高中数学教学指导：三角函数学习中要用好“单位圆”

高中数学教学指导：三角函数学习中要用好“单位圆”单位圆在三角函数的学习中起着非常重要的作用，这是因为首先三角函数的自变量“角”可以在单位圆上表示；另外，各三角函数也可以用单位圆和角的终边的交点坐标表示如：设角 的终边与单位圆的交点是 ，则由三角函数定义：(,)Axy， 即点 A 可以表示为 ，据此我们可以得sin,cosyxtanyx(cos,in)到许多常用的结论和解题方法例 1 证明以下诱导公式：（1） ， ， ；si()sico()csta()ta（2） ， ， ；nnson（3） ， ， si()sic()ta()ta证明：设角 的终边与单位圆的交点是 ，则cs,iA（1） 设角 的终边与单位圆的交点是 B，根据三角函数定义，B 点坐标为 ；(o),in()又角 的终边与角 的终边关于 y 轴对称，故 B 点坐标为(cos,in)因此， ， (sinco()cos以上两式相除得： ta()ta（2） 设角 的终边与单位圆的交点是 C，根据三角函数定义，C 点坐标为 ；(cos),in()又角 终边与角 的终边关于原点对称，故 C 点坐标为(cos,in)因此， ， (sinco()cos以上两式相除得： ta()ta同理可证（3） 例 2 求下列函数的定义域：（1） ；()log(sinc),(0,1)afxxO xy（图 1）1sincosincox（2） ()log(sinc),(0,1)axxa解：这类问题通常就是比较正弦和余弦函数值的大小如果利用两个函数图像来比较，至少需要画出两个函数各一个周期的图像，繁琐一些若利用单位圆来分析正弦和余弦函数值的分布，就相对简单多了（1） 如图（1） ，当 （ ）时， 4xkZsincox所以，直线 把单位圆分成了两部分，在其中的一部分上 ，在y sincox另一部分上 （类似于线性规划中可行域的确定） sinco通过特殊角验证，不难知道，当 （ ）时，544kxkZsicx因此，函数 的定义域是()fx522,44xkkZ（2） 如图（2） ，同理可求得 的定()log(sinc)axx义域是 322,44xkkZ事实上，通过例 2 我们在单位圆上得到了函数 和 的sincoyxsincoyx整个函数值的变化（增减）和分布（正负）情况.另外，在三角函数的学习中，有时会出现这样一个问题，有的同学在求解某个角的范围时，可能会写出“单边不等式” 例如： 等，这多半是错误的因为，在单位圆上3x表示一下这些角就知道了， 等价于 ！从这里也可以看出，单位圆表示角有得3xR天独厚的优势，相比用三角函数图像解题，单位圆“占地面积小”例 3 求下列函数的值域：（1） ；（2）5sin,4yx.3co()解：（1）如图 3，由单位圆不难看出，当 时， 5,4x2sin1x所以，函数 的值域是 5si,4y2,1yO x（图 2）1sincoxsincoO xy（图 3）145（2）当 时， 类似（1） ，不难得到 3,2x7,6xcos()1,所以，函数 的值域3cos(),2yx是 31,2例 4 解下列三角不等式：（1） ；1sin()6x（2） .ta3解：（1）如图 4，根据单位圆中正弦值的分布情况，可知当 时，52266kxk即 时， .331sin()62x因此，原不等式的解集是 .,()3kkZ（2）如图 5，根据单位圆中正切值的分布情况，可知当 时，234kxk即 时， .71tan(2)13x因此，原不等式的解集是.,()224kkxxZ例 5 求下列函数的单调递增区间：（1） ；sin(3)6y（2） .ta2x解：（1）如图 4，根据单位圆中正弦值的分布情况，可知当 时，326kk即 时，函数 单调递增.299xsin(3)6yxyO x（图 4）01212-110O xy（图 5）0110因此，函数 的单调递增区间是 ，sin(3)6yx22,93k.()kZ（2）如图 5，根据单位圆中正切值的分布情况，可知当 时，23kxk即 时，函数 单调递增.511tan(2)3