高中数学必修3《几何概型》教案和教案说明

1教案和教案说明课题：几何概型（第一课时）教材：高中数学必修 3（人教版）几何概型（第一课时） 教案与教案说明一教学目标：21.知识与技能目标 ：初步体会几何概型的意义，深入了解几何概型的两个特征，并会用几何概型求解随机事件的概率。2.能力与方法目标 ：通过大量的生活实例，鼓励学生体验归纳，类比，推断等数学能力，同时更好地培养数形结合的转化能力。3.情感态度和价值观目标 ：让学生了解概率的意义，加强数学与现实生活的联系，增强学生数学思维情趣，以科学的态度去评价身边的一些随机现象，初步形成实事求是的科学态度。二教学重点和难点：1.重点：能理解几何概型的概念和特点，并会用它求解随机事件的概率。 2.难点：如何判断一个试验是否为几何概型，弄清在一个几何概型中构成事件 A 的区域和试验的全部结果所构成的区域。三教学方法与手段：1.教法的选择：本课重视学生自主探索、合作交流的学习方式的培养，重视学生多种思维能力的培养，重视突出重点突破难点，并针对一所新学校学生基础相对薄弱的特点，我设计了三个游戏，剪绳子，投镖中奖，取虫子，营造生动活泼的课堂气氛，分别从长度、面积、体积的角度，让学生亲身体验概型的产生背景，自主探索知识的发生、发展过程，以达到自觉应用的目的。2.学法的指导：在学生学法的指导上，让学生在游戏中观察发现，在发现中类比归纳，从而使学生掌握知识，发展思维能力，达到会应用的目的。3.实验材料：长度为 30 厘米的绳子，剪刀，飞镖，镖靶，烧杯，水，豆粒等。四教学过程：（分为以下六个环节）复习回顾，新课铺垫 创设情景，引入新课 归纳探索，形成方法例题分析，推广应用 回顾小结，提高认识 作业布置，能力升华教学过程教学环节教学内容 师生活动及设计意图3复习回顾，新课铺垫（1）在区间0，3 内任取一个整数，取得的整数大于 2 的概率是多少？基本事件的特点是否是古典概型概率（1）教师提出问题，引导学生回忆古典概型的概念与计算公式，并让学生回答，老师核对答案，为下面学习几何概型作铺垫 。创设情景，引入新课（2）若在区间0，3 内任取一个实数，则取得的数大于 2 的概率是多少？基本事件的特点是否是古典概型概率（1） 有限性和等可能性是 41（2）将已经做过的题目稍加改变后让学生思考，使学生认识到试验出现的结果“无限个 ”和“等可能 ”。借此创设情境, 使学生产生认知矛盾，老师借此引出几何概型的概念,激发学生探究几何概型概率求法的学习兴趣。归纳探索，形成方法游戏一：游戏规则甲乙两人玩游戏，剪绳子定输赢。将一条长度为30 厘米的绳子剪成两段，若剪得的两段绳子的长度都不小于 10 厘米算甲胜。游戏目的求甲胜的概率。游戏内容请各小组将长度为 30 厘米的绳子剪成两段。探究过程（1）把绳子剪成两段称为试验。剪刀在绳子上的一个落点记为一个基本事件。这种概型是几何概型吗？所有的基本事件构成了哪个区域？老师从生活中的游戏事例出发，创设情景，提供几何概型的产生背景。五个小组各由三名学生将一条绳子剪断，其它同学仔细观察。各组同学再根据老师设置的探究问题从解决游戏问题自觉进入探究几何概型概率的求解方法。对于探究问题，小组成员先独立思考，再交流讨论，在讨论过程中同学之间互相交流，互相影响，互相启发，这样不仅能促进彼此思维发展，而且对提高思维的正确性完整4归纳探索，形成方法A B解析：是几何概型。绳子所在的线段 AB（不包括端点）。（2）若甲胜（剪得的两段绳子的长度都不小于10 厘米）,剪刀在绳子上的落点又构成了哪些区域？ 10103A BC D解析：线段 CD。（3）甲胜的概率是多少？解析：由于剪刀落在绳子上的任一点都可以把绳子剪成两段，故基本事件有无数多个且是等可能发生的。把绳子三等分，于是当剪刀位置处在中间一段上时，甲胜。 由于中间一段绳子的长 10厘米，故 P（“甲胜”） 310cmLCDAB （4）你能得出什么启示？ 的 区 域 的 长 度试 验 的 全 部 结 果 所 构 成的 区 域 的 长 度构 成 事 件AP)(游戏二：游戏规则某文具店做有奖销售，一次购物满 100 元就可以投镖一次，假设每次镖都落在靶上，落在靶心表示中奖，中奖后可得奖金 10 元。性也有很大帮助，同时也便于学会与人交流合作，养成共同探讨的习惯，促使智力因素与非智力因素都得到提高和发展。学生经过一定时间的探索后，老师找同学回答。对于学生得到的结论，老师给予积极正确的引导与评价。学生不仅有探索的成就感，而且也容易在老师的鼓励下养成钻研问题的良好个性品质。老师对学生的结果进行补充，使学生理解当基本事件无限个且等可能发生时，把思维转向考虑事件发生的区域。用区域的长度描述事件，用相应区域的长度比计算概率。从而探究出公式。通过生活中的实例，让学生体验几何概型的产生背景，体会数学来源于生活，又反作用于生活的思想，培养学生自觉应用数学解决生活问题的意识。探究问题具有开放性和多元化的特点，学生由此产生了很多想法，这对培养学生的发散思维有较好的促进作用。借助于这些问题让学生感知当基本事件无限个且等可能发生时，把思维转向考虑试验的所有结5归纳探索，形成方法游戏目的求顾客中奖的概率。游戏内容请一名同学到讲台上投镖一次，其它同学细心观察。 探究过程（1）.若靶的半径为 10 厘米，靶心的半径为 1 厘米，请帮顾客算一算他中奖的概率。解析：飞镖可以落在靶上的任意一个位置，所以基本事件的个数是无限且等可能的，飞镖的所有落靶点构成了靶所在的圆面。顾客中奖，说明飞镖落在小圆内的任意一个位置，所有的落镖点构成了小圆所在的圆面。故可以用区域面积来刻画事件。故 P（ “中奖”） 10大 圆小 圆S（2）. 你能得到什么启示？的 区 域 的 面 积试 验 的 全 部 结 果 所 构 成的 区 域 的 面 积构 成 事 件 BBP游戏三：游戏规则孙悟空为了借到扇子，变成一只小虫子藏在铁扇公主的杯子里，铁扇公主发现后用小勺子取出虫子。果构成的区域以及构成某个事件的区域，用区域的面积描述事件。用相应区域的面积比计算概率。从而探究出公式。对于探究问题，小组成员先独立思考，再交流讨论。学生通过与别人交流体会经验与教训，学会与人交流合作，促使智力因素与非智力因素都得到提高和发展。学生经过一定时间的探索后，老师找同学回答。对于学生得到的结论，老师给予积极正确的引导与评价。用妇孺皆知的西游记故事提供几何概型的产生背景，让学生感受数学无处不在的勃勃生机和巨大威力，增强课堂教学的趣味性。借助于问题让学生感知当基本事件无限个且等可能发生时，把思维转向考虑试验的所有结果构成的区域6归纳探索，形成方法游戏目的求取出虫子的概率。游戏内容请各组派一名“铁扇公主”，拿起小量杯，从500ml 的量杯中取出 20ml 水,看看你是否取出了虫子。探究过程（1）.你能求出铁扇公主取出虫子的概率吗？解析：虫子在水中的位置是无限且等可能的，所以可以用区域的体积刻画事件。虫子可以落在 500ml 水中的任一位置，只有当虫子落在 20ml 水中的任一位置时，才能取到虫子，故P（“取到虫子” ） 2510mlV原 来 杯 中 的 水取 出 的 水（2）.这个游戏给你的启示是什么？P（C） 的 区 域 的 体 积试 验 的 全 部 结 果 所 构 成的 区 域 的 体 积构 成 事 件 C（3）.你能发现这三个问题的共同点吗？解析：基本事件的个数都是无限的且每个基本事件都是等可能发生的。事件的发生只与构成该事件的区域的长度或面积或体积有关。P（C） 体 积的 区 域 的 长 度 或 面 积 或试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 体 积的 区 域 的 长 度 或 面 积 或构 成 事 件 C（4）填表：特点 计算公式古典概型几何概型以及构成某个事件的区域，用区域的体积描述事件。用相应区域面积比计算概率。从而探究出公式。对于探究问题，小组成员先独立思考，再交流讨论，学生经过一定时间的探索后，老师找同学回答。对于学生得到的结论，老师给予积极正确的引导与评价。通过让学生归纳总结，使学生对刚学过的知识再次加工处理，升华构建成知识结构。学生一边总结，老师一边核对答案，使学生清晰地认识古典概型与几何概型的异同。例题： 某人午睡醒后，发现表停了，于是打开收音机等候整点报时，那么等待时间不多于 10 分钟的概率是多大？7例题分析，推广应用例题分析，推广应用思考与讨论：1）这是什么概型，为什么？解析:几何概型2）借助什么样的几何图形来表示随机事件与所有基本事件？解析：圆或线段或角3）该如何建立数学模型？解析：设 A=“等待时间不超过 10 分钟”,则或 P（A） 61圆 的 周 长的 弧 长扇 形 OB 或P（A） 360OAB课堂练习：（1）如图，某人向半径为 R 的圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率问题组的设置，让学生经历分析问题构建数学模型解决问题的过程。明确解决问题的关键是：先要判断该概率模型是不是几何概型，再要找出刻画基本事件的几何图形。使本堂课的难点得以突破.老师设置问题，小组成员先独立思考，再交流讨论，老师点评，必要时补充新解法，目的是从多个角度分析一道例题的解法，充分拓展问题的潜在价值，提高题目的利用率，培养学生应用数学及发散思维能力。同时也亮出学习几何概型的优势。S)(A或 圆扇 形 6105BCLAP8为（ A） 2B1C3D（2）如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为45 0，某人向圆内投镖，如果每次都投入圆内,那么他投中阴影部分的概率为 （ A ） A18B4C2D3（3）现有 100ml 的蒸馏水，假定里面有一个杂质，现从中抽取 20ml 的蒸馏水，则抽到杂质的概率为 （ D ）A10B2C10D5（4）如图，在直角坐标系内，射线 OT 落在 60度角的终边上，任作一条射线 OA，则射线 OA落在xOT 内的概率是（ 61 ）O XTYA(5)(本节课提出的问题）在区间0 ，3内任取一个实数，取得的数大于 2 的概率是（ 31）（6）你能编一些几何概型的题目吗？通过不同类型的练习让学生在应用中理解慨念，提高认识，巩固技能，领悟数学思想方法。编题是一项创造性的劳动，是知识升华的过程，能够培养学生应用能力、创造性思维能力和创新精神。学生先独立做题，再交流，老师核对答案。9回顾小结，提高认识知识小结- 思想方法- 能力小结求几何概型的概率- 数形结合 -动手，观察，归纳，类比，推断，合作，竞争等。探究过程在头脑中重现，学生对本节课的知识结构形成更清晰的认识,更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，并且逐渐培养学生良好的个性品质。布置作业能力升华1设 A 为圆周上的一点，在圆周上等可能地任取一点与 A 连接，求弦长超过半径 2倍的概率。（ 2 ）2 在长为 12 厘米的线段 AB 上任取一点 M，并以线段 AM 为边长作正方形，求这个正方形的面积介于 36 平方厘米与 81 平方厘米的概率。（ 41 ）3 用棱长为 3 的正方体内任意取一个点，求这个点到各面的距离大于 1/3 的概率。（ 72934）4 在集合P=m|关于 x 的方程 04152mx至多有一个实根（相等的根只能算一个）中，任取一个元素 x，使得式子x 有意义的概率是多少？（ 83 ）5 游戏的再思考：往一个边和长为 4 厘米的方格中投一粒芝麻，设芝麻全部落在方格内。（1）.求芝麻落在方格的内切圆内的概率。（2）.若圆变成一个点 A，求芝麻落在点 A 的概率，这个事件究竟会不会发生？（3）.试求芝麻落在点 A 外的概率，这个事件一第 1 题和第 2 题为课堂小测，测试完毕后同一小组的同学互相交换试题答卷，再根据老师的答案进行批改。不仅检验了学生的学习效果，也对学生开始的学习有督促作用。第 3 题，第 4 题和第 5 题为课外作业。通过解题强化技能，提高分析问题解决问题的能力。同时，将游戏延伸到课外，为形成学生研究性学习习惯奠定了基础。学生独立完成，之后可以互相讨论。10定会发生吗？解析: （1）P （“芝麻落在圆内”） 4。（2）概率为 0，概率为 0 的事件不一定是不可能事件。（3）概率为 1，概率为 1 的事件不一定为必然事件。五教案说明： 本节课通过游戏引入主题，使学生发现几何概型中基本事件发生的等可能性及结果不可数的特点，引出几何概型的概念，激发学生学习几何概型的欲望。在引导学生对三个游戏进行猜想、实验、探索归纳等数学活动中，进一步体会几何概型的特征，形成几何概型事件概率的求法然后，通过例题分析让学生经历 “直观感知-抽象概括-反思构建”的过程，使学生对几何概型知识的理解更加透彻。通过完成课堂练习，使学生将探求的知识转化为技能，并自觉运用数学知识解决生活问题。本节课教学突出以下几个特点：1自主探索、合作交流贯穿本课。课标指出“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记