迷惑人的车轮

曹开清趣味数学网 /第 1 页 共 3 页迷惑人的车轮迷惑人的车轮E-mail: QQ: 541601368侧面观察行进中的自行车车轮，车轮上部的辐条会有明显的模糊不清。造成这种现象的原因是什么呢？我们知道，车轮是在滚动中前进的。如图，当车轮向右滚动时，让我们看看车轮上的两个点A 和 B：车轮顶 部的点 A 通过的路程（曲线段 AA的长）比车轮底部的点 B 通过的路程（曲线段 BB的长）长得多，由于速度是单位时间内通过的路程，所以点 A 运动的速度远比点 B 快。在我们将滚动的车轮上下两部分的速度作比较时，自然是指它们对地面的速度。当一个车轮沿一条直线滚动时，车轮边缘上任意一 个 定 点 所描绘出的曲线称 为 称 旋 轮 线 ， 又 称 摆 线 。当一点触及地面时，它的速度为零。随着车轮的滚动，这一点的速度加快，一直到它到车轮顶部时达到最大。然后，它又减速，减到它再次触及地面时，速度又降到零。如果是一个有凸缘的车轮，譬如火车的轮子，凸缘上的一点在低于车轨时，它实际上是向后运动，画出一个小圈。摆 线 具 有 如 下 性 质 ：1 它 的 长 度 等 于 旋 转 圆 直 径 的 4 倍 。 尤 为 令 人 感 兴 趣 的 是 ， 它 的 长 度 是 一 个 不 依 赖于 的 有 理 数 。2 在 一 段 弧 线 下 的 面 积 ， 是 旋 转 圆 面 积 的 3 倍 。3 圆 周 上 任 意 一 个 定 点 ， 具 有 不 同 的 速 度 事 实 上 ， 在 特 定 的 地 方 它 甚 至 是 静 止 的 。曹开清趣味数学网 /第 2 页 共 3 页4 一个质点在重力作用下，从一个给定点沿不同轨道运动到不在它竖直下方的另一点，问沿着什么曲线轨道滑下所需的时间最短（不计摩擦阻力）？这条曲线原来是一条适当的摆线的一段弧！因此又把摆线称为“最速降线”。附：车轮的错觉在电影、电视上观察跑得很快的汽车的轮辐，你会发现一种奇怪的现象：汽车在飞快地前进，而它的轮子只是在慢慢地转，或者根本不转。不仅如此，有时候甚至还是朝着相反的方向转！ 产生这种错觉的原因是什么呢？在电影、电视上看车轮旋转的时候，你一定不能连续地看见那些轮辐，而要间隔一定的时间才能看到它们一次。因为电影、电视的图像是不连续的（电影每秒 24 张画面，电视每秒 25 张画面），每隔一定的时间要隔断你的视线一次。 这里有三种可能的情况，让我们逐个地来研究： 第一种可能的情况是，在视线被隔断的时间里，车轮来得及转完整数的圈数。这时候车轮的那些辐条在画面上的位置同它们在前一张画面上的位置完全相同。在下一个时间间隔里，车轮又转了整数的圈数（因为时间间隔的长短和汽车的速度都是不变的），于是轮辐的位置还是同以前一样。我们所看到的轮辐自始至终都在同一种位置上，因此会产生车轮不转的错觉。第二种可能的情况是，车轮在每一个时间间隔里，不但来得及转完整数的圈数，并且还转了小半圈（例如还转了 45）。看到这种变换着的画面的时候，我们不会想到这里还有整数的圈数，而只看见车轮在慢慢地转（每次只转 1 圈的一小部分）。结果我们就觉得车轮转得慢极了。第三种可能的情况是，在两次摄影的时间间隔里，车轮来不及转完整一圈，离一整圈还差一小部分（例如转了 315）。这时候，任何一条轮辐看来都好像在朝着相反的方向转了。这种错觉会一直持续下去，直到车轮改变它的旋转速度为止。在我们这个解释里，还应当做一些补充。在第一种情况里，为了简单起见，我们曾经说到车轮转了整数的圈数。由于车轮上的每根辐条都是相同的，所以只要让车轮转完整数个的轮辐间空隙数也就行了。这一点在另外两种情况里也同样适用。曹开清趣味数学网 /第 3 页 共 3 页另外一种奇怪的现象是：如果在轮缘上做上记号，而所有的轮辐都是同一个样子的，那末有时候我们就会看到轮缘在朝着一个方向转，轮辐在朝着另一个方向转！可是如果在轮辐上做上记号，那末这些轮辐可能朝着同记号转的方向相反的方向转，记号好像会从一个轮辐跳到另一个轮辐上去。仔细的观众在银幕上看到在飞速前进的汽车的车轮好像不动的时候，在数了轮辐的数目以后，就很容易断定车轮每秒钟大约转多少圈。电影片通过放映机头的速度，一般都是每秒钟 24张画面。如果汽车轮的辐条有 12 根，那末这车轮在每秒钟里旋转的圈数就等于 24122，或者在 12 秒里转 1 整圈。不过这是最少的圈数，它可以是这个数目的