供电站电网有 100 盏电灯, 夜晚每盏灯开灯的概率皆为0.8. 假设每盏灯开关是相互独立的, 若随机变量 X 为 100 盏灯中开着的灯数, 则由切比雪夫不等式估计, X 落在 75 至 85 之间的概率不小于 . 259解： , 于是()80,()16EDX1675(|80|).25PP二232、一通信系统拥有 50 台相互独立起作用的交换机. 在系统运行期间, 每台交换机能清晰接受信号的概率为 0.90. 系统正常工作时, 要求能清晰接受信号的交换机至少 45 台. 求该通信系统能正常工作的概率.解：设 X 表示系统运行期间能清晰接受信号的交换机台数, 则 (50,