讲义(5)百分数应用题解析

百分数应用题我们再次熟悉一下百分数：百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数，也叫百分率或百分比。百分数是分数的一种特殊情况，它只表示两个同类量之间的倍比关系，是“分率”，而不能表示确定的量，因此，百分数后面不能带计量单位。百分数通常不写成分数的形式，而采用符号“”（叫做百分号）来表示。百分数在工农业生产（发芽率、出油率、产品合格率等），科学技术（如天气预报中的降水概率等），社会经济（利率、利润率等）各种实验（浓度问题等）中有着十分广泛的应用，特别是在进行调查统计、分析比较（达标率等）时，经常要用到百分数。成数和折扣：“成”数就是十分数，几成就是十分之几。 “折”表示十分之几或百分之几十。成数、折扣和百分数一样，是分率而不是具体数字。百分数化小数把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位（位数不够时用 0 补足）；小数化百分数，把小数点向右移动两位（位数不够时用 0 补足），同时在后面添上百分号。百分数化分数，将百分数改写成分母是 100 的分数，能约分的要约分成最简分数；分数化百分数，先把分数化小数（遇到除不尽时，按照题目要求保留几位小数，题目无要求时通常保留小数点后的三位，注意四舍五入）。百分数题型分类：1、一般百分数应用题常见题型有：（1）求常见的百分率（注意，如果是应用题，一定要在算式中“100%”；（2）求一个数比另外一个数多或少百分之几，例如：求实际比计划提高百分之几的问题，先要求出实际比计划提高的部分，再用提高的部分除以与实际相比的对象并“100%”或将所得分率化成百分数，即我们通常说的（大数小数）“比后数”；（3）甲数是乙数的百分之多少，已知其中一个数求另一个数，或甲数比乙数多（或少）百分之多少，已知其中一个数求另一个数。其实，百分数应用题中所涉及的数学思想同于前面所讲的分数应用题，只是把一般的分率换成了百分率而已。2、几类特殊的百分数应用题：（1）折扣和利润问题： 利润率=（售价 成本价） 成本价 （2）利率问题：利息 = 本金利率时间，税后利息 =利息-利息利息税率（通常是 5%），只有当题目当中强调计算“税后利息”时，才考虑利息税的问题, 利率 = 利 息 时间本金100%（3）纳税问题：税率 = 100% （应用中注意个人所得税的超额累进制）收 入纳 税 金 额（4）浓度问题：理解溶质（被溶解的物质）、溶剂（用来溶解溶质的液体，如水等）、溶液的基本含义；小学阶段，我们可以简单理解广义上的浓度：溶质和溶液的质量（或体积）的百分比。注意，题目中给出溶质、溶液的质量时，用质量比（一般是质量比，如盐水的浓度），只给出溶质、溶液的体积时，用体积比（如有些题目中的酒精溶液的浓度）。浓度问题中的基本数量关系式如下：浓度 = 100% = 100% ；溶 液溶 质 溶 剂溶 质 溶 质解浓度问题，有时可根据溶剂或溶质不变来分析数量之间的关系（抓不变量），进行推算；有时可依据题目中的数量间的相等（成比例）的关系列方程解答。典型例题（一）：折扣和利润问题1、某商品按定价的 8 折出售，仍能获得 20%的利润，定价时期望的利润百分数是多少？2、甲、乙两种商品成本共 200 元。甲商品按 30%的利润定价，乙商品按 20%的利润定价，后来两种商品都按定价的 90%出售，共获利润 27.7 元。甲、乙两种商品的成本价各是多少？3、某书店对顾客有一项优惠，凡购买同一种书 100 本以上，就按书价的 9 折收款。一所学校的老师在该书店购买甲乙两种辅导书，其中乙种书的册数是甲种书册数的 ， 只 有 甲 种 书 得 到 了539 折 优 惠 ， 这 时 ， 买 甲 种 书 所 付 的 总 钱 数 是 买 乙 种 书 所 付 的 总 钱 数 的 2 倍 。 已 知 乙 种 书 每 本定 价 是 1.5 元 ， 甲 种 书 每 本 定 价 是 多 少 元 ？4、 一个商场打折销售，规定购买 200 元以下（包括 200 元）商品不打折，200 元以上 500 元以下（包括 500 元）全部打九折，如购买 500 元以上的商品，就把 500 元以内（包括 500 元）的打九折，超出的打八折。一个人买了两次，分别用了 134 元、466 元，那么如果他一次购买这些商品的话，可节省多少元？5、一种电视机，商场里按进价加 35%定价，然后打九折出售，并且每台送“打的”费 50 元，这样，每台可获利 208 元，这种电视机的进价是多少元？6、张先生向某商店订购一种商品每件定价为 100 元的商品 75 件，张先生对商店经理说：“如果你肯降价，每件商品降价 1 元，我就多订购 4 件。”商店经理算了一下，如果降价 6%，由于张先生多订购，反而比原来多获得利润 126 元。这种商品的进价是多少元？挑战自己：某商品的进价下降 8后，而零售价保持不变，那么它的利润率比原来增加10，则原来的利润率是多少？典型例题（二）：利率问题张叔叔把 100000 元存入银行，存 3 年定期，年利率 5.4%，请计算到期时他所获得的税后利息。（利息问题的简单题型如上，计算本息和还贷、复利等问题较复杂，此处略）典型例题（三）：纳税问题王先生月工资 5000 元，按相关规定，超过 2000 元的部分需缴纳个人所得税（工资 2000元以下不缴税），2000 元-2500 元(含 2500 元)税率为 5%，2500 元-4000 元（含 4000 元）税率 10%，4000 元-7000 元（含 7000 元）税率为 15%，则王先生的税后月工资是多少？典型例题（四）：浓度问题1、（溶剂 水不变，只增加溶质）有含糖量 7%的糖水 600 克，要使其含糖量加大到 10%，需要加入多少克糖？2、（溶质不变，只加“水”）一种 35%的新农药，如稀释到浓度为 1.75%时，治虫最有效。用多少千克浓度为 35%的农药加多少千克水才能配成浓度为 1.75%的农药 800 千克？解析：（1）利用只加水，溶质不变：“浓度为 1.75%的农药 800 千克”中含有溶质8001.75%=14（千克），1435%=40 千克（需要 40 千克浓度为 35%的农药），800-40=760千克（加水 760 千克）（2）假设法：假设加入的是浓度为 35%的农药，加到 800 千克，那么其所含的纯农药将比浓度为 1.75%的 800 千克多了 80035%-8001.75%=266 千克，而实际上加入的是水，水的浓度可以看成是零，则每加 1 千克，加浓度为 35%的农药比加水会多加纯农药 1（35%-0%），则加入水的质量为：26635%=760 千克。（3）方程法：利用溶质不变，设需要浓度为 35%的农药 x 千克，建立方程，35% x =8001.75%；也可以设加水 x 千克，则需要浓度为 35%的农药（800-x）千克，（800-x）35%=8001.75%。3、在浓度为 40%的酒精溶液中加入 5 千克水，浓度变为 30%，再加入多少千克酒精，浓度变为 50%？4、（溶质和溶剂都发生了变化）现有浓度为 10%的盐水 20 克。再加入多少千克浓度为 30%的盐水，可以得到浓度为 22%的盐水？解析：（1）无论浓度为 10%的盐水还是浓度为 30%的盐水，溶质和溶剂加起来都是“100%”，将 1 千克浓度为 10%的盐水的浓度增加到 22%需要加入盐 0.12 千克而“置换”出水“0.12 千克”，1 千克的浓度为 30%的盐水的浓度增加到 22%需要加入水 0.08 千克而“置换”出盐“0.08 千克”，则 20 千克的浓度为 10%的盐水需要盐 2022%-2010%=2.4 千克，而每千克浓度为 30%的盐水可提供盐 0.08 千克 1（ 30%-22%），则需加入浓度为 30%的盐水 2.4（30%-22% ）=30 千克。（2）方程法：设需要加入浓度为 30%的盐水 x 千克，则盐水的总量增加到（ 20+x）千克，利用混合前后的溶质（盐）质量不变得：20 10%+30%x=（20+x）22%5、（同样可利用混合前后溶质的总质量不变来建立方程）将 20%的盐水