线性规划问题的常见题型

线性规划问题的常见题型吴小五 李兰琼（汨罗市第一中学 湖南 汨罗 414400）摘 要 线性规划作为高中数学中一个比较常用的知识点，也是高考中的重要考点，巧妙利用该知识，可以对函数最值、平面图形的面积、斜率范围、参数取值范围、概率问题和实际问题的解决大为简化。本文就线性规划问题简要介绍几种常见的题型。关键词 线性规划问题；可行域；求最优解中图分类号G623.5 文献标识码 A关于 x、y 的二元一次不等式组称为对变量 x、y 的约束条件，把要求最值的满足约束条件的函数（m、n 为常数）称为目标函数，在线性约束条件下求目标函数的最值问题统称为线性规划问题。线性规划作为高中数学相对独立的一个知识点，也是高考的一个重要考点（近几年各地高考试题涉及线性规划知识点的试题频频出现）。高中数学中的线性规划体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合思想，也顺应当今新课改和高考改革的趋势。如果目标函数 （其中 m、n 为常数，x、y 即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入上述函数，得到一组对应 z 值，最大的那个数为函数 z 的最大值，最小的那个数为函数 z 的最小值。在线性规划中，这种求最值的方法叫做角点法。若求函数 的最值还有一种方法，这种方法的步骤是：第一步，画出可行域（画出线性约束条件所表示的可行域）；第二步，作直线 ，平移直线 l0（据可行域，将直线 l0 平行移动）；第三步，求出最优解（x，y）；第四步，将最优解（x，y）代入 。我认为在线性规划中问题解决过程中，应突破“画” （画出线性约束条件所表示的可行域）、“移”（作平行直线）、 “求”（解方程组求出最优解），即可轻松解决。线性规划问题的常见题型有以下七类，现举例说明如下：1.求函数的最值例 1.（2009 天津高考试题）设变量 x、y 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为（ ）A、6 B、7 C、8 D、23解析：作出可行域如图阴影所示，依题意，该题有最小值。方法一：易求得 A（4，5），B（1，2），C（2， 1），将角点坐标分别代入 得 z 的值分别为 23、8、7，所以， ，选 B.方法二：作直线 ，将 l0 平移至 C 处，此时 在 y 轴上的截距为 有最小值，从而 z 有最小值，由得 C（2，1），所以， ，选 B.2.求平面图形的面积例 2（2008 年安徽高考试题）若 A 为不等式组 ，表示的平面区域，则当 a从2 连续变化到 1 时，动直线 扫过 A 中的那部分区域的面积为 .分析：由图知 BCO 为等腰直角三角形，BDE 为等腰直角三角形且 D ，则 或.3.求斜率的范围例 3.（2007 年辽宁高考试题）已知变量 x、y 满足约束条件 ，则 的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、 分析：画出可行域，如图.可看为区域内的点与（0，0）连线的斜率.答案选 A. 4.求距离例 4.（2007 年山东高考试题）设 D 是不等式组 表示的平面区域，则 D 中的点 P（x，y）到直线 距离的最大值是 .分析：可行域如右图阴影部分，观察得到 A 到 的距离最大，值是 例 5.（2006 年湖南高考题）已知 则 的最小值是 .分析：可行域如右图阴影部分，由图知 A（1，2）到原点的距离最小，所以， .5.求参数取值范围例 6.（2009 年陕西试题）若 x、y 满足约束条件 ，目标函数 仅在点（1,0）处取得最小值，则 a 的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、 分析：作出可行域如图所示，直线 仅在点（1,0）处取得最小值，由图象可知，即 其答案为 B。6.求概率例 7.（2007 年宁夏高考试题）设关于 x 的一元二次方程为 （1）若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数， b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；（2）若 a 是从区间 0,3任取一个数，b 是从区间0,2任取的一个数，求上述方程有实根的概率.分析：设“方程 有实根” 为条件 A，方程 有实根时 即 ，因为，所以 ，从而方程 有实根的充要条件为 .a（1）基本事件的总数为 ，事件 A 的个数为 4+3+2=9，所以， .a（2）试验的全部结果所构成的区域为 ，构成事件 A 的区域为，作出可行域，则 ，所求概率为.7.解决实际问题例 8（2009 年四川高考试题）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、B 原料3 吨. 销售每吨甲产品可获得利润 5 万元、每吨乙产品获得利润 3 万元，该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨、B 原料不超过 18 吨，那么该企业可获得的最大利润是（ ）A、12 万元 B、20 万元C、25 万元 D、27 万元分析：甲 乙A 3 1B 2 3利润 5 3设生产甲产品 x 吨、乙产品 y 吨，获得的利润为 .由题意得 可行域如图中阴影所