谈中考数学复习的有效性

以经典题型为纲 求异求变求发展 谈中考数学复习的有效性摘要 以经典的习题为根本,通过拓展延伸,我们可以找到许多变式。这个学习过程,既是知识的深化,更是创新思维的培养。本文从三个习题入手，联用延伸、应用拓展、演变深化着眼，分别研究它们的不同变式，求异求变，以点带面，使各个知识点串联贯通，发展学生思维，从而提高中考复习有效性。关键词习题 变式 思维发展 有效性教材丰富的内涵，其中的习题均是专家多次筛选后的精品，是编拟中考试题的基础。所以，在中考复习教学中, 教师要加强对典型习题的研究，不断挖掘习题的内在“潜能” ；在题目选编中，要优先考虑课本中习题，适当拓深、演变，使其源于教材，又不拘泥于教材。立足基础，力求变化，形成问题链，以达到“做一题，通一类，会一片”的教学效果，从而达到提高中考复习的有效性。 。一、 联用延伸原题在数学浙教版七年级下册“1.2 三角形的角平分线和中线” ，作业题4:如图,CE、CF 分别是ABC 的内角平分线和外角平分线，求ECF 的度数BCDFEA复习过程中，教师首先指出：“此题属于三角形同一顶点处的内角平分线和外角平分线的夹角问题。 ”然后提问：“三角形内角或外角平分线相交，还有其他的情形吗？你们能画出相应的图形吗？” 让学生带着这个问题去思考，画出图形，并引导学生归纳、总结。变式一 ：P 为两内角平分线的交点如图，点 P 在ABC 内部，BPC 与A 的关系是 BCPA变式二：P 为两外角平分线的交点如图，点 P 是ABC 与ACB 两外角平分线的交点，BPC 与A 的关系是 B C变式三：P 为内、外角平分线的交点如图，点 P 是ABC 平分线和ACB 外角平分线的交点，BPC 与A 的关系是 ；BCDPA变式四：P 为内角平分线和外角平分线的反向延长线的交点如图，在ABC 中，C=90，点 P 是ABC 平分线和BAC 外角平分线的交点，则P 的度数为 。APBPA变式五：P 为内角线和外角平分线的反向延长线的交点如图，点 E 是ABC 平分线和ACB 外角平分线的交点，P 是EBC 平分线和ECB 外角平分线的交点，BPC 与A 的关系是 ；BCDEA通过这一组问题的训练，激发了学生的思维，有效的培养了学生的发散思维能力，提高了学生的创新意识。二、应用拓展原题（七年级下册）如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区 A、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从 A，B 到它的距离之和最短？本题来源于浙教版七年级下册，考查一定的直线同旁有两定点，在直线上确定一个点，使这点到两点的距离和最短，其实质是利用轴对称的知识，找出一个定点关于直线的对称点，对称点与另一直线的连线和定直线的交点即为所求作的点。此题潜在价值很大，复习时值得研究：可以在不同背景下探索结论；可以在同一背景下改变结论；可以通过图形位置变换，让图形动起来，变成动态问题。pC变式一：背景为等腰三角形(08 黄岩)如图,已知在等腰ABC 中, ABC=120 0,P 是底边 AC 上的一个动点, M、N 分别是 AB、BC 的中点,若 PM+PN 的最小值为 2， 求 ABC 的周长. BCDNMA变式二：背景为正方形（2009 年漳州）如图，正方形 的边长为 2， 为 的中点， 是ABEABP上一动点连结 ，由正方形对称性可知， 与 关于直线 对称连ACBDC结 交 于 ，则 的最小值是_；EDPE变式三：背景为圆如图， 的半径为 2，点 在 上， ， ，O ABC、 、 O AB60OC是 上一动点，求 的最小值；PBP变式四：背景为抛物线（衢州卷 2009）如图，已知点 A(-4，8)和点 B(2， n)在抛物线2yax上， (1) 求 a 的值及点 B 关于 x 轴对称点 P 的坐标，并在 x 轴上找一点 Q，使得 AQ+QB 最短，求出点 Q 的坐标；(2) 平移抛物线 2yx，记平移后点 A 的对应点为 A，点 B 的对应点为B，点 C(-2，0)和点 D(-4，0)是 x 轴上的两个定点 当抛物线向左平移到某个位置时， A C+CB 最短，求此时抛物线的ABECPDOABC函数解析式； 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形 A B CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由变式五：逆向应用如图， ， 是 内一点， ， 分别是45AOBPAOB10PQR、上的动点，求 周长的最小值、 QR此题从学生比较熟悉的几何模型入手，设计了五个逐层递进的问题让学生尝试解决、通过对结论的直接应用、对模型的重新构建和拓展创新，引导学生深入探究轴对称的应用和轴对称图形的本质，这种对同一知识逐步深化的问题设计方式，既尊重学生的认知规律，又体现了对学生过程的关注。三、演变深化原题浙教版八年级上册 P47 第 2 题： 如图，在 和 中，CABRtEDtAC=CE，点 D 在边 BC 的延长线上，且 。求证：90DACECABECD。 变式一：背景为梯形如图，梯形 中， ， ，AB=2cm，CD=4cm，以 上ABCD ABCBC一点 为圆心的圆经过 两点，且AOD=90，则圆心 到弦 的距离是O， OAD（ ）A cm B cm C cm D c610235O ABPRQ4 x22A 8-2O-2-4y6BCD-44ABCO图 4变式二：基本图形的构造应用几何综合性问题通常是由若干个基本问题组合而成，其图形也是由若干个基本图形组合而成，因而，学生不仅要具备必需的图形分解能力，同时，还应具备必需的添加辅助线构造基本图形的技能。例 1、如图 1，已知 ABC 中， ABC90, AB BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线 l1， l2， l3上，且 l1， l2之间的距离为 2 , l2， l3之间的距离为 3 ,则 AC 的长是（ ）A B C D77254例 2、如图 2，在平面直角坐标系中， ，且 ，点 的坐OBAOA标是 (1)，（1）求点 的坐标；（2）求过点 的抛物线的表达式；O、 、（3）连接 ，在（2）中的抛物线上求出点 ，使得ABPABPOS 变式三：弱化条件“直角” ，则“全等”结论仍然成立如图 3，在 和 中，点 D 在边 BC 的延长线上，AC=CE，且ABCE。则：ABCCDE。ACED例：如图 4， 为等边三角形，点 D，E，F 分别在边 BC，CA，AB 上，且 也为等边三角形。 F（1）除已知等边三角形的边相等以外，请你猜想还有哪些线段相等，并证明你的结论；（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变换相互得到？写出变换过程。变式四：三角形全等弱化为三角形相似图 3图 1l1l2l3ACByOBAx11图 2图 5，在 和 中，点 D 在边 BC 的延长线上，且CABRtEt。求证：CABECD。90DAE例：已知 A、D 是一段圆弧上的两点，且在直线 的同侧，分别过这两点作l的垂线，垂足为 B、C，E 是 BC 上一动点，连结 AD、AE、DE，且AED=90。l（1）如图 6，如果 AB=6,BC=16,且 BE:CE=1:3，求 AD 的长。（2）如图 6，若点 E 恰为这段圆弧的圆心，则线段 AB、BC、CD 之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明。再探究：当 A、D 分别在直线 两l侧且 ABCD，而其余条件不变时，线段 AB、BC、CD 之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明。变 式五：同时弱化“线段相等”和“直角” ，结论由全等弱化为相似如图 7，在 和 中，点 D 在边 BC 的延长线上，ABCE。则 CABECD 。 （这里的条件为三个角相等，至于等于多ACED少度，并无要求，可以是一个一般的度数，可以是下面例题中的 、 或6045等特殊的度数。因而，演变命题 3 在中考命题中的拓展与应用更为广泛。 ）30例 1、如图 8，M 为线段 AB 的中点，AE 与 BD 交于点C，DMEAB，且 DM 交 AC 于 F，ME 交 BC 于 G（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；（2）连结 FG，如果 45，AB ，AF3，求 FG 的长42例 2 如图 9，等边的边ABC长为 3，为 上P一点，且 ， 为 上一点，1D若 ，则 的长为（ ）60APDCA B C D3223124例 3、如图 10，在 中， ，AB=AC=2，点 D 在 BC 上运动RtA90B（不能到达点 B，C） ，过点 D 作 ，DE 交 AC 于点 E。45E求证：（1） ABCCDE 。（2）设 ，求 关于 的函数关系式。,xyx变式六：改变图形形状，变“三角形”为“等腰梯形”如图 11，梯形 ABCD 中，ABCD，E 为 AD 上一点，且满足 图 5A BMF GDEC图 8ADCPB图 960图 6图 7图 10图 6A BEF D, 则 ABEDEF 。例 1、如图 11,在梯形 中， ， ，ABCDB 6ADC，点 分别在线段 上（点 与点 不重合） ，且60BCEF， ， E，设 ， 2Fxy（1）求 与 的函数表达式；y（2）当 为何值时， 有最大值，最大值是多少？例 2、如图 12，在等腰梯形 中，ABC， =4 = ， =45直角三角板含 45角的顶点 在边ADBC AD42E上移动，一直角边始终经过点 ，斜边与 交于点 若 为等腰DFAB三角形，则 的长等于 F变式七：图形的变式延伸结合基本图形所具有的特殊性，可作一系列的变化，如将习题中的和 相向移动交叉重叠。ABCDE问题背景；课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下三个命题：如图（1） ，在正三角形 ABC 中，M，N 分别是 AC、AB 上的点，BM 与 CN相交于点 O，若BON=60则 BM=CN：如图（2） ，在正方形 ABCD 中，M、N 分别是 CD、AD 上的点BM 与 CN 相交于点 O，若BON=90则 BM=CN.然后运用类似的思想提出了如下命题：如图（3） ，在正五边形 ABCDE 中，M、N 分别是 CD，DE 上的点，BM 与CN 相交于点 O，若BON=108，则 BM=CN.任务要求：(1)请你从，三个命题中选择一个进行证明；(2) 请你继续完成下面的探索：试在图(3)中画出一条与 CN 相等的线段 DH，使点 H 在正五边形的边上，且与 CN 相交所成的一个角是 ，这样的线段有几条？108如图(4)，在正五边形 ABCDE 中，M，N 分别是 DE，DA 上的点，BM与 CN 相交于点 O，若 ，请问结论 BM=CN 是否还成