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文档简介

6 行列式按行 (列 )展开对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 .本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式 .一、引言结论 三阶行列式可以用二阶行列式表示 .思考题 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？例如 把 称为元素 的 代数余子式 在 n 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划后，留下来的 n 1阶行列式叫做元素 的 余子式 ，记作 . 结论 因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以 行列式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 例如 即有又从而下面再讨论一般情形 .分析 当 位于第 1行第 1列时 ,（根据 P.14例 10的结论）我们以 4阶行列式为例 . 思考题： 能否以 代替上述两次行变换？思考题： 能否以 代替上述两次行变换？答： 不能 .被调换到第 1行，第 1列二、行列式按行（列）展开法则定理 3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即同理可得例 （ P.12例 7续）证明 用数学归纳法例 证明范德蒙德 (Vandermonde)行列式所以 n=2时 (1)式成立 .假设 (1)对于 n 1阶范德蒙行列式成立，从第 n行开始，后行减去前行的 倍：按照第 1列展开，并提出每列的公因子 ，就有n1阶范德蒙德行列式推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即分析 我们以 3阶行列式为例 . 把第 1行的元素换成第 2行的对应元素，则 定理 3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即综上所述，有同理可得例
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