高等工程数学(2)--线性变换(win7)

1/37定义定义 设 V1， V2为线性空间，若 V1 V2的映射 T满足：对任意的 ，有 则称 T 为 V1 V2的 线性变换 .2/37例例 1 在线性空间 Pn(t)中定义变换则 T 是 Pn(t) 的线性变换 .？Pn-1(t)给定 ， 则有由矩阵的运算法则可知A 是 的线性变换 .例例 23/37也线性相关 . 若 线性相关，则问是否也线性无关？若 线性无关，问4/37设 是 Vn的一个基 是 Vm的一个基T 是 Vn Vm 的线性变换称 A 为 T 在基偶 , 下的 矩阵 .T = T1,T2, Tn A像的坐标5/37例例 3 设 的线性变换 T 定义为：试求 T在基 下的矩阵 .注：若 T 是 V 到自身的变换，则基偶可取为 ,此时称 T在基偶下的矩阵为 T在基下的矩阵 .6/37设 是 Vn的一个基 是 Vm的一个基对 Vn Vm 的任一线性变换 T，存在矩阵 A，使得T = A对任意的 Vn，设 在基 Vn下的坐标为 x，则有 T =T( x ) = (T )x = Ax即像 T 在基 Vm下的坐标为 Ax.可见：线性变换的特性完全由基偶矩阵刻画，故可见：线性变换的特性完全由基偶矩阵刻画，故对线性变换的研究可转为对基偶矩阵的研究对线性变换的研究可转为对基偶矩阵的研究 .7/37则有 null T dim(T) = dim(A) = n rankArankT dim(T) = dim(A) = rankA称 nullT 为 T 的 零度 ， rankA 为 T 的 秩 ，且有类似地定义(T) = Vn | T = O (T) = Vm | =T， Vn 称 (T) 为 T 的 零空间 (核 )称 (T) 为 T 的 值空间 (值域 )8/37设 , 是 Vn 的两个基， , 是 Vm的两个基 .在基偶 , 下有 T= A问 矩阵 A与 B有什么关系？在基偶 , 下有 T = B9/37设 , 是 Vn 的两个基， , 是 Vm的两个基 .在基偶 , 下有 T= A在基偶 , 下有 T = B设基变换渡矩阵分别为 P， Q ，即线性变换在不同基偶下的矩阵是相互线性变换在不同基偶下的矩阵是相互 等价等价 的的 .=P， = Q10/37设 T 是 Vn 到自身的线性变换， , 是 Vn 的两个基 .在基 下有 T= A问 矩阵 A与 B有什么关系？在基偶 下有 T = B11/37设 T 是 Vn 到自身的线性变换， , 是 Vn 的两个基 .在基 下有 T= A在基偶 下有 T = B设基变换渡矩阵 P ，即 =P线性空间到自身的线性变换在不同基下的矩阵是线性空间到自身的线性变换在不同基下的矩阵是 相似相似 的的12/37即即 与与 等价等价线性变换即即 与与 相似相似到自身线性变换从现在开始主要研究从现在开始主要研究 的线性变换。的线性变换。13/37设 T 是 Vn 到自身的线性变换 .则 T 在基 =P 下的矩阵为问题问题 怎样 求基 ，使得 T 在 下的矩阵有较简单的形式？分析分析 ： 任取 V 的一个基 ，且 T = A. 若将方阵 A 相似化简为 B ，即考虑两种简单形式的矩阵： 分块对角阵 对角矩阵？14/37定义定义 定义 设 ， 是 的子空间，若 有 ，则称 是 的不变子空间，记为例 ，记 的核与值域分别为则 均是 的不变子空间。15/371