高中数学论文：立足化归思想，实现有效解题

1高中数学论文立足化归思想 实现有效解题任何一个数学问题的解决，都需要进行一系列的推理和运算，而这些推理和运算，本质上就是一连串的问题转化与归结，即数学化归思想，灵活的转化和巧妙的归结是研究和解决数学问题的重要策略，又是一种数学能力，也是数学解题的核心思想，该思想渗透到所有的数学教学内容和解题过程中，在高考中占有十分重要的地位。下面以含参数二次型函数为主体阐述化归思想在解题中的具体应用，引导学生建立合理的解题逻辑，掌握有效常规的解题方法，实现优质高效的解题目的。一、换位思考，将问题简单化解决含参数问题时，我们习惯了以 为变量思考问题，但有时候在处理问题时会难以入手，难x以理清思路，易出错。如果换一个角度思考，以另一参数为主元，却能使问题变得简单，容易解决。例 1 对于任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范1a024)(2axax围。分析：题设为已知变量 的取值范围，求变量 的取值范围，可以考虑以 为主元， 为参数，把问题归结为关于 的一次函数来处理，避免分类讨论，达到化繁为简的目的。解：原不等式等价于 对任意 恒成立，即等价于04)2()xaxf 1a，即 ，解得 。0)1(f03652 31或变式 1 设 ，若 在 上变化时， 恒取正值，求log)2()(logtxtxy t2,y实数 的范围。x解：问题转化为 ，在 时1log)(l1l 222 xttf 2,t恒成立。0)(tf由 ，得 ，)2(f01)(log3l422xx解得： ，故 。l1log22x或 8或变式 2 设 是定义在 上的增函数，若 对任意)(xfR)2()1(afxaf恒成立，求实数 的取值范围。,a解：由已知得 ，即 对任意 恒成立，等价于aa12 02x,对任意 恒成立，0)(xg 1,即 ，得 。)1(2 或评注：上述各题均化归为一次函数来解决，使问题转变为学生最熟悉的类型，化繁为简，有2利于知识模块的建构。二、数形结合，将问题形象化在数学中，数与形是相互联系，相互制约的，在一定条件下又可以相互转化，互为补充，将数与形巧妙地结合起来，能使数学问题的解决直观形象又不失严密性。在处理含参数问题时，适当运用数形结合能达到高效解题的效果。例 2 设方程 ，在 上有唯一解，求实数 的取值范围。0342mx)3,xm分析：如果根与系数的关系分类讨论，情况比较多，显得复杂，若分离变量，可利用图像法，转化为两个函数图像的交点个数问题，能直观形象地解决。解：由已知得 ，作二次函数 在 上的图像，直线2342xy),0与上述图像有一个交点时，易得 。my 103或评注：数形结合解题时，应尽量使所得的函数为基本函数，便于作图，本例化为作二次函数的图像。变式 1 若方程 仅有一个实根，那么 的取值范围是 。)1lg(2lxkk解：等价于 ，即 在 上仅有一个实数根。作2)1(0xkxk),0(),1直线 和函数 在 上的图像，由交点一个可得：yy),()0,。40k或评注：这里的基本函数为“对勾函数” ，函数 图像及性质是我们比)0,(baxy较熟悉的。变式 2 关于 的方程 有 4 个不同的实数解，求实数 的取值范围。x2kxk解：转化为 ，分别作直线 和函数0,)()(1k y1的图像，当四个交点时， ，即 。0,)2(xxy k评注：这里的基本函数为二次函数型的分段函数。变式 3 直线 与曲线 有四个交点，则实数 的取值范围是1yaxy2 a。.解：即方程 有四个不同的实数根，令 ，则进一步转化为方程12ax xt3在 上有两个不同的解，分别作直线 和函数 ty2在 上ta210ay10的图像，由交点两个得 。451a评注：这里的基本函数也是二次函数。综上所述，对处理含参数的二次方程有几个根的问题时，利用分离变量，恰当转化为宜于作图的基本函数是解题的有效方法。三、逆向思考，将问题一般化当数学问题正面解决困难时，就可以考虑转化到反面，或者逆向求解，如补集法、反正法等，往往能使问题转化为我们熟悉的，容易解决的道路上来。例 3 已知二次函数 ，若 ，试判断函数 上是1)2()(2xaxf 0a)1,2()在xf否有零点。分析：若正面考虑“是否有零点” ，情况相当复杂，不利于准确解题，容易出错，但是，如果考虑函数有零点，则问题变得简单，容易解决。解：若函数 上有零点，则 在 有解，得)1,2()在xf 01)2(2xa)1,2(，有 ，得 ，解得 ，这与 矛盾，a210a0x或 x故函数 上无零点。),()在f变式 1 若二次函数 ，在 上至少有一个值 ，12)(42pf 1,xc使 ，求实数 的范围。0)(cfp解：问题等价于 在 有解，假设0)( xxf ,在 恒成立，01242xf ,则 ，得 ，解得 。0)1(f932p23p或取补集得 ，这就是原问题的答案。3p四、理性分析，将问题常规化在数学问题的解答中，我们不妨冷静的思考、从不同角度作理性的分析，发掘一些隐含的条件，往往能把问题转化到常规题来解决，起到四两拨千斤的效果。例 4 已知函数 ，若 对任意 恒成立，去实数 的取4)(2mxf 0)(xf 1,xm值范围。分析：本题如果直接分类讨论或者分离变量，会使解答繁琐。仔细分析可得：，再结合图像，易知 在 上无零点。0)(f )(f1,解：由于 ，问题转化为 在 上无零点，结合图像知：4f x，得 。1)(mf 5m评注： 是隐含条件，充分利用这一条件使问题简单化，变为常规题，便于解决。04变式 1 二次函数 ，是否存在实数 、 ，使 的定义域和值域分别xxf21)( mn)(xf为 和 ？说明理由。,nm2,分析：直接解答无从入手，思路受阻，找不到方向。如果按求二次函数值域的一般方法讨论，情况也比较复杂。而由 ，若结论成立，则必有21)(21)( xxf，即 ，从而函数 在 上位增函数，这样问题就容易解决了。21n4f,nm解：由 ，若结论成立，则必有 ，即 ，21)(21)( xxf 21n4从而函数 在 上位增函数，则有 ，)(xf,nm412)(2nmnfm解得 ， 。20n评注：发现 这一隐含条件是解题的关键，也是把问题变为常规题的转化条件。41五、函数思想，将问题和谐化方程和不等式问题可以在函数的观点下统一起来，它们是密切相关，可以相互转化的。函数可以看成方程 ，也可以将方程或不等式的两边都看成函数。函数与方程的和)(xfy0)(xfy谐统一是相互转化的根本，在解决含参数的问题中有广泛的应用。例 5 方程 在 中至少有一个根，求实数 的范围。12a)3,2(a解：等价于方程 在 中有解，等价求函数 在 上的值x xy1)3,2(域，易知此时函数为增函数，得 ，即 ，故 。31025y3025a54a评注：本题将方程根的个数问题转化为求“对勾函数”值域问题。变式 1 关于 的方程 至少有一个负根，求实数 的范围。x012xaa解：显然 ，故 ，令 ，问题转化为关于 的方程 至少0xt tt2有一个负根，下面求 在 的值域，得 ，所以 ，即 。ty21y1a评注：本题将方程根的个数问题转化为求二次函数的值域来解决。变式 2 函数 ， 如果函数 在 上有零点，axf 5)1(3)( R)(xfy3,05求实数 的范围。a解：由 ，得 在 上有解，令05)1(23axx 1253x)3,0(， ，则 ，即 在 上有解。t,0)7,(t )9(4t7,t转化为求 在 上的值域，而 在 上的值域为25)9(43)ttg,1t ty),1(，从而得106ya变式 3 已知 是实数，函数 ，如果函数 在 上032)(axxf )(xfy1,有零点，求实数 的范围。解：显然 不符合条件。a当 时，转化为 在 上有解，令 ，则 ，0x231,xt2351t有解。转化为求函数 的值域。而由 ，)7(21ta )7(21)ttgty7，得 ，即 ，故 。5t8y37a123a或变式 4 关于 的方程 在 有实根，求实数 的范围。x0)1(42xa31,4解：显然 （否则方程无符合条件的实根） ，得 在 有实根，转化0a