高中数学必修五《基本不等式》精品教案

基本不等式： 2ab教案2普通高中课程标准实验教科书数学必修 5（人教 A版）第三章 3.4节一教学目标知识与技能目标：学会推导并掌握基本不等式，理解基本不等式的几何意义，并掌握式子中取等号的条件，会用基本不等式解决简单的数学问题。过程方法与能力目标：通过类比、直觉、发散等探索性思维的培养，激发学生学习数学的兴趣，进一步培养学生的解题能力，创新能力，勇于探索的精神。情感、态度与价值观目标：通过本节的学习，体会数学来源于生活并用于生活，增强学生应用数学的意识，激发学生学习数学的兴趣。让学生享受学习数学带来的情感体验和成功喜悦。二教学重点、难点教学重点：创设代数与几何背景理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式 2ab。 教学难点：理解“当且仅当 ab时取“ ”号”的数学内涵，基本不等式的简单应用。三、教学方法与手段本节课采用启发引导，讲练结合，自主探究的互动式教学方法。以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，让学生探究思索。以多媒体作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。四、教学过程设计教学环节 问题 设计意图 师生活动设置情景，导入新课1图中的面积有哪些相等和不等的关系？2正方形 ABCD的面积肯定大于 4个直角三角形的面积和吗？有没有相等的情况呢？1让学生观察常见的图形，目的是调动学生的学习兴趣，让学生感受到数学来源于生活，从而激发他们的学习动机。2借助几何画板动态演示和数据验算让学生更容易理解“当且仅当 ab时取“=”号”的数学内涵，突破一个难点。教师利用多媒体展示问题情景：1 （投影出）在北京召开的第24届国际数学家大会的会标风车。2让学生直观观察（多媒体动画演示,“当正方形 EFGH缩为一个点时，它们的面积相等” 。 ） 自主探究，从而归纳出：“正方形ABCD的面积不小于 4个直角三角形的面积和” 。教学环节 问题 设计意图 师生活动3探索求知，得出结论3 如图,正方形 ABCD和直角三角形的面积各是什么?4根据前面得到的面积关系的结论，可得出什么关系式？5结论中等号何时成立？是否仅仅当 ab时等号才成立？6你能用代数的方法对不等式2进行证明吗” 。1通过面积的直观比较，利用数形结合抽象出不等式 2ab。2、发挥学生自主能动性，让学生在证明过程中体会式子 2ab中的， 可取任意数，并再次理解“当且仅当 时取“”号”的数学内涵。突破了一个难点。教师引导学生：设直角三角形的两条直角边长分别为 a和 b，学生动手分别求正方形ABCD的面积与 4个直角三角形的面积和。学生自己总结得出结论：2ab（当且仅当 ab时取“ ”号）教师板书：“ 2（当且仅当 时取“ ”号） ”学生自己用代数的方法对不等式2ab进行证明。认识基本不等式7如果用 a、 b去替换不等式 2b中 ， ,前提是什么？能得到什么结论? 8你能用代数的方法完成基本不等式的证明？9请用语言文字表述基本不等式？从数列的角度又如何描述呢？10你们能利用这个图形说说基本不等式的几何意义吗？1、让学生先体会分析法的证明思想，为以后学习不等式的证明作准备；2、从代数、几何的不同角度理解不等式，开拓了学生的思维空间3利用多媒体作为辅助手段，目的是让学生从直观、动态的角度加深基本不等式的认识和理解，培养学生数形结合的思想方法，多方面思考问题的能力。 学生归纳得出基本不等式： (0,)ab当且仅当 b时取“ ”号）教师板书基本不等式： (,)2当且仅当 a时取“ ”号）学生自己填空教材第 98页基本不等式的证明。教师指明：“ 2b”称为两个正数 a、 的算术平均数，“ b”称为两个正数 a、 的几何平均数。教师多媒体动画演示教材第 98页的“探究”中左图的变化过程，学生观察 CD与半径 O的关系。并计算 的长度与半径 ？思考等号何时成立？剖析基本不等式 11公式两边具有何种运算结构？12回忆一下你所学的知识中，有哪些地方出现过“和”与“积” 的结构？基本不等式的简单应用是这一节课的又一个难点，为了突破这一难点，师生先一起分析基本不等式的特征，以便学生记忆和应用，师生一起分析基本不等式的特征 2(0,)abab或 2(),)（当且仅当 ab时取“ ”号）,ACaBb4教学环节 问题 设计意图 师生活动例题讲解，强化应用1 练习： 试判断 1(0)x 与 2 的大小关系？若将条件 去掉,上述结论是否仍然成立 已知 ，当 = 时，1x的值最小？最小值是 。 已知 01x，当 时, ()的值最大？最大值是 。2讲解例题例 1：（1）用篱笆围一个面积为 20m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为 36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？在讲解例题前先设计了三小题练习，直接用公式就可以求解。目的是先让学生初步体会“积是定值，可以求和的最小值；和是定值，可以求积的最大值” 。 为讲解教材的例题作准备。利用多媒体显示解答过程，对学生规范表达起个示范作用。同时也有利于增加课堂容量，提高课堂效率。通过例题让学生明确基本不等式的应用。教师引导学生分析：练习（1） （2）用 2ab，练习（3）直接用 ()。例 1第（1）小题实际上是已知0xy，求当 x= ； y= 时， 2()的值最小？第（2）小题实际上是已知 18xy，求当 x= ； y= 时， 的值最大？最大值是 ?教师利用多媒体显示解答过程；教师引导学生进行归纳总结，将求解思路一般化：对于两个正数 x， y（1）如果积 是定值 P，那么当xy时，和 有最小值 2；（2）如果和 xy是定值 S，那么当 时，积 有最大值 214。（3）注意 “一正二定三相等” 的条件。巩固练习，加深理解（1）已知 0x，当 时, 函数 281y的值最小？最小值是 。（2）已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？（3）用 2cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？例题处理后，设计的这一组练习是突破难点的关键，也是作为对知识应用的实时检测，给学生提供进一步比较、类比、归纳的机会，为熟练使用新知解决问题打下基础。学生练习，教师边巡视学生边个别辅导，对学生解答中的亮点进行表扬，不足之处，指出后及时鼓励，使学生爱数学，愿意学数学。教师简单点评，指出要注意“一正二定三相等” 的条件5教学环节 问题 设计意图 师生活动回顾整理，归纳小结（1）你学到了什么知识？（2）你知道了哪些方法？知识性内容的总结，可以把课堂教学传授的知识尽快地转化为学生的素质，从而培养学生概括归纳的能力；让学生发表自己的看法，有哪些收获，教师对学生作出肯定，并对知识方法进一步完善。任务后延，布置作业作业：课本第 100页第 1、2 题。课后思考：当 2x时，函数 yx的最小值是 吗？求函数 1(0)的值域？已知 x，当 取什么值时, 1的值最小？最小值是多少？在布置作业时设计了课后探究题，为下一个课时作准备。同时也照顾了程度不同的学生。五、板书设计板书设计方面主要板书两个不等式和应用不等式求最值的问题，例题及练习则利用多媒体课件展现，这样有利增加课堂容量，提高课堂效率。课题：3.4 基本不等式1重要不等式 2ab（当且仅当 ab时取“ ”号）2基本不等式 (0,)（当且仅当 时取“ ”号）(,)2ab或 2()0,)ab （当且仅当 时取“ ”号）文字表述：两个正数的几