第1章随机事件与概率

本章主要学习内容一、随机事件及其关系二、事件的概率三、概率 的运算四、全概率公式和逆概率公式2第一节3在我们所生活的世界上，充满了不确定性从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变万化 ，我们无时无刻不面临着不确定性和随机性 .不确定性4在一定条件下可能出现也可能不出现 的现象称为随机现象 .实例 1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币 ,观察正反两面出现的情况 ”.2、随机现象 “函数在间断点处不存在导数 ” ，等等 .结果有可能 出现正面 也可能 出现反面 .确定性现象的特征 条件完全决定结果5在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象 .“太阳从东边升起 ”,1、 确定性现象 “同性电荷必然互斥 ”,“水从高处流向低处 ”,实例自然界所观察到的现象 : 确定性现象、 随机现象随机现象 6结果有可能为 :“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”.实例 2 “抛掷一枚骰子 ,观察出现的点数 ”.实例 1 “用同一门炮向同一目标发射同一种炮弹多发 , 观察弹落点的情况 ”.结果 : “弹落点会各不相同 ”.2、随机现象7实例 3 “从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品 ”.其结果可能为 :正品 、 次品 .实例 4 “过马路交叉口时 ,可能遇上各种颜色的交通指挥灯 ”.8实例 5 “出生的婴儿可能是 男 ,也可能是 女 ”.实例 6 “明天的天气可能是 晴 , 也可能是 多云或 雨 ”等都为随机现象 .随机现象的特征 条件不能完全决定结果9从亚里士多德时代开始，哲学家们就已经认识到随机性在生活中的作用，他们把随机性看作为破坏生活规律、超越了人们理解能力范围的东西 . 他们没有认识到有可能去研究随机性，或者是去测量不定性 .10将 不定性数量化 ，来尝试回答这些问题，是直到 20世纪初叶才开始的 . 还不能说这个努力已经十分成功了，但就是那些已得到的成果，已经给人类活动的一切领域带来了一场革命 .这场革命为研究新的设想，发展自然科学知识，繁荣人类生活，开拓了道路 . 而且也改变了我们的思维方法，使我们能大胆探索自然的奥秘 .11当人们在一定的条件下对它加以观察或进行试验时，观察或试验的结果是多个可能结果中的某一个 . 而且在每次试验或观察前都无法确知其结果，即呈现出偶然性 . 或者说，出现哪个结果 “凭机会而定 ”.什么是随机现象什么是随机现象 ?带有随机性、偶然性的现象 .随机现象的特点12随机现象是不是没有规律可言随机现象是不是没有规律可言 ?No！在一定条件下对随机现象进行大量观测会发现某种规律性 .13例如 :一门火炮在一定条件下进行射击，个别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性的误差，但大量炮弹的弹着点则表现出一定的规律性，如一定的命中率，一定的分布规律等等 . 14又如 :在一个容器内有许多气体分子，每个气体分子的运动存在着不定性，无法预言它在指定时刻的动量和方向 . 但大量分子的平均活动却呈现出某种稳定性，如在一定的温度下，气体对器壁的压力是稳定的，呈现 “ 无序中的规律 ”.15再如 :测量一物体的长度，由于仪器及观察受到的环境的影响，每次测量的结果可能是有差异的 . 但多次测量结果的平均值随着测量次数的增加逐渐稳定于一常数，并且诸测量值大多落在此常数的附近，越远则越少，因而其分布状况呈现 “ 两头小，中间大，左右基本对称 ”.16随机试验随机现象是通过随机试验来研究的 .问题 什么是随机试验 ?如何来研究随机现象 ?17从观察试验开始研究随机现象，首先要对研究对象进行观察试验 . 这里的试验，指的是随机试验 .一、随机试验与事件18例如，在掷骰子试验中，“掷出 1点 ”掷出 2点19在概率论中 ,把具有以下三个特征的试验称为 随机试验 .1. 可以在相同的条件下重复地进行 ;2. 每次试验的可能结果不止一个 ,并且能事先明确试验的所有可能结果 ;3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现 .20定义 随机试验中每一种可能的结果，称为 随机事件 ，简称 事件 .记作 A、 B、 C等 .随机事件任何事件均可表示为样本空间的某个子集 .为 了 讨论问题 方便，我 们 把必然事件和不可能事件也看成是特殊的随机事件。 每次 试验 中都一定出 现 的事件，称做必然事件， 记 作 ；任何一次 试验 中都不会出 现 的事件，称做不可能事件， 记 作 ；21例如，掷一颗骰子一次，观察出现的点数S = 1,2,3,4,5,6 样本空间：事件 B: 出现奇数点 .B = 1,3,5“掷出点数小于 7”是必然事件 ;而 “掷出点数 8”则是不可能事件 .22二、事件的关系与运算1、 包含关系：A B 2、等价 :BA“ A发生必导致 B发生 ”，记为 A B 。 AB 且 BA.233、 事件的和事件的和 (并并 ):“ 事件事件 A与与 B至少有一个发生至少有一个发生 ” BA244、 事件的积事件的积 (交交 )： “ 事件事件 A与与 B同时发生同时发生 ” 记作记作 或或BA255、 互互 不相容不相容 事件事件 ：互斥完备群： n个互斥事件构成必然事件。BA266、 对立事件对立事件 (逆事件逆事件 )：注意 : 对立事件必互斥；A但互斥的事件未必为对立事件。27事件的运算律事件 间 的关系与运算与集合的关系与运算是完全相似的，运算 规 律也是完全相似的。但要注意，应该 用概率 论 的 语 言来解 释这 些关系及运算，并且会用 这 些运算关系来表示一些复 杂 的事件。 可推广到多个事件。交换律结合律分配律对偶律28例 设 A, B, C是三个事件 , 试表示下列事件： 1）三个事件至少发生一个 :2）三个事件都发生 :3） A发生而 B与 C不发生 :7）三个事件至少有一个不发生 :4）三个事件