经济数学 ch6 差分方程

* 1如果时间被作为离散变量，即变量 t仅取整数值，那么，导数的概念将不再适用。微分方程被差分方程所取代。差分方程就是同时包含了内生变量现值和滞后值的等式。* 2一、离散时间、差分与差分方程v 在离散情况下，仅当变量 t从一个整数变为另外一个整数值时，例如 t=1变为 t=2时， y的值才会变化。v 现在的变化模式用差商 y/t 来表示。它是导数dy/dt在离散时间下的对应物。v 由于时间变量 t仅取整数值，因此在分析相邻两个连续时期的 y的变化时， t=1，差商 y/t 可以简化为 y，称为 y的一阶差分。v 一阶差分： yt=yt+1-ytv 二阶差分： v 2yt= ( yt) = (yt+1-yt)= (yt+2-yt+1)- (yt+1-yt)* 3v 一阶差分方程： yt+1=f(yt)v 例子：一阶线性差分方程v yt=2y t+1-yt=2v y t=yt y t+1-yt=yt y t+1=2ytv 一阶线性差分方程一般形式：v yt+1+ayt=x(t)v 如果 x(t)=0，方程是齐次方程：如果数列 yt满足方程，则数列 kyt也满足方程。v m阶差分方程：v yt+m=f(yt+m-1, yt+m-2, ， yt)* 4二、一阶差分方程的解法v 解法：v 1、作图。v 2、解析解。* 51、图解法v 一阶差分方程： yt+1=f(yt)v 第一步：计算稳态值或均衡值。v 当 yt+1=yt=y*，即 y*=f(y*)时，离散动态系统达到均衡， y*是系统的均衡值。v 第二步：以 yt+1为纵轴，以 yt为横轴，判断均衡是否是稳定的。* 6v 例 1： yt+1-0.5yt=1v 写成： yt+1=0.5yt+1v 令 yt+1=yt=y*，带入原方程，可以得到均衡值： y*=2。 v 例 2： yt+1-2yt=-1 ytyt+1yt+1=0.5yt+122y0y1y1y2稳定的稳态变化过程：给定一个初始值 y0，运动开始。在第 1期得到 y1，通过 45 线可以在横轴上得到 y1。由此可以得到第 2时期的 y2。* 7v 例 3：一阶非线性差分方程v yt+1=2yt-yt2v 首先计算均衡点：v y=2y-y2v y*=0,y*=1。v 令 yt+1=0,可以得到在横轴上的截距：0和 2。ytyt+10 211系统在 y*=0点是不稳定的；在 y*=1点是稳定的。y0y1y1y2* 8稳定性总结v 一阶差分方程： yt+1=f(yt)v 均衡值为 y*。* 9练习：蛛网模型v 在时间 t的需求 qtd取决于当前市场价格 pt，供给 qts取决于上期的价格 pt-1。当需求等于供给时，市场出清。v 判断供求均衡是否稳定。v 供求模型：v qtd=a-bptv qts=-c+dpt-1v qtd= qtsv a,b,c,d0qpp0q1p1q2p2S斜率 =1/dD斜率 =-1/b结论：当供给曲线的斜率大于需求曲线的斜率，即 d1时，模型是发散的；反之则是收敛的。* 112、解析法v 迭代法v 例 1： yt+1=yt+2，已知y0=10。v 求解：v y1=y0+2v y2=y1+2=y0+2+2=y0+22v y3=y2+2=y0+22+2=y0+32v v yt=y0+t2=10+2t例 2： yt+1-byt=0求解：yt+1=byty1=by0y2=by1=bby0=b2y0yt=bty0b的绝对值小于 1， y收敛。* 12一般方法v 1、常系数和常数项的一阶线性差分方程：v yt+1+ayt=c v 其中， a和 c是两个常数。v 方程的通解由两部分的和构成：特别积分 yp（它是方程的一个任意解），余函数 yc（它是齐次方程 yt+1+ayt=0的通解）。v 解的含义： 特别积分表示系统的瞬时均衡值，余函数表示时间路径与均衡的偏离。v 余函数的计算：v 假设变量的解为： yt=Abtv 代入齐次方程得到： Abt+1+aAbt=0v 消去非零公因子 Abt，得到 b=-av 因此，余函数为： yc=A(-a)t* 13v 特别积分的计算：v 特别积分是原方程的任意解，假设为常数 k。则 yt+1=yt=k，即 k为系统的瞬时均衡值。v 将 k代入原方程，得到 :k+ak=cv 特别积分为： yp=k=c/(1+a)， a-1 。v 如果 a=-1，那么就假设 yt=kt， yt+1=k(t+1)。v 代入原方程得到： k=c。v 特别积分为： yp=kt=ct， a=-1。表示移动均衡。* 14将特别积分和余函数相加就可以得到原方程的通解。a-1a=-1* 15练习v 求解一阶线性差分方程：v yt+1-5yt=1,y0=7/4v 余函数： yc=A5tv 特别积分： yp=-1/4v 通解为： yt=A5t -1/4v 初始条件： t=0时 ,y0=7/4,代入得到： A=2。v 答案： yt=25 t -1/4* 16v 2、常系数和可变项的一阶线性差分方程v yt=ayt-1+mtv mt是一个外生的时间函数，也被称为强制性函数。v 如果系数 a的绝对值小于 1，系统是稳定的；反之则是不稳定的。v 第一种情况： a的绝对值小于 1。v 对于任意变量 yt，定义滞后因子 L为：v Lyt=yt-1, Lnyt=yt-n。v 原方程可以表述为： (1-aL)yt=mtv 由于 (1-aL)(1+aL+a2L2+a3L3+ )=1v 所以 (1-aL)-1= 1+aL+a2L2+a3L3+* 17该项即为特别积分。当 mt为常数 m时， yt=m/(1-a)。余函数为齐次方程的解。例子：定义 Kt为 t期期末的资本存量。资本存量的变化如下：解为：t时期的资本存量等于第 1时期到 t时期的未折旧的投资总量加上 0时期的未折旧的初始资本存量。* 18v 第二种情况： a的绝对值大于 1。v yt=ayt-1+mtv 在这种情况下， yt是发散的。对于一些经济问题来说，这样的结果没有意义。另外，一些前瞻性（forward-looking）的经济变量，如资产价格，主要取决于未来变化。v 定义提前因子 L-1为： L-1yt=yt+1v 原方程变为 ： (L-1-a)yt-1=L-1mt-1v 将上式提前一个时期，并乘以 -a-1，得到：v (1-a-1L-1)yt=-a-1L-1mtv 由于 (1-a-1L-1)(1+a-1L-1+a-2L-2+a-3L-3+ )=1v 所以 (1-a-1L-1)-1= 1+a-1L-1+a-2L-2+a-3L-3+* 19在许多经济模型中，变量会自动调整使 A=0，即经济中没有自致的投机性资产价格泡沫。余函数将为零。* 203、随机线性差分方程v 已知随机线性差分方程：v Et-1yt=ayt-1+Et-1mt a的绝对值大于 1。v 将方程前推一个时期，并引入 t时期的预期：v Etyt+1=aEtyt+Etmt+1, 在该方程中， yt是 t时所知信息惟一决定的变量，因此 Etyt=ytv 利用提前因子 L-1建立 t期和 t+1期的联系：v L-1Etyt= EtL-1yt= Etyt+1v 由此可以将差分方程表述为：v (1-a-1L-1) Etyt=-a-1L-1Etmt假设余函数为零，得到方程的解：* 21三、均衡的动态稳定性v 由于一阶差分方程的通解由特别积分和余函数组成，前者一般为常数，因此，动态的稳定性取决于余函数。v 余函数的一般形式为 Abt，因此它的变动：* 22四、二阶差分方程v 当 t期的经济变量 yt不仅取决于滞后一期的数量 yt-1，而且取决于滞后两期的数量 yt-2，这时就需要二阶差分方程。v 二阶差分： v 2yt= ( y t) = (y t+1-yt)= (yt+2-yt+1)- (yt+1-yt)= yt+2-2yt+1+ytv 2yt与连续时间的 d2y/dt2相对应。 * 23常系数和常数项的二阶线性差分方程v 求解： yt+2+a1yt+1+a2yt=cv 与一阶线性差分方程一样，其解由两部分组成：v 表示 y的瞬时均衡水平的特别积分 ypv 表示每一时期与均衡偏离的余函数 yc。* 24特别积分* 25余函数v 余函数是齐次方程 yt+2+a1yt+1+a2yt=0的通解，形式一般为 yt=Abt。代入方程并消去公因子得到原方程或齐次方程的特征方程：v b2+a1b+a2=0 具有两个特征根：第一种情况： a124a2，存在不同的实根。余函数 yc=A1b1t+A2b2t第二种情况： a12 4a2，存在相同的实根。 b=b1=b2=-a1/2余函数 yc=A1bt+A2tbt时间路径的收敛性： b1和 b2的绝对值都大于 1，余函数发散；都小于 1则收敛到 0；如果一个绝对值大于 1，一个小于 1，那么后者随时间推移而消失，路径发散。 时间路径的收敛性： 如果 b的绝对值大于 1，余函数发散；如果 b的绝对值小于 1，那么 bt的衰减力量超过 t的放大力量，路径收敛。 * 26v 第三种情况： a124a2,特征根为共轭复根。时间路径的收敛性： 时间路径为周期性的阶梯波动。当 R1时，波动逐渐缩减。* 27五、差分方程组v 求解一阶差分方程组： yt=Ayt-1+mtv 其中， yt和 mt是 n1 列向量， A是 nn 常系