计算方法实验报告1

计算方法实验报告（三）（一）数值微分法一、实验问题已知函数 y=f(x)的数值如下，利用两点和三点数值微分公式计算 和 。(1) ”(1)x 0.6 0.8 0.9 1 1.1 1.1 1.4y 0.7360 0.8365 0.9095 1 1.1105 1.2446 1.6017二、问题的分析（描述算法的步骤等）基本的数值微分公式：()()()=0()()()其中节点等距（ ）且 x 为节点的特殊情形=0+两点数值微分公式：=( )/h(0) 10=( )/h(1) 10三点数值微分公式：=( )/2h(1) 20二阶数值微分公式：=( )/(1) 221+02三、程序设计两点数值微分公式 f0.m,f1.mf0.m:function y0 = f0( x1,x2,h )y0=(x1-x2)/h;endf1.m:function y1 = f1( x1,x2,h )y1=(x1-x2)/h;end三点数值微分公式 f11.mfunction y11 = f11( x2,x0,h )y11=(x2-x0)/(2*h);end二阶数值微分公式 f2.mfunction yy = f2( x2,x1,x0,h )yy=(x2-2*x1+x0)/(h*h);end和 结果的程序 weifen.m：得出 (1) ”(1)x=0.6 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.4 ;y=0.7360 0.8365 0.9095 1 1.1105 1.2446 1.6017;for i=1:3h=0.1*2(i-1);d(1)=f0(y(4+i),y(4),h);d(2)=f1(y(4),y(4-i),h);d(3)=f11(y(4+i),y(4-i),h);d(4)=f2(y(4+i),y(4),y(4-i),h);fprintf(h=%.1f时：,h);d=vpa(d,5)end四、计算结果五、结果分析随着 h 的增大，数值微分公式的截断误差越来越大。同时，在两点误差公式中很明显计算的误差与 的误差的绝对值基本相等，同时 的误(0) (1) 在三点数 值 微分公式中求 (1)差在三个求一阶导数的公式中最小。六、实验的总结与体会数值微分公式的截断误差是随步长 h 的减小而减小的，但由于近似式本身均用 h 作除数，所以函数值计算的舍入误差，将随 h 的减小而给导数的计算带来越来越大的误差。因此 h的选取不能过小，原则上不能使舍入误差超过截断误差。在求解微分方程时，很明显三点数值微分方程结果更加精确。（二）变步长积分法一、实验问题用变步长辛浦生积分公式和龙贝格积分法计算下列积分。（1） (2)20sin 101+二、问题的分析（描述算法的步骤等）（1）变步长辛浦生积分法步骤，要求误差小于 令 =()2,0()+(),1(+) 20,(0+41)3,1L:令 2,2,21+2,10对 =1 令 11+(+2)令 (0+41+22)3,|15,若 | 则转 ，否 则输 出 并停止 计 算（2）龙贝格积分法步骤，要求误差小于 ：（ 1） 令 ,0()+()2,12(2)对 =110做令 2,2,0对 =1 令 +(+2)令 12+,4对 =1做令 (+1)/(1)令 +1+,4若 则输 出 并停止 计 算 （ 3） 打印失 败 信息， 输 出 0并停止 计 算三、程序设计变步长辛浦生公式的函数Simpson.mfunction Svalue = Simpson( a,b,m )h=(b-a)/2;ss=f(a)+f(b);sss=f(a+h);ssss =0;s=(ss+4*sss)*(h/3);n=1;while m=nh=h/2;n=2*n;ssss =sss+ssss;sss=0;for i= 1:n;sss=sss+f(a-h+2*i*h);ends=(ss+4*sss+2*ssss)*(h/3);endSvalue = vpa(s,7);end龙贝格积分法 Romberg.mfunction Rvalue = Romberg (a,b,m)h=b-a;R(1,1)=(ff(a)+ff(b)*(h/2);n=1;j=0;while m=(n/2)j=j+1;h=h/2;T=0;for i=1:nx=a+h*(2*i-1);T=T+ff(x);endR(j+1,1)=R(j,1)/2+h*T;for k=1:jR(j+1,k+1)=R(j+1,k)+(R(j+1,k)-R(j,k)/(4k-1);endn=2*n;endR=vpa(R,6)Rvaule=vpa(R(j+1,j+1),6)nend第（1）题中的函数 f.mfunction y =f(x )y=sin(x)/x;if x = 0y=1;end end第（2）题中的函数 ff.mfunction yy = ff( x )yy=1/(1+x);end调用时的调用语句：（1）Svalue=Simpson(0,pi/2,3)Rvalue=Romberg(0,pi/2,3)（2）Svalue=Simpson(0,1,3)Rvalue=Romberg(0,1,3)四、计算结果（1）辛浦生公式的结果如下：龙贝格求积公式结果如下：（2）辛浦生公式的结果如下：龙贝格求积公式结果如下：五、结果分析由运行结果可