连续系统常用的数学模型及其转换

第四章 补充连续系统常用的数学模型及其转换 1微分方程及传递函数的多项式模型 在 MATLAB 语言中，可以利用分别定义的传递函数分子、分母多项式系数向量方便地加以描述。例如对于（ 2-2）式，系统可以分别定义传递函数的分子、分母多项式系数向量为：例 1 已知系统传递函数为 利用 MATLAB将上述模型表示出来，并将其建立在工作空间中。解: 补充知识： MATLAB的基础知识 一 . MATLAB简介 MATLAB具有以下主要特点：1)超强的数值运算功能。在 MATLAB里，有超过 500种的数学、统计、科学及工程方面的函数可供使用，而且使用简单快捷。由于库函数都由本领域的专家编写，用户不必担心函数的可靠性。2)语法限制不严格，程序设计自由度大。例如，在 MATLAB里，用户无需对矩阵预定义就可使用。3)程序的可移植性很好，基本上不做修改就可以在各种型号的计算机和操作系统上运行。4)强大的数据可视化功能。在 FORTRAN和 C语言里，绘图都很不容易，但在 MATMB里，数据的可视化非常简单。 MATIAB还具有较强的编辑图形界面的能力。5)丰富的工具箱；由各学科领域内学术水平很高的专家编写的功能强劲的工具箱，使用户无需编写自己学科范围内的基础程序，而直接进行高、精、尖的研究。 二 . MATLAB的工作环境启动 MATIAB6.x后，显示的窗口如图所示。而选中命令窗口中 View菜单的 “ Dock command Window” 子菜单又可让命令窗放回桌面 (MATIAB桌面的其他窗口也具有同样的操作功能 )。 窗口中的符号 “ ”，表示 MATIAB已准备好，正等待用户输入命令。用户可以在 “ ”提示符后面输入命令，实现计算或绘图功能。在命令窗口中，可使用方向键对已输入的命令行进行编辑，如用 “” 键或 “” 键回到上一句指令或显示下一句命令。 (3)工作空间窗口 “ Work-space” 工作空间指运行 MATLMB程序或命令所生成的所有变量构成的空间。每打开一次 MATLAB， MATIAB会自动建立一个工作空间。 (4) 命令历史窗口 “ Command History” 例 2 已知系统传递函数为 利用 MATLAB将上述模型表示出来。解： 其 MATLAN命令为：num=7*2,3;den=conv(conv(conv(1,0,0,3,1),conv(1,2,1,2),5,0,3,8);sys=tf(num,den)运行结果：Transfer function:14 s + 2115 s8 + 65 s7 + 89 s6 + 83 s5 + 152 s4 + 140 s3 + 32 s22传递函数的零极点增益模型 在 MATLAB里，用函数命令 zpk( )来建立控制系统的零极点增益模型，或者将传递函数模型或者状态空间模型转换为零极点增益模型。 zpk( )函数的调用格式为： sys=zpk(z,p,k) 函数返回的变量 sys为连续系统的零极点增益模型。例 3 已知系统传递函数为 ，利用 MATLAB将上述模型表示出来。 k=5; z=-20; p=0,-4.6,-1; sys=zpk(z,p,k)结果：Zero/pole/gain:5 (s+20)-s (s+4.6) (s+1) 解 ：3状态空间模型 在 MATLAB中，用函数 ss( )来建立控制系统的状态空间模型，或者将传递函数模型与零极点增益模型转换为系统状态空间模型。 ss( )函数的调用格式为：sys=ss(a,b,c,d)函数的返回变量 sys为连续系统的状态空间模型。函数输入参数 a,b,c,d分别对应于系统的 A， B， C， D参数矩阵。 例 4 已知系统的状态空间描述为 利用 MATLAB将上述模型表示出来。P41 作业 2-2 解 ： a=2.25,-5,-1.25,-0.5;2.25,-4.25,-1.25,-0.25;0.25,-0.5,-1.25,-1;1.25,-1.75,-0.25,-0.75; b=4;2;2;0; c=0,2,0,2; d=0; sys=ss(a,b,c,d)4. 三种数学模型之间的转换 表 2-1 数学模型转换函数及其功能函 数 名 函 数 功 能ss2tf 将系统状态空间模型转换为传递函数模型ss2zp 将系统状态空间模型转换为零极点增益模型tf2ss 将系统传递函数模型转换为状态空间模型tf2zp 将系统传递函数模型转换为零极点增益模型zp2ss 将系统零极点增益模型换为状态空间模型zp2tf 零极点增益模型换为传递函数模型(1) 控制系统模型向传递函数或零极点增益形式的转换 1.状态方程向传递函数形式的转换 num,den=ss2tf(A,B,C,D,iu)iu用于指输入量序号，对于单输入系统 iu=1； 返回结果num为传递函数分子多项式系数，按 s的降幂排列；相应的传递函数分母系数则包含在矩阵 den中。 为了获得传递函数的形式，还可以采用下述方式进行，即：G1=ss(A,B,C,D);G2=tf(G1)例 5 已知连续系统 的状态空间描述如下，求相应的传递函数模型。 a=2.25,-5,-1.25,-0.5;2.25,-4.25,-1.25,-0.25;0.25,-0.5,-1.25,-1;1.25,-1.75,-0.25,-0.75; b=4;2;2;0; c=0,2,0,2; d=0; T=1; num,den=ss2tf(a,b,c,d,T); sys=tf(num,den)2.模型向零极点形式的转换 其基本格式为：z,p,k=ss2zp(A,B,C,D,iu) 状态方程模型转换为零极点模型z,p,k=tf2zp(num,den) 传递函数模型转换为零极点模型G1=zpk(sys) 非零极点模型转换为零极点模型 例 6 已知连续系统 的状态空间描述如下，将其转换成零极点形式。(2)系统模型向状态方程形式的转换 其基本格式为：a,b,c,d=tf2ss(num,den)a,b,c,d=zp2ss(z,p,k)G1=ss(sys) 例 7 已知系统传递函数为 利用 MATLAB将上述模型转换成状态空间模型。 (3)约当规范状态方程的实现 在 MATLAB中提供给用户一个规范实现函数 canon,以进行线性定常系统模型 sys的规范状态空间表达式的实现 .其基本格式：G1=canon(sys, modal )同时，规范实现函数 canon还可以返回状态变换阵 TG1， T=canon(sys,modal )例 8 现代控制理论 教材 P46-47试用 canon函数 将下列状态空间表达式化为约当标准型。在现代控制理论课程中变换后的状态空间表达式为： 解 ： A=0,1,0;0,0,1;2,3,0; B=0;0;1; C=1,0,0; D=0; sys=ss(A,B,C,D,1); G1,T=canon(sys,modal)控制系统建模的基本方法 1. 解析法建立数学模型 如： 现代控制理论 例 试列写如图所示 RLC的电路方程，建立系统的状态空间表达式。解：根据电路定律可列写如下方程：2. 实验建模法 自动控制原理 P131一 .正弦信号产生器 在进行频率响应实验时，必须提供适当的正弦信号产生器。对于大时间常数系统， 实验所需要的频率范围约为 0.00110赫兹；对于小时间常数系统，实验