高中数学必修⑤《数列求和》教学设计

课题：必修数列求和三维目标： 1、 知识与技能（1）通过对特殊数列求和的学习，培养学生将等差数列，等比数列的知识灵活运 用，培养和提高学生观察问题，分析问题，解决问题的能力；（2）在掌握等差数列，等比数列的求和公式及一些常用的数列的和的公式的基础上理解或掌握一些常用的求和的思想方法：公式法、变换通项法（如：分项组合、裂项相消） 、倒序相加法、错位相减法、并项法；（3）会用上述求和方法解决一些简单的与前 n项和有关的问题.2、过程与方法（1）经历各种基本的求和的思想方法的探究与应用，进一步理解数列的求和方法的本质转化思想，培养学生利用转化思想转化的能力；在知识、方法发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。（2）通过方法的探索与总结、公式的推导过程，展现数学中的“美”的价值，体会这些思想方法的联系和本质；为进一步熟练、恰当运用奠定良好的基础；（3）培养学生分析问题、解决问题的能力及钻研精神，培养学生的运算能力、严谨的思维习惯以及解题的规范性。3、情态与价值观(1) 通过对数列知识的进一步学习，不断培养自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神；（2）通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，产生热爱数学的情感, 形成学数学、用数学的思维和意识，培养学好数学的信心，体验在学习中获得成功的成就感，为远大的志向而不懈奋斗。教学重点：数列求和的几种常用方法：公式法、变换通项法、错位相减法、倒序相加法教学难点：运用某种方法前的转化思路及方法的恰当性教 具：多媒体、实物投影仪教学方法：合作探究、分层推进教学法教学过程：一、双基回眸 科学导入：前面，我们学习等差数列、等比数列的概念、通项公式、前 n 项和公式及其有关性质，并运用这些知识解决了许多相关问题和实际问题， 请同学 们回顾一下学过的这些基本知识和性质：关于等差数列： 差数列定义：即 dan1(n2) 由三个数 a，A，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A 叫做 a 与 b 的等差中项。 等差数列通项公式： n)1(n1) dmnn)( 在等差数列中， 若 m + n= p + q 则 qpnmaa等差数列 na的前 n 项和的公式 2)(1ns ，dnasn2)1(1关于等比数列：等比数列定义：即 qan1(n2) 由三个数 a，G，b 组成的等比数列可以看成最简单的等比数列，这时，G 叫做 a 与 b 的等比中项。 等比数列通项公式： n1q(n1) mnnq 在等比数列中， 若 m + n= p + q 则 qpnma等比数列 na的前 n 项和的公式 Sn= a1)( （q1） Sn= qn1（q1） 通过各种求和问题，大家可体会出数列求和的重要性。两种重要的数列都学完了，下面我们再进一步总结一下数列求和的基本方法，通过应用体现数列知识及相关数学知识的联系和综合运用。二、 创设情境 合作探究：同学们，等差数列、等比数列的前 n 项和公式的推导用的是什么方法呢？这些方法还有进一步的运用吗？下面同学们合作探究一些求和问题，看能否还能用上这些方法，并进一步总结出更多的方法。【引领学生合作探究，通过解决相关的问题层层总结出数列求和的各种基本方法，展现一些求和方法的广泛性】【方法一】公式法前面所做的关于等差、等比数列的求和问题均是直接采用的公式法，这里就不详细介绍了。下面的方法不是直接运用公式，大都是通过转化思想转化为运用基本公式。利用下列常用求和公式求和（有的要采用转化思想）是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式： dnanS2)1(2)(11 2、等比数列求和公式： )(1)(1qqannn3、 )1(21nkSn 4、 )(61kn5、 213)1(nSkn【方法二】变换通项法（如：分项组合、裂项相消）问题 1.求数列的前 n 项和： 231,7,412naa，【分析】通过引领学生分组合作探究出【方法二】变换通项法中的分项组合【解析】设 )231()71()4()12naaSn将其每一项拆开再重新组合得 )41()(2 ann（分组）当 a1 时， 2)3(Sn )1(n （分组求和）当 1a时， 2)13(naSnn 2)13(1nan【点评】通过此题说明数列求和的变换通项法的思路充分体现转化思想；问题 2.求和 )2(1531421n 【分析】通过引领学生分组合作探究出【方法二】变换通项法中的裂项相消【解析】 )21(2)(1nnan从而 )(53423Sn 4523)121( )21(1() nnn【点评】解决此题紧抓住通项公式的特点，进行巧妙变形，进一步说明数列求和的变换通项法的思路充分体现转化思想；【方法三】错位相减法前面推导等比数列的求和公式就是运用了此法问题 3.求数列 ,2,64,23n前 n 项的和.【分析】通过引领学生分组合作探究出【方法三】 错位相减法【解析】由题可知， n的通项是等差数列2n的通项与等比数列 n21的通项之积设 nS2624314n （ 设制错位）得 1432 2)1( nnS （错位相减 ）12n 14nnS【点评】通过此题说明等比数列的前 n 项和公式的推导方法的重要性；由此可 进一步通过各种题目总结几种常见求和的方法。【方法四】倒序相加法前面推导等差数列的求和公式就是运用了此法问题 4. 89sini3sin2i1sin 222 的值【分析】通过引领学生分组合作探究出【方法四】 倒序相加法【解析】设 89sinisiisi 22222 S . 将式右边反序得 1sin2i3sin8sin9si 2222 S （倒序） 又因为 cosi),0cos(i 22xxx+得 （倒序相加） )89cos(sin)2cos(sin)1co(sin2 22222 S89 S44.5【点评】通过此题可进一步体会等差数列的前 n 项和公式的推导方法的本质【方法五】并项法问题 5.求 1-2+3-4+5-6+2n-1-2n【分析】通过引领学生分组合作探究出【方法五】 并项法【解析】1-2+3-4+5-6+2n-1-2n= （1-2 ）+（3-4）+( 5-6) +( 2n-1-2n)=-1-1-1-1= 2n【点评】此题的解法实际上也是对通项进行了一些恰当的变化、组合，但不是对某一项，而是对相邻的两项进行的变换三、互动达标 巩固所学：有了上面的各种基本方法，再通过互动地解决下面的针对性问题，巩固这些方法，从而进一步理解这些方法，便于将来的更加熟练、灵活地运用问题.6 求下列数列的前 n项和 nS：（1） 3,245,(2), ； （2） 11,345(2)n ；（3）5，55，555，5555， 5(01)9n，；（4） 1na； （5）1 , 2x , 3x 2 , 4x3 nx n-1；（x0）（6）cos1 ，cos2 ， cos3， ， cos178，cos179【问题答案】（1） 2()nn， 原式 23 2)(13 )n(1)276n（2） 1()nn， 1)()324352Sn 1()2n= )(14n（3） 55nnS 个 (99)n 个23(10)(1)0)(109n35)89n（4） nan1 321nSn )1()()( n(5) 解：设 Sn=1+2x+3x2+4x3+ +nx n-1 则 xSn=x+2x2+3x3+4x3+ +nx n - 得 （ 1-x） S n = 1+x+x2+x3+ +x n-1-nx n当 x=1 时，在原式中 Sn=1+2+3+4 + +n= 2)1(当 x 1时22)1(1)()( xnxnSnn(6)设 Sn cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179 )80cos(n S n （cos1 + cos179）+ （ cos2+ cos178）+ （cos3 + cos177）+（cos89+ cos91）+ cos90 0 （合并求和）四、思悟小结：知识线：（1）等差数列前 项和公式； （2）等比数列前 项和公式；（3）数列的相关的性质及相关的数学公式。思想方法线：（1）数列求和的基本方法：【方法一】公式法【方法二】变换通项法（如：分项组合、裂项相消）【方法三】错位相减法【方法四】倒序相加法【方法五】并项法（2）转化思想题目线：利用上述思想方法求相关的数列的和的问题。五、针对训练 巩固提高：1求数列的前 n 项和： 231,7,412naa，解：设 )()()()11S n将其每一项拆开再重新组合得 )2374()(12 aann当 a1 时， 3S 2 当 时， )1(1nann 2)13(1nan2求数列n(n+1)(2n+1)的前 n 项和.解：设 kkak 23)12( nkS1 )3(21knk将其每一项拆开再重新组合得 Sn kknn121312 )21()2(3)( 23 nn = )2(2)nnn 3 （07 高考山东文 18）设 na是公比大于 1 的等比数列， nS为数列na的前 项和已知 37S，且 1234a， ， 构成等差数列（1）求数列 na的等差数列（2）令 31l2b， ， ， ， 求数列 nb的前 项和 T解：（1）由已知得3127:()(4).aa，解得 2设数列 na的公比为 q，由 2，可得 13aq， 又 37S，可知 27，即 250q，解得 12q， 由题意得 1， a故数列 na的通项为 2na（2）由于 31lnb， ， ， ， 由（1）得 31n2， 又 lnnbn是等差数列 12nTb()3l2(1)ln.故 3l2nT4 （07 高考全国文 21）设 na是等差数列， nb是各项都为正数的等比数列，且 1ab， 3521， 53（）求 n， 的通项公式；（）求数列 nab的前 n 项和 nS解：（）设 n的公差为 d， nb的公比为 q，则依题意有 0q且42113dq，解得 ， 所以 1()21nadn，bq（） 12n121353nnnS，32，得 221n n ，22112nn12n136n5 （09 高考山东文 20）等比数列 na的前 n 项和为 nS， 已知对任意的 N ，点 (,)nS，均在函数 (0xybr且 1,br均为常数)的图像上. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （1）求 r 的值； （11）当 b=2 时，记 1()4nbNa 求数列 nb的前 项和 nT解:因为对任意的 N,点 nS，均在函数 (0xyr且 1,br均为常数)的图像上.所以得 nSbr,当 1n时, 1aS