简单线性规划的应用

1 l0:3x+2y=05x+7y=3510x+4y=40A-2-2 64210642yxO简单线性规划的应用张园和教学目标：1会用线性规划的理论和方法解决一些较简单的实际问题； 2培养学生观察、分析、联想、以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，培养学生自主探究意识，提高学生“建模”和解决实际问题的能力；教学重、难点：教学重点：把实际问题转化成线性规划问题，即建模，并给出解答教学难点：1建立数学模型把实际问题转化为线性规划问题；2寻找整点最优解的方法教学方法：讲练结合、分组讨论法教学过程：（一）讲解新课例 1、医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐，甲种原料每 含 5 单位蛋g10白质和 10 单位铁质，售价 3 元；乙种原料每 含 7 单位蛋白质和 4 单位铁质，售价 2g10元。若病人每餐至少需要 35 单位蛋白质和 40 单位铁质，试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养又使费用最省？解析：蛋白质(单位 /10g) 铁质(单位/10g) 售价(元/10g)甲 5 10 3乙 7 4 2设甲、乙两种原料分别用 和 ，需要的费用为 ，病人每餐至少需xg10yyxz要 35 单位蛋白质，可表示为 。同理，对铁质的要求可表示为 。3 401yx问题成为：在约束条件 下，求目标函数 的最小值。0,45yxz23作出可行域，令 ，作直线 。0z23:l由图可知，把直线 平移至顶点 时， 取最小值。lAz由 ， 元。)3,514(041375Ayx 57324minz2l0:20.708x-9.96y=00.3x-y=0.90.3x-y=09x+170y=453-11 221yxO所以用甲种原料 ，乙种原料 ，g281054g301费用最省。小结：简单线性规划应用问题的求解步骤：（教师示意学生观看板书，并给予适当的提示）1将已知数据列成表格的形式(这一步可以省略)，设出变量 x，y 和 z;2找出约束条件和目标函数;3作出可行域，并结合图象求出最优解; 4按题意作答例 2、某厂生产一种产品，其成本为 27 元/ ，售价为 50 元/ ，生产中，每千克产kgkg品产生 的污水，污水有两种排放方式：3.0m方式一：直接排入河流方式二：经厂内污水处理站处理后排入河流，但受污水处理站技术水平的限制，污水处理率只有 ，污水处理站最大处理能力是 ，处理污水的成本是 5 元/%85 hm/9.03 3m另外，环保部门对排入河流的污水收费标准是 元/ ， ，且允许该厂排入河流中污617水的最大量是 ，那么，该厂应选择怎样的生产与排污方案，可使其每净收益最h/2.03大？分析：为了解决问题，首先要搞清楚是什么因素决定收益净收益 = 售出产品的收入生产费用其中生产费用包括生产成本、污水处理、排污费等设该厂生产的产量为 ，直接排入河流的污水为 ，每小时净收益为 元，hxkg/ hym/3 z则：（1）售出产品的收入为 元/50（2）产品成本为 元/27（3）污水产生量为 ，污水处理量为 ，污水处理费为m3. x/).0(3元/).0(5yxh（4）污水未处理率为 ，所以污水处理厂处理后的污水排放量为15.0%8，环保部门要征收的排污费为 元/.13 ).(156.7yh（5） xyxyxxz 96.7082)3(.)3.(5270 需要考虑的约束条件是：（1）污水处理能力是有限的，即 9.0.0（2）允许排入河流的污水量也是有限的即 25.)3.)(51(解析：根据题意，本问题可归纳为：在约束条件 下，求目标函数,.4790xy的最大值yxz96.708.23作出可行域。令 ，作直线0z，由图可知，平96.708.2:yxl移直线 ，在可行域中的顶点 处, l Az取得最大值。由 )09.,3(451709.3.yx故该厂生产该产品 ，直接排入河流的污水为 时，可使每小时净收hkg/. hm/09.3益最大，最大值为 （元）4.67.82答：该厂应安排生产该产品 ，直接排入河流的污水为 时，其每小/3 /.3时净收益最大。例 3、滨江校区高一(17) 班举行元旦文艺晚会，布置会场要制作“中国结” ，班长购买了甲、乙两种颜色不同的彩绳，把它们截成 A、B、C 三种规格甲种彩绳每根 8 元，乙种彩绳每根 6 元，已知每根彩绳可同时截得三种规格彩绳的根数如下表所示：A 规格 B 规格 C 规格甲种彩绳 2 1 1乙种彩绳 1 2 3今需要 A、B、C 三种规格的彩绳各 15、18、27 根，问各截这两种彩绳多少根，可得所需三种规格彩绳且花费最少？分析：将已知数据列成下表甲种彩绳 乙种彩绳 所需条数A 规格 2 1 15B 规格 1 2 18C 规格 1 3 27单 价 8 6解析：设需购买甲种彩绳 x 根、乙种彩绳 y 根，共花费 z 元，则，z=8x+ 6y21537,xyN在用图解法求解的过程中，学生发现：直线 l 最先经过可行域内的点 A(3.6,7.8)并不是最优解,学生马上想到最优解可能是（4，8），引导学生 计算花费，花费为 80 元，有没有更优的选择?4进一步激发学生兴趣：可能是（3，9）吗? 此时花费为 78 元，可能是（2， 10）吗？此时花费为 76 元，可能是，如何寻找最优解？满足题意的点是可行域内的整点，首先要找整点，引导学生采用打网格或利用坐标纸的方法；根据线性规划知识，平移直线 l,最先经过的整点坐 标是整数最优解由网格法可得：当 x=3，y=9 时，z min=78答：班长应购买 3 根甲种彩绳、9 根乙种彩绳，可使花费最少。小结：确定最优整数解的方法：1若可行域的“顶点”处恰好为整点，那么它就是最优解；（在包括边界的情况下）2若可行域的“顶点”不是整点或不包括边界时，一般采用网格法，即先在可行域内打网格、描整点、平移直线 l、最先经过或最后经过的整点坐标是整数最优解；这种方法依赖作图，所以作图应尽可能精确，图上操作尽可能规范（二）课堂练习1已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为 200 万吨和 300 万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地.东车站每年最多能运 280 万吨煤，西车站每年最多能运 360 万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为 1 元/ 吨和 1.5 元/ 吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为 0.8 元/吨和 1.6 元/吨.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少?解析：设甲煤矿向东车站运 万吨煤，乙煤矿向东车站运 万吨煤，那么l y总运费 z=x+1.5(200x )+0.8y+1.6(300y)(万元) ，即 z=7800.5x 0.8y.x、 y 应满足： 360)(20830yxy作出上面的不等式组所表示的平面区域，设直线 x+y=280 与 y 轴的交点为 M，则M(0，280) ，把直线 l：0.5 x+0.8y=0 向上平移至经过平面区域上的点 M 时，z 的值最小。点 M 的坐标为(0，280) ，甲煤矿生产的煤全部运往西车站、乙煤矿向东车站运 280 万吨向西车站运 20 万吨时，总运费最少。 2高一年级准备组织学生分批去师大新校区参观，每天至少要派送 480 名学生学x=200y=300x+y=280x+y=140xyO5校与某旅游公司联系客运，该公司有 7 辆小巴、4 辆大巴，其中小巴能载 16 人、大巴能载 32 人 已知每辆客车每天往返次数小巴为 5 次、大巴为 3 次，每次运输成本小巴为48 元，大巴为 60 元请问每天应派出小巴、大巴各多少辆，能使总费用最少？解析：设每天派出小巴 x 辆、大巴 y 辆，总运费为 z 元，则，z=240x+180 y563074,xyN由网格法可得：x= 2，y=4 时，z min=1200答：派 4 辆小巴、2 辆大巴费用最少（三）回顾与小结1把实际问题转化成线性规划问题即建立数学模型的方法建模主要分清已知条件中，哪些属于约束条件，哪些与目标函数有关。求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的格式与步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解2求解整点最优解的解法：网格法网格法主要依赖作图，要规范地作出精确图形 （四）布置作业1、P 109 页 B 组第 2 题2、要将甲、乙两种长短不同的钢管截成 A、 B、 C 三种规格，每根钢管可同时截得三种规格的短钢管的根数如下表所示：规格类型 A 规格 B 规格 C 规格甲种钢管 2 1 4乙种钢管 2 3 1今需 A、 B、 C 三种规格的钢管各 13、16、18 根，问各截这两种钢管多少根可得所需三种规格钢管，且使所用钢管根数最少解析：设需截甲种钢管 x 根，乙种钢管 y 根，则作出可行域(如图 )：0184632yxy目标函数为 ，作出一组平行直线 中(t 为参数)经过可行域内的点且和原点距离yxzyx最近的直线，此直线经过直线 4x+y=18 和直线 x+3y