第八章 线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数

夏尔 厄米夏尔 厄米 ，法国数学家，巴黎综合工科学校毕业，曾任法兰西学院、巴黎高等师范学校、巴黎大学教授。他的研究领域包括数论，二次型，不变量理论，正交多项式，椭圆函数和代数。 厄米 多项式、厄米规范形式、厄米算子、厄米矩阵，和立方厄米样条都以他命名。 生于 ： 1822 年 12 月 24 日 , 法国迪耶于兹逝于 ： 1901 年 1 月 14 日 , 法国巴黎8.1 常点领域方程的级数解 勒让德方程 教学目的 ： 1、 了解常点领域二阶常微分方程级 数解法； 2、 掌握勒让德方程的级数解法和勒 让德多项式的性质。 教学重点 ： 勒让德方程二阶常微分方程级数解法 。 教学难点 ： 二阶常微分方程级数解基本方法8.1 常点邻域方程的级数解 勒让德方程1.常点邻域线性常微分方程的级数解4（ 1）级数解法的基本思想： （ 2）方程的常点和奇点567(3)解的存在和唯一性定理（不证明） 由于函数 p(x),q(x)和 y(x)在圆环域 |x-x0|R内解析，所以我们： 展开 p(x),q(x)和 y(x)为泰勒级数，其中 an,bn(n=0,1,2,) 是已知的， c0和 c1由附加条件给出，而cn(n=2,3,4) 待定。 p(x),q(x)和 y(x)的 泰勒级数展开 代入微分方程（ 8.1）式得(4)常点邻域级数解基本方法 整理得（先设 k+2=n,然后再令 k=n) 比较等式两边同幂次系数求 cn(n=0,1,2,)a.(x-x0)0项 :(k=0,n=0)有b.(x-x0)1项 确定收敛半径 ,即泰勒级数收敛圆 。2. 勒让德方程 化为标准形式：点 x=x0=1是方程的奇点 ,即一阶极点 .在 x0=0点 ： p(x0)=0, q(x0)=l(l+1),即点 x0=0是常点 。（ 1） l阶勒让德方程10 设解 y(x)为一 泰勒级数求 l阶勒让德方程在 x=0的邻域内的级数解标准 方程系数: 方程奇点与 x=0点的 奇奇 常性分析常性分析 :递推公式递推公式 11代入 勒让德 方程展开第一项整理得比较同 幂 x前的系数有整理得改写上式第一项 ,即令 k=n-2进一步写上式第一项 ,即再令 n=k由于 c0的下标对应于偶数， c1的下标对应于奇数，的下标对应于奇数， 为此我们令递推公式中的下标 n分别取 n=2k-2和 n=2k-1与它们对应，即12 找出找出 cn与初始条件与初始条件 c0和和 c1间间 关系关系设 n=2k-2: 设 n=2k-1: 13这样 l 阶 勒让德 方程的级数解是：幂级数解的收敛半径所以 l 阶 勒让德 的级数解在单位圆 |x|1内收敛。在单位圆外如何？ 下面我们用 高斯 判别法 来判定 。14 但是，如果解是但是，如果解是 多项式多项式 ，因为只有有限项，所以发散问，因为只有有限项，所以发散问题不存在了题不存在了 .（ 2）勒让德多项式考察偶函数系数的递推关系：由系数的递推关系可知： 当 2n=l时时 ， c2n+2=0, 级数退化为 2n次次 多项式多项式 .由条件 :c1=0时 ,在 x=1处 , y(1)=c0y0(1)=1,确定 c0现在 ,y(x)=c0y0(x)是 2n次多项式。通过繁复计算得出其中由此确定的多项式称 2n阶勒让德多项式阶勒让德多项式 并记为 y(x)= c0y0(x)= P2n(x)，具体表达式为：或记特例同理，奇函数系数的递推关系：由系数的递推关系可知： 当 2n+1=l时，时， c2n+2=0,级数退化为 2n+1次次 多项式多项式 .确定 c1取 c0=0，则 y(x)=c1y1(x)是 2n+1次多项式。再取 c1值达到y(1)=c1y1(1)=1通过繁复计算得出由此确定的多项式称 2n+1阶勒让德多项式阶勒让德多项式 并记为 y(x)= c1y1(x) = P2n+1(x)， 具体表达式为 ：或记例例 8.2 求厄米微分方程在 x=0处的级数解 (量子力学 )解：系数函数：系数函数表示点 x=x0=0是方程的 常点 ,即在 点的邻域 ：19设解 y（ x） 为泰 勒 级数由解析函数的性质 说明：习惯上 l的取值为 0和正整数，因为当 l取负整数时，给出与 l取正整数时相同的结果。递推公式递推公式系数的两个序列20代入厄米方程化简得整理得比较 x前系数得整理得k=2n k=2n+1由系数的递推关系：当 k=2n是偶数，偶次项系数在 k=(-1)/2以后为零 , a2n+2=0 。当 k=2n+1是奇数，奇次项系数在 k= k=(-1)/2以后为零 , a2n+3=0。21由系数的递推关系 k=( -1)/2可知： ak+2=0,级数退化为 厄厄米米 多项式多项式 Hn.幂级数解的收敛半径 8.1 (3)8.2 正则奇点邻域方程的级数解 柱贝塞尔方程 教学目的 ： 1、 了解正则奇点领域二阶常微分方程级数解 法的基本定理 富克斯定理； 2、 掌握求解柱贝塞尔方程的级数解法。 教学重点 ： 各类柱贝塞尔方程的级数解法 。 教学难点 ： 正则奇点领域 二阶常微分方程级数解基本方法。上一讲 复习 线性齐次变系数常微分方程 方程的常点 ：如果 p(x)和 q(x)都在点 x0的邻域解析，则称为方程的常点。 常点领域内求方程级数解的一般步骤： （ 1）将方程常点领域内的解展开为泰勒级数，代入策分方程； （ 2）比较系数，得到系数之间的递推关系； （ 3）反复利用递推关系，求出用 c0,c1表示的系数 ck的普遍表达式，最后得出级数解 。258.2 正则奇点邻域上的级数解法正则奇点邻域上的级数解法 柱贝塞尔方程柱贝塞尔方程1 正则奇点邻域上方程的级数解如果 x0是方程 的 正则正则 奇点奇点 ，即 p(x)以 x0为不高于一阶的极点， q(x)以 x0为不高于二阶的极点 ，即其中 s1和 s2是由下列 指标指标 方程决定方程决定 的两个根s1-s20或整数：s1-s2=0或整数：正则奇点的充要条件正则奇点的充要条件 富克斯（富克斯（ Fuchs）定理：）定理：其中 p1 (x)和 q1(x)在 x=x0处解析，则 方程存在两个只有有限项 负负幂项幂项 的线性无关解。设方程比较 x同幂次项前系数 ,由的 最低次幂项（ k=0和和 n=0）的系数和为零可得进一步设方程有解：上述各式代入方程得指标方程的导出指标方程的导出 ：把 p(x)和 q(x)在 x=x0处展开为下列级数解的一阶和二阶导数 ：指标方程指标方程 (1)求出 方程 的系数函数 p(x)和 q(x)，并把 p(x)和 q(x)展开标准级数形式，正则奇点邻域上方程的级数解正则奇点邻域上方程的级数解 解题方法解题