2017年石牌中学中考专题复习导学案23：特殊四边形(含答案)

2017 年中考数学专题练习 23特殊四边形 【知识归纳】 一、矩形 有一个角是 的平行四边形叫做矩形 (1)矩形的四个角都是 ； (2)矩形的对角线互相平分并且 (3)矩形是一个轴对称图形，它有 条对称轴 (1)根据矩形的定义； (2)有 个角是直角的平行四边形是矩形； (3)对角线 的平行四边形是矩形 二菱形 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 (1)菱形的四条边 ； (2)菱形的对角线互相 平分； (3)每条对角线平分 (4)菱形是 对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴，菱形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点 (1)根据菱形的定义； (2)四条边 的四边形是菱形； (3)对角线互相 的平行四边形是菱形 三正方形 有一组邻边相等，且有一个角是直角的 叫做正方形 正方形对边平行； 正方形四边 ； 正方形四个角都是 ； 正方形对角线相等，互相垂直平分 ，每条对角线平分 ； 正方形既是轴对称图形也是 图形，对称轴有 条，对称中心是对角线的交点 (1)根据正方形的定义； (2)有一组邻边相等的 是正方形； (3)有一个角是直角的 是正方形 【基础检测】 1（ 2016舟山）如图，矩形 ， ， ，过点 A， C 作相距为2 的平行线段 别交 点 E， F，则 长是（ ） A B C 1 D 2（ 2016兰州）如图，矩形 对角线 交 于点 O， E ， ，则四边形 面积（ ） A 2 B 4 C 4 D 8 3. （ 2016云南 昆明 ） 如图，在正方形 ， 对角线， E 为 一点，过点 F 别交于点 G， F， H 为 中点，连接 列结论： F； 80； 若 = ，则 3S 3S 中结论正确的有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 4 （ 2016黑 龙江齐齐哈尔 ） 如图，平行四边形 对角线 交于点 O，请你添加一个适当的条件 使其成为菱形（只填一个即可） 5. (2013 山东烟台 )如图， 周长为 36对角线 点 E 是 中点 2则 周长为_. 6. （ 2013 四川雅安）在 E、 F 分别在 ，且 (1)求证： (2)若 证：四边形 菱形 7.（ 2016贵州安顺 10 分）如图，在 ， ，点 E、 F 分别是 中点 （ 1）求证： （ 2）当四边形 菱形时，求出该菱形的面积 8（ 2016 广西南宁）已知四边形 菱形， ， 0， 两边分别与射线 交于点 E， F，且 0 （ 1）如图 1，当点 E 是线段 中点时，直接写出线段 间的数量关系； （ 2）如图 2，当点 E 是线段 任意一点时（点 E 不与 B、 C 重合），求证： F； （ 3）如图 3，当点 E 在线段 延长线上，且 5时，求点 F 到 距离 【达标检测】 一选择题 正方形 外侧，作等边三角形 交于点 F，则 ( ) A 45 B 55 C 60 D 75 2 （ 2016四川攀枝花 ） 下列关于矩形的说法中正确的是（ ） A对角线相等的四边形是矩形 B矩形的对角线相等且互相平分 C对角线互相平分 的四边形是矩形 D矩形的对角线互相垂直且平分 3.（ 2016四川内江 ） 下列命题中，真命题是 ( ) A对角线相等的四边形是矩形 B对角线互相垂直的四边形是菱形 C对角线互相平分的四边形是平行四边形 D对角线互相垂直平分的四边形是正方形 4 （ 2016四川南充 ） 如图，对折矩形纸片 合得到折痕 纸片展平；再一次折叠，使点 D 落到 点 G 处，并使折痕经过点 A，展平纸片后 ） A 30 B 45 C 60 D 75 5 （ 2016四川泸州）如图，矩形 边长 ， ， E 为 中点， F 在边 ，且 别与 交于点 M， N，则 ） A B C D 6 （ 2016湖北荆门） 如图，在矩形 （ 点 E 是 一点，且 A，足为点 F，在下列结论中，不一定正确的是（ ） A F D D 填空题 7. （ 2016内蒙古包头 ） 如图，在矩形 ，对角线 交于点 O，过点 A 作足为点 E，若 度 8. （ 2016陕西 ） 如图，在菱形 ， 0， ，点 P 是这个菱形内部或边上的一点，若以点 P、 B、 C 为顶点的三角形是等腰三角形，则 P、 D（ P、 D 两点不重合）两点间的最短距离为 9. 如图，在菱形 ，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为（ 8， 2），点 D 的坐标为（ 0， 2），则点 C 的坐标为 10. 如图，矩形 ， ， . 点 E 为 一个动点，把 叠，当点 D 的对应点 D落在 角平分线上时， 长为 . 11. 如图，正方形 边长为 a，在 上分别取点 1，使 3a，在边 2、 2，使 111 依次规律继续下 去，则正方形 三解答题 12.（ 2016黑龙江哈尔滨）已知：如图，在正方形 ，点 E 在边 ， 点 Q， 点 P （ 1）求证： Q； （ 2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于 长 13（ 2016 广西南宁）已知四边形 菱形， ， 0， 两边分别与射线 交于点 E， F，且 0 （ 1）如图 1，当点 E 是线段 中 点时，直接写出线段 间的数量关系； （ 2）如图 2，当点 E 是线段 任意一点时（点 E 不与 B、 C 重合），求证： F； （ 3）如图 3，当点 E 在线段 延长线上，且 5时，求点 F 到 距离 14 （ 2016 河南） 如图，在 ， 0，点 M 是 中点，以 直径作 O 分别交 点 D， E （ 1）求证： E； （ 2）填空： 若 ，当 ， ； 连接 A 的度数为 时，四边形 菱形 15 （ 2016陕西 ） 问题提出 （ 1）如图 ，已知 画出 于直线 称的三角形 问题探究 （ 2）如图 ，在矩形 ， ， ， ， ，是否在边 分别存在点 G、 H，使得四边形 周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由 问题解决 （ 3）如图 ，有一矩形板材 米， 米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形 件，使 0， G= 米， 5，经研究，只有当点 E、 F、 G 分别在边 ，且 满足点 H 在矩形 部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形件？若能，求出裁得的四边形 件的面积；若不能，请说明理由 【知识归纳答案】 一、矩形 有一个角是 直角 的平行四边形叫做矩形 (1)矩形的四个角都是 直角 ； (2)矩形的对角线互相平分并且 相等 (3)矩形是一个轴对称图形，它有 2 条对称轴 (1)根据矩形的 定义； (2)有 1 个角是直角的平行四边形是矩形； (3)对角线 相等 的平行四边形是矩形 二菱形 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 (1)菱形的四条边 相等 ； (2)菱形的对角线互相 垂直 平分； (3)每条对角线平分 一组对角 (4)菱形是 轴 对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴，菱形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点 (1)根据菱形的定义； (2)四条边 相等 的四边形是菱形； (3)对角线互相 垂 直 的平行四边形是菱形 三正方形 有一组邻边相等，且有一个角是直角的 平行四边形 叫做正方形 正方形对边平行； 正方形四边 相等 ； 正方形四个角都是 直角 ； 正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分 一组对角 ； 正方形既是轴对称图形也是 中心 图形，对称轴有 四 条，对称中心是对角线的交点 (1)根据正方形的定义； (2)有一组邻边相等的 矩形 是正方形； (3)有一个角是直角的 菱形 是正方形 【基础检测 答案】 1（ 2016舟山）如图，矩形 ， ， ，过点 A， C 作相距为2 的平行线段 别交 点 E， F，则 长是（ ） A B C 1 D 【分析】过 F 作 H，根据矩形的性质得到 D， 出四边形 平行四边形，根据平行四边形的性质得到 E，根据相似三角形的性质得到 ，于是得到 F，列方程即可得到结论 【解答】解：过 F 作 H， 四边形 矩形， D， 四边形 平行四边形， E， F， ， D= 0， 0， ， F， =3 ， 故选 D 【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键 2（ 2016兰州）如图，矩形 对角线 交于点 O， E ， ，则四边形 面积（ ） A 2 B 4 C 4 D 8 【分析】连接 于点 F，由四边形 矩形得到对角线互相平分且相等，进而得到 C，再由两组对边分别平行的四边形为平行四边形得到 平行四边形，根据邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形菱形，得到对角线互相平分且垂直，求出菱形 面积即可 【解答】解：连接 于点 F， 四边形 矩形， C， D，且 D，即 B=D， 四边形 平行四边形， C， 四边形 菱形， F， F， A， 四边形 平行四边形， ， ， ，即 F= ， 在 ，根据勾股定理得： =1，即 ， 则 S 菱形 O D E C= C= 2 2=2 故选 A 【点评】此题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键 3. （ 2016云南省昆明市 4 分 ） 如图，在正方形 ， 对角线， E 为 一点，过点 E 作 别交于点 G， F， H 为 中点，连接 H下列结论： F； 80； 若 = ，则 3S 3S 中结论正确的有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质 【分析】 根据题意可知 5，则 C，则 F D F； 由 明 到 而 80； 同 证明 可； 若 = ，则 以证明 H，则 0， 等腰直角三角形，过 H 点作 直于 M 点，设 HM=x，则x， x， x，则 S D=3S 3 【解答】解： 四边形 正方形， D= 5， 0， 等腰直角三角形， C， F D F，故 正确； 等腰直角三角形， H 为 中点， H， 5= 在 ， ， 80，故 正确； 等腰直角三角形， H 为 中点， H， 5= 在 ， ， 故 正确； = ， 等腰直角三角形， H 为 中点， H， 0， 0+ 在 ， ， H， 0， 等腰直角三角形 ， 过 H 点作 直于 M 点，如图所示： 设 HM=x，则 x， x， x， 则 S D=3S 3 3S 3S 正确； 故选： D 4 （ 2016黑龙江齐齐哈尔 3 分 ） 如图，平行四边形 对角线 交于点 O，请你添加一个适当的条件 0或 C 使其成为菱形（只填一个即可） 【考点】菱形的判定；平行四边形的性质 【分析】利用菱形的判定方法确定出适当的条件即可 【解答】解：如图，平行四边形 对角线 交于点 O，添加一个适当的条件为： 0或 C 使其成为菱形 故答案为： 0或 C 5. (2013 山东烟台 )如图， 周长为 36对角线 点 E 是 中点 2则 周长为_. 【答案】 15 【解题思路】根据平行四边形的性质，对角线互相平分，两组对边分别相等，可以分别求出E 的长，即可求解 . 周长为 36， D=18， 四边形 平行四边形， O 是 中点， ,又 E 是 中点， 中位线， E=9， 周长=E+6+9 =15 【方法指导】本题考查了平行四边形的性质、三角形的中位线定理以及整体思想的运用 是本题较新颖，根据对角线的交点是对角线的中点，可以求出其中一边的长，而另外两边运用整体思想，求出这两边的长度和后即可求解 于对角线的交点即为中点，再加上另一中点，所 以中位线定理是我们的首选 . 6. （ 2013 四川雅安） 在 E、 F 分别在 ，且 (1)求证： (2)若 证：四边形 菱形 【答案】 (1)证明： 四边形 平行四边形， A C， 又 (2)证明： 四边形 平行四边形， 四边形 平行四边形， 【解析】 （ 1）首先根据平行四边形的性质可得 A C，再加上条件 明 （ 2）首先证明 加上条件 得四边形 平行四边形，又 B，可根据邻边相等的平行四边形为菱形证出结论 【方法指导】 此题主要考查了全等三角形的判定，以及菱形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理，以及菱形的判定定理，平行四边形的性质 7.（ 2016贵州安顺）如图，在 ， ，点 E、 F 分别是 中点 （ 1）求证： （ 2）当四边形 菱形时，求出该菱形的面积 【分析】第（ 1）问要证明三角形全等，由平行四边形的性质，很容易用 全等 第（ 2）要求菱形的面积，在第（ 1）问的基础上很快知道 等边三角形这样菱形的高就可求了，用面积公式可求得 【解答】（ 1）证明： 在 ， D， D， 又 C= F= F （ 2）解： 四边形 菱形时， C 又 点 E 是边 中点， C，即 E 又 ， E， E= 等边三角形，（ 6 分） 上的高为 2 ，（ 7 分） 菱形 面积为 2 （ 8 分） 【点评】考查了全等三角形，四边形的知识以及逻辑推理能力 （ 1）用 全等； （ 2）若四边形 菱形，则 C=B，所以 等边三角形 8（ 2016 广西南宁）已知四边形 菱形， ， 0， 两边分别与射线 交于点 E， F，且 0 （ 1）如图 1，当点 E 是线段 中点时，直接写出线段 间的数量关系； （ 2）如图 2，当点 E 是线段 任意一点时（点 E 不与 B、 C 重合），求证： F； （ 3）如图 3，当点 E 在线段 延长线上，且 5时，求点 F 到 距离 【考点】四边形综合题 【分析】（ 1）结论 F=要证明 F 即可证明 等边三角形 （ 2）欲证明 F，只要证明 可 （ 3）过点 G ，过点 H ，根据 F因为 E，只要求出 可解决问题 【解答】（ 1）解：结论 F= 理由：如图 1 中，连接 四边形 菱形， B=60， C=D， B= D=60， 等边三角形， 0 C， 0， 0， 0， F（菱形的高相等）， 等边三角形， F= （ 2）证明：如图 2 中， 0， 在 ， ， F （ 3）解：过点 A 作 点 G，过点 F 作 点 H， 5， 0， 5， 在 ， 0， ， ， 在 ， 5， E=2 ， G 2， F， F=2 2， 5， 0， F， 等边三角形， 0 5， 0， 5， 在 ， 5， 5， 0， 5， 5， 0， 在 ， 0， 2， F（ 2 2） =3 点 F 到 距离为 3 【点评】本题考查四边形 综合题、菱形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题 【达标检测答案】 一选择题（每小题 4 分，满分 40 分） 正方形 外侧，作等边三角形 交于点 F，则 ( ) A 45 B 55 C 60 D 75 【答案】 C 【解析】 四边形 正方形， 0， 5 等边三角形， D， 5 35， D. 5 5 0 故选 C 2 （ 2016四川攀枝花 ） 下列关于矩形的说法中正确的是（ ） A对角线相等的四边形是矩形 B矩形的对角线相等且互相平分 C对角线互相平分的四边形是矩形 D矩形的对角线互相垂直且平分 【考点】矩形的判定与性质 【分析】根据矩形的性质和判定定理逐个判断即可 【解答】解： A、对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错 误； B、矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确； C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项错误； D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误； 故选 B 【点评】本题考查了矩形的性质和判定的应用，能熟记矩形的性质和判定定理是解此题的关键 3.（ 2016四川内江 ） 下列命题中，真命题是 ( ) A对角线相等的四边形是矩形 B对角线互相垂直的四边形是菱形 C对角线互相平分的四边形是平行四边形 D对角线互相垂直平分的四边形是正方形 答案 C 考点 特殊四边 形的判定。 解析 满足选项 A 或选项 B 中的条件时，不能推出四边形是平行四边形，因此它们都是假命题由选项 D 中的条件只能推出四边形是菱形，因此也是假例题只有选项 C 中的命题是真命题 故选 C 4 （ 2016四川南充 ） 如图，对折矩形纸片 合得到折痕 纸片展平；再一次折叠，使点 D 落到 点 G 处，并使折痕经过点 A，展平纸片后 ） A 30 B 45 C 60 D 75 【分析】直接利用翻折变换的性质以及直角三角形的性质得出 2= 4，再利 用平行线的性质得出 1= 2= 3，进而得出答案 【解答】解：如图所示：由题意可得： 1= 2， N， 0， 则 M，故 G， 则 2= 4， 4= 3， 1= 2= 3=1/390=30， 0 故选： C 【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及平行线的性质，正确得出 2= 4 是解题关键 5 （ 2016四川泸州）如图，矩形 边长 ， ， E 为 中点， F 在边 ，且 别与 交于点 M， N，则 ） A B C D 【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质 【分析】过 F 作 H，交 O，于是得到 B=2，根据勾股定理得到 = =2 ，根据平行线分线段成比例定理得到，由相似三角形的性质得到 = = ，求得 ，根据相似三角形的性质得到 = = ，求得 ，即可得到结论 【解答】解：过 F 作 H，交 O，则 B=2 D=3， H=2， D=1， = =2 ， = = ， ， H = ， = = ， ， = = ， ， N = ， 故选 B 6（ 2016湖北荆门 3 分 ） 如图，在矩形 （ 点 E 是 一点，且 A，足为点 F，在下列结论中，不一定正确的是（ ） A F D D 考点】矩形的性质；全等三角形的判定 【分析】先根据已知条件判定判定 再根据矩形的对边相等，以及全等三角形的对应边相等进行判断即可 【解答】解：（ A）由矩形 得 C= 0， 又 D， 故（ A）正确； （ B） 一定等于 30， 直角三角形 ， 一定等于 一半，故（ B）错误； （ C）由 得 D， 由矩形 得 D， F，故（ C）正确； （ D）由 得 F， 由矩形 得 D， 又 C D （ D）正确； 故选（ B） 二填空题 7. （ 2016内蒙古包头 ） 如图，在矩形 ，对角线 交于点 O，过点 A 作足为点 E，若 【考点】矩形的性质 【分析】首先证明 等腰直角三角形，求出 可 【解答】解： 四边形 矩形， D， C， D， B 0， 5， = 故答案为 8. （ 2016陕西 ） 如图，在菱形 ， 0， ，点 P 是这个菱形内部或边上的一点，若以点 P、 B、 C 为顶点的三角形是等腰三角形，则 P、 D（ P、 D 两点不重合）两点间的最短距离为 2 2 【考点】菱形的性质；等腰三角形的判定；等边三角形的性质 【分析】如图连接 于点 O，以 B 为圆心 半径画圆交 P此时 段 短，求出 可解决问题 【解答】解：如图连接 于点 O，以 B 为圆心 半径画圆交 P 此时 等腰三 角形，线段 短， 四边形 菱形， 0， C=D， 0， 等边三角形， O= 2= ， ， 小值 = 2 故答案为 2 2 9. 如图，在菱形 ，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为（ 8， 2），点 D 的坐标为（ 0， 2），则点 C 的坐标为 【答案】（ 4， 4） 【解析】连接 于点 E，如图所示： 四边形 菱形， E=2E=12 点 B 的坐标为（ 8， 2），点 D 的坐标为（ 0， 2）， ， D=2， ， ， 点 C 的坐标为：（ 4， 4）；故答案为：（ 4， 4） 10. 如图，矩形 ， ， . 点 E 为 一个动点，把 叠，当点 D 的对应点 D落在 角平分线上时， 长为 . 【答案】52或3. 【解析】如答图，连接 B D，过 D作 点 N，交 点 M，过 D作 DG ， 点 D落在 角平分线上， DN= DG. 又 00， 四边形 D正方形， D等腰直角三角形 . 设 N=x，则 ， ， 是 叠得到， 5， x. 在 D，由勾股定理得 2225 x 7 x ，即2x x 12 0 ，解得 12x 3, x 4 . 易证， DE DMA 当 N=3 时，N 4 , D A 5 , D M 2 ， E D 2 5E D 5 2 ； 当 N=4 时，3 , 5 , D 1 ， 1 5 3. DE， 长为52或3. 11. 如图，正方形 边长为 a，在 上分别取点 1，使 3a，在边 2、 2，使 111 依次规律继续下去，则正方形 【答案】5()9 【解析】在 勾股定理可知；2 2 21 1 1 1A B A B B B=2221( ) ( )33259a，即 正 方 形 面 积 =259a；在 ， 由 勾 股 定 理 可 知 ：2 2 22 2 1 2 1B A B B B=222 5 1 5( ) ( )3 3 3 3 =225()9 a；即正方形 面积=225()9 a， ， 正方形 2n故答案为：259 三解答题 12.（ 2016黑龙江哈尔滨）已知：如图，在正方形 ，点 E 在边 ， 点 Q， 点 P （ 1）求证： Q； （ 2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于 长 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质 【分析】（ 1）根据正方形的性质得出 A， 根据已知条件得到 定 得出结论；（ 2）根据 Q 和全等三角形的对应边相等进行判断分析 【解答】解：（ 1） 正方形 A， 0，即 0 0 点 Q， 点 P 0 Q （ 2） Q Q Q Q 13（ 2016 广西南宁）已知四边形 菱形， ， 0， 两边分别与射线 交于点 E， F，且 0 （ 1）如图 1，当点 E 是线段 中点时，直接写出线段 间的数量 关系； （ 2）如图 2，当点 E 是线段 任意一点时（点 E 不与 B、 C 重合），求证： F； （ 3）如图 3，当点 E 在线段 延长线上，且 5时，求点 F 到 距离 【考点】四边形综合题 【分析】（ 1）结论 F=要证明 F 即可证明 等边三角形 （ 2）欲证明 F，只要证明 可 （ 3）过点 G ，过点 H ，根据 F因为 E，只要求出 可解决问题 【解答】（ 1）解：结论 F= 理由：如图 1 中，连接 四边形 菱形， B=60， C=D， B= D=60， 等边三角形， 0 C， 0， 0， 0， F（菱形的高相等）， 等边三角形， F= （ 2）证明：如图 2 中， 0， 在 ， ， F （ 3）解：过点 A 作 点 G，过点 F 作 点 H， 5， 0， 5， 在 ， 0， ， ， 在 ， 5， E=2 ， G 2， F， F=2 2， 5， 0， F， 等边三角形， 0 5， 0， 5， 在 ， 5， 5， 0， 5， 5， 0， 在 ， 0， 2， F（ 2 2） =3 点 F 到 距离为 3 【点评】本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定 和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题 14 （ 2016 河南） 如图，在 ， 0，点 M 是 中点，以 直径作 O 分别交 点 D， E （ 1）求证： E； （ 2）填空： 若 ，当 ， 2 ； 连接 A 的度数为 60 时，四边形 菱形 【考点】菱形的判定 【分析】（ 1）先证明 A= 证明 A 即可解决问题 （