高中数学论文：从数学高观点试题探析中谈初、高等数学的衔接教学

1高屋建瓴，融会贯通从数学高观点试题探析中谈初、高等数学的衔接教学【摘 要】近年来高等数学的基本思想、基本方法和基本问题为高考试题的命制提供了新的背景和新的思路。高等数学的一些内容可以通过初等数学的方法和手段解决，是考查学生进一步学习潜能的良好素材。以高等数学知识为背景的高观点试题，既能实现高等数学与初等数学的接轨，又能有效地考查学生的思维能力和继续学习数学的潜能，因而近年来此类问题更是“频频登场”。本文以近几年各地高考试题为例，探索此类问题的命题背景和剖析解题方法，对在高中学习中如何搞好初、高等数学的衔接教学进行了探究。【关键词】高观点试题 背景探析 中学数学与高等数学的衔接教学一问题的提出近年来高等数学的基本思想、基本方法和基本问题为高考试题的命制提供了新的背景和新的思路。高等数学的一些内容可以通过初等数学的方法和手段解决，是考查学生进一步学习潜能的良好素材。以高等数学知识为背景的高观点试题，既能实现高等数学与初等数学的接轨，又能有效地考查学生的思维能力和继续学习数学的潜能。扎实的数学基础及数学思维方法的运用是大学生成才必备的素养，当然是实现我国今年提出的建设“创新型”国家的根本的内在的途径。高考数学考试大纲明确指出高考命题要与高等数学相关联，要为学生进入高校学习作准备，因此近几年高考数学试题中出现了大量与高等数学衔接紧密的高观点试题。二什么是高观点试题所谓高观点试题，是指与高等数学相联系的问题，这样的问题或以高等数学符号、概念直接出现，或以高等数学的概念、定理作为依托融于初等数学知识中，或体现高等数学中常用的数学思想方法和推理方法。它能宽角度、多观点地考查学生基本的数学素养，有层次地深入了解数学理性思维和进一步深造的潜能。高等数学中有些经典问题的处理方法既是数学的精髓所在，也是学生的数学素养和数学潜能所在。高等数学与初等数学交汇是高考命题的六大交汇之一，是现代数学新高考创新题的重要题源。作为中学数学老师只有了解高考试题的来龙去脉，才能居高临下。本文试以近几年各地高考题为例，研究此类问题的命题背景和剖析解题方法，探索在高中学习中如何搞好初、高等数学的衔接教学。三在初、高等数学的衔接处命题（一）以高等数学中的基本内容为背景以高等数学的某些分支的基本概念、基本理论、基本定理为背景,可以考查学生的阅读理解能力以及将新情景转化为熟悉知识的学习能力以及考查学生的知识迁移的能力。1以基本概念为背景的高观点试题例 1 （2006 年高考四川理第 16 题）非空集合 G 关于运算 满足：（1）对任意 Gb,a，都有 ba；（2）存在 e，使得对一切 ，都有 aea，则称 G 关于运算 为“融洽集”.现给出下列集合和运算：G=非负整数， 为整数的加法;高中数学论 文2G=偶数， 为整数的乘法;G=平面向量， 为平面向量的加法;G=二次三项式， 为多项式的加法;G=虚数， 为复数的乘法.其中 G 关于运算 为“融洽集”的是 （写出所有“融洽集”的序号）。题源探析: 这是一道以高等代数中的群论为背景而编拟的一道新题，将“融洽集”以信息形式给出。高等代数中的 “群”的定义：如果在一个非空集合 G 上定义了一个代数运算，而且要求满足结合律、有单位元、有逆元，那么 G 称为一个群.而本题中第(1)条实际上指出 G 关于该运算具有封闭性,第(2)条指出 G 关于该运算有单位元,因此所谓“融洽集”实际上是“群”概念的变形. 本题考查考生对新情景下知识的理解、抽象概括能力，是一道以高中学生熟悉的非负整数、偶数、平面向量、二次三项式、虚数为载体编拟的判断填空题。考查学生阅读、理解、新知识的迁移能力以及综合运用数学知识解决问题的能力，体现了在高等数学与高中数学的衔接处命题。解析：根据题目给出的信息不难判断：没有单位元，不满足封闭性，只有中的 G 关于运算 为“融洽集”。2以基本理论为背景的高观点试题例 2（2004 年浙江高考第 12 题）若 f(x)和 g(x)都是定义在实数集 R 上的函数，且方程 xfg(x)=0 有实数解，则 gf(x)不可能是（ ）.(A)x2+x 51 (B)x2+x+ 51 (C)x2 51 (D)x2+ 51题源探析：本题以函数方程的形式考查了抽象复合函数的不动点理论，是浙江试题中最出彩的题目，充分体现了能力立意的方向。3以基本定理为背景的高观点试题例 3(2004 年广东省高考第 21 题) 设函数 ()lnfxm（ ） ， 其中常数 m 为整数.(1) 当 m 为何值时， (0fx；(2) 定理: 若函数 g(x) 在a ， b 上连续，且 g(a) 与 g(b)异号，则至少存在一点 x0(a，b)，使 g(x0)=0.试用上述定理证明:当整数 m1 时，方程 f (x)= 0，在 e- -m ，e 2 -m 内有两个实根。题源探析：第一小题利用导数来研究函数的性质，是新教材注入中学数学的又一亮点.第二小题要求学生利用高等数学中的介值定理，证明方程在某区间有两个根，是考察学生数学素养的好题。解析:（I）解：函数 f(x)=x-ln(x+m),x(-m,+)连续，且xfxf 1,0)(,1)( 得令当 x(-m,1-m)时,f （x）f(1-m)当 x(1-m, +)时,f （x）0,f(x)为增函数,f(x)f(1-m)根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m 为极小值，而且对 x(-m, +)都有 f(x)f(1-m)=1-m故当整数 m1 时，f(x) 1-m0(II)证明：由（I）知，当整数 m1 时，f(1-m)=1-m1 时， 0m32)1(1m3)1(3e)m(f 222 (由于 m1,故 2m-11,上述不等式也可用数学归纳法证明 )类似地，当整数 m1 时，函数 f(x)=x-ln(x+m),在 ,e 上为连续增函数且 f(1-m)与)2ef异号，由所给定理知，存在唯一的 )(,22 xfx使故当 m1 时，方程 f(x)=0 在 ,em内有两个实根。（二）以高等数学的数学思想为背景数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，能够迁移并广泛应用于相关学科和社会生活中。数学思想和方法是数学知识的精髓，是分析和解决数学问题的基本原则，也是数学素养的重要内涵。高考数学学科提出“以能力立意命题”，正是为了更好地考查数学思想，促进考生数学理性思维的发展。纵观近几年的高考试题，对数学思想方法的考查并不考查其理论本身，而是考查其应用，并且不局限于数形结合思想、分类讨论思想、函数思想、等价转化思想。为了考查学生的学习潜能，为此还设计一些渗透高等数学的数学思想为背景而用初等数学的语言表述的问题。1极限的思想在高考试题中的渗透例 1（2007 年高考安徽卷）如右图，抛物线 1xy2与 x 轴的正半轴交于点 A，将线段 OA 的 n 等分点从左至右依次记为 P1，P 2，P n-1，过这些分点分别作 x 轴的垂线，与抛物线的交点依次为 Q1， Q2，Q n-1，从而得到 n-1 个直角三角形 ,OQ1,2，,PQ1n2当 n 时，这些三角形的面积之和的极限为 。题源探析：本题设计图形面积和的极限，不仅充分渗透了中学数学中数形结合的数学思想，而且实际上渗透了高等数学中无限细分的思想，这也是高等数学和初等数学的一个衔接点知识，教材在推导球的体积公式中予以体现，在高等数学和初等数学的衔接点命题，这有利于考查考生进一步学习高等数学的能力及数学潜质，这也是现行高考的一个动向，2导数的思想在高考试题中的渗透例 2（06 年广东高考卷） A是定义在 2,4上且满足如下条件的函数 ()x组成的集合：对任意的 1,2x，都有 ()1x；存在常数 (0)L，使得对任意的 2,x，都有 1212|)|.试求解：(1) 设 3,4x ，证明： ()A；(2) 设 (A，如果存在 0()，使得 00x，那么这样的 0x是唯一的；(3) 设 )，任取 1,，令 12nn， 1,2 ，证明：给定正整数 k，对任意的正整数 p，不等式12|kkpLx成立.题源探析：这是一道界定新范围类的问题.求解这类题目的一个基本前提是明确“界定新范围”的充要性，如本例界定 A 的范围的两条标准即可作判定条件。第（ 1）小题利用导数的思想判断出函数的增减性；第（2）小题可从数形结合的角度导出矛盾，也可用高等数学的导数的思想处理证明问题。对于第（1） （3）小问也可以采用微分方程的利普希茨判定条件和估值技巧来求证。解析 ：（1）利用高等数学中的导数的思想判断出函数的增减性O xyP1 P2 Pn-1Q1 Q2Qn-14对任意 2,1x 2,1)(3xx2)(， ()0x即 3在 ,上是增函数。 331()5x )2,1(，即满足集合 A 的第条件.对任意的 2,有 32321321211 )x1()(x)x(|)x2(| 3 2312 )()2(x1(03令 32321321 )x1()() = L,显然 10，且 |(x|Lx，即满足集合 A 的第条件综上所述，函数 A（2）证法一：从中学数学的角度分析假设存在两个 0,(1,2)， 0，使得 00(2)x, 0(2)x，则由 ()x有 / /| |x /00| |L L，但与 1L相矛盾 这样的 0x是唯一的。证法二：从数形结合的思想方法分析若有 12,(,)且 12，使 11()x， 22()x则两点(x与 )x的连线的斜率 k 1 21x1但由条件 1212|(|Lx（ 0L）可得 21()(L故如果存在 0,)x，使得 0()，那么这样的 0x是唯一的。证法三：从高等数学的导数思想分析要证明 (中 的唯一性， 0,x，令函数 ()fx只需证明 )f在 1,2中是严格单调便可因 x ，而 )( 121()limxx L， 12, ()0fL，即 f在 ,严格单调。故如果存在 (1,2)，使得 00()，那么这样的 0是唯一的.（3）从高等数学中的迭代的思想分析 1nnxx， A 121223 )()(xLx52433231()xxLxx 111221nnnnLLx 1|kpkkpkkpkpkxxx1121kpkpkpkx2312121LxLxL12()KpK3微积分的思想在高考试题中的渗透例 3(2006 年高考湖北文第 15 题)半径为 r的圆的面积 2r)(S，周长 r2)(C，若将 r 看作 ),0(上的变量，则 2(式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为 R 的球，若将 R 看作(0，)上的变量，请你写出类似于的式子： 式可以用语言叙述为： 。解：不难类比得到： 234)(，球的体积函数的导数等于球的表面积函数。题源探析：积分学最初起源于面积、体积等问题的计算，而在微积分学中,积分和微分互为逆运算，即有 2r02 rd)r( , 3R0223 4d4)R( ,由此可知本例实际根源于微积分学的这个基本思想。4级数的思想在高考试题中的渗透例 4（2002 年高考理科第 22 题）设数列 满足 ， *Nn （)当 时， ， ， ，并由此猜想出 的一个通项公式； （）当 时，证明对所有的，有 （） ； （） 21aa1n2题源探析：其中的(）之（）就是以“数学分析中的无穷级数 1iu的部分和数列 Sn 有极限，则称级数 1iu收敛”这一定义为灵感点，结合级数收敛的速度得到的高考题 从高等数学的角度分析一下()之()的思路：6从技术的观点看，(）之（）具体指正项级数 1iia的前 n 项和有上界，故级数1iia收敛，其收敛的速度大于1i2的速度（ i12），由比较判断知必有1n2，即 .an从初等数学的角度描述上述过程为： 只要证明 2184a1a nn21 即可，比较判断需证 1n2a，即证.n，而对于 .的证明有多种途径可证明。 （三）以基本方法为背景的高观点试题例 8（2007 年高考广东理科第 21 题）已知函数 2()1fx， ， 是方程 ()0fx的两个根()， (fx是 )f的导数设 1a， 1()nnfa， ， （1）求 ， 的值；（2）证明：对于任意的正整数已知对任意的 ，都有 n；（3）记 ln(12)ab， ， 求数列 nb的前 项和 S题源探析：本题的背景是高等代数中的牛顿迭代法：为了计算方程 ()0fx的近似根 0x，我们在0x附近找一个点 1x，过点 1(,)fx作曲线 ()yfx的切线交 轴与 2,，一直进行下去，就会得到 ()f的近似根。（四）以高等数学中研究的函数性质为背景例 9 （2006 年高考四川理 22）已知函数 )0(lnax2)(f，f（x）的导函数是 )x(f。对任意两个不相等的正数 1x、 2，证明：（）当 a0 时， )(f)2(f1；（）当 a4 时， |x|)|21 。题源探析：本题作为压轴题，主要考查导数的基本性质和应用，函数的性质和平均值不等式及综合分析、推理论证的能力。但这道题有较深刻的高等数学背景。本题（）实际上就是证明该函数为凸函数.第(2)小题以微积分学中的拉格朗日中值定理为背景，主要考查导数的基本性质和应用，函数的性质和平均值不等式等知识及综合分析、推理论证的能力。这在数学分析（上）或吉为多维奇著数学分析习题集中我们可以找到许多这类题的背景和影子。这再一次体现高考数学要有利于高校选拔人才、有利于学生后继学习的命题思想。下面从高等数学的角度分析一下()之()的思路：（） ,xa2xf ,xa42)(f23 当 0a时，有 0)(f故函数 f(x) 是凸函数，故有 2)x(f1)2x1。7（）不妨设 1x 2,由拉格朗日中值定理知, 存在 )x,(c21使得)x)(cf(f)211 ,要证 |x|)(fx| 2121 ,只须证 |)f|,而,a423故只须证 ,c)(f23 即只须证 c4a2，而 ,3c422 故当 a时，有 c4a2，从而证得 |x|)(fx| 2121 。以上用高等数学的方法处理这道题，还原了该题的命题思路，也比参考答案简捷许多. 对于本题第问，若将 |)(f| 2121 变形为 1|x)(f|21 ，如果考虑到高中数学中数形结合的思想，由此可联想斜率公式，由 x、 的任意性可知，其实质即为 y = )x(f图象上任意一点的斜率，于是可从二阶导数的角度很快找出正确的解决策略。四在初、高等数学的衔接处教学以高等数学知识为背景的高观点试题,不拘泥于课本知识的束缚,有利于遏制题海战术,有利于考试公平,有利于选拔具有数学学习潜能的人才。此类题目的设计虽来源于高等数学，但一般起点高、落点低，其解决方法还是中学所学的初等数学知识，较易突破。笔者认为用高等数学派生知识求解的试题将不断增加，为考查考生的学习潜能而设计的一些以高等数学的基本知识为背景，用初等数学语言表述的“再发现型”问题值得关注，这类问题是学生学习方式转变的纽带。因此中学教师要了解与中学数学知识有关的拓展知识和内在的思想方法, 在高中阶段我们应重视在初、高等数学的衔接处教学，切实提高学生的数学素质。笔者认为搞好教学衔接的方法可以从以下几方面入手：1掌握学法，养成习惯由于高等数学教学进度快，理论抽象，仅靠课堂上听一听就想把知识全部掌握是不现实的，因此，中学教师应指导学生做好课前预习和课后复习，引导学生掌握学习方法，形成良好的学习习惯。通过预习，能使学生在学习新知识时，既提高听课的积极性又增加听课的选择性，并努力掌握教师分析问题的思路和方法，从而大大提高学生的听课质量，同时也克服了一些学生对教师的过分依赖，增强了学生的自信心。通过复习，让学生学会概括和总结，学完一个章节，就应让学生把所学的知识进行概括，整理成系统的知识结构图，增强对知识的理解，保持有效记忆，从而使学生形成自己的知识结构体系。2正确使用数学语言抽象的数学知识是用数学语言和抽象的符号来描述的。与中学数学相比，高等数学的理论性更强，内容更抽象，出现大量新的抽象的数学符号及逻辑语言的应用，使大学生在短期内很难适应。中学教师在教学时也要重视对学生进行数学语言及符号运用方面的训练。经过练习，学生会认识到数学语言是多么的严谨精辟和和谐，符号的应用对结构体系的建立是多么重要。能使学生感到数学语言不再是枯燥乏味而是解决问题的有效工具。3提升能力，注重发展高中数学教学大纲规定“高中数学的教学目的是：使学生学好从事社会主义现代化建设和进一步学习所必需的代数、几何的基础知识和概率统计、微积分的初步知识，并形成基本技能；进8一步培养学生的思维能力、运算能力、空间想象能力，以逐步形成运用数学知识来分析和解决实际问题的能力；进一步培养良好的个性品质和辩证唯物主义观点”。调整能力结构，以思维能力为核心，全面考查各种数学能力。 高考数学科考试说明则进一步提出“对能力的考查，以思维能力为核心，全面考查各种能力，强调探究性、综合性、应用性，切合考生的实际。运算能力是思维能力与运算技能的结合，对考生运算能力的考查以含字母的式的运算为主，同时要兼顾对算理和逻辑推理的考查空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力，图形的处理和图形的变换都要注意与推理相结合。分析问题和解决问题的能力是上述三种基本数学能力的综合体现”。 以考核信息接受和处理能力，数学阅读和观察能力，可以考查学生的应变能力和研究能力：要真正解决素质教育与应试教育的关系，首先要转变教育观念。在中学数学教学中应重视以下能力的发展。31 重视阅读能力的培养阅读能力是自学能力的重要体现，是主动获取知识的重要方面。中学数学教师要引导学生学会阅读，要明确告诉学生，阅读数学书籍特别是定义、定理及其推论，必须逐字逐句仔细推敲。要让学生明白，仅从逻辑上弄懂了某个定理的证明，并不等于理解了这个定理，还要把书本上的思想变成自己的思想。应强调阅读要和独立思考紧密结合，在独立思考有了相当的提高后，再学新的定理时，就不妨作一些想象和试证，然后再阅读，这样可把证明的思想弄得更透，经过概括和总结把书本知识变成自己的知识。32 培养学生的双向思维能力双向思维是可逆思维，数学中的数量关系有许多可逆成份，要培养学生习惯于双向思维。定理与逆定理，命题的充要条件，某些概念的定义都具有可逆性。如果注意强调可逆性，下力气去训练可逆推导，不仅可以加深对知识的理解，而且能培养灵活运用知识的能力。实践证明，思维的灵活性与双向思维的灵活及双向思维的建立有关，中学数学教师应有意让学生加强训练和指导，克服过去单向思维的思维惯性，使学生在解决数学问题时，不仅从正面，也善于从反面加以考虑，使运用知识的能力不断提高。33 培养学生思维的批判性所谓培养学生思维的批判性，就是培养学生善于探讨现象的根本原因，并得到正确论断方法；不轻率盲从，而深入思考，如果发现问题，就提出进行争论，分清什么是正确的，什