高中数学必修5《基本不等式》教案

课题：基本不等式教材：普通高中课程标准实验教科书数学必修 53.4一、教学目标：1、探索并了解基本不等式的证明过程，了解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“”或“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。2、通过实例探究抽象基本不等式，体会特殊到一般的数学思想方法；3、通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣；4、培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。二、教学重点和难点：重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；2ab难点：注意基本不等式 等号成立条件以及应用于解决简单的最大2ab(小)值问题。三、教学方法：启发、探究式相结合四、教学工具：多媒体课件五、教学过程：一、问题引入:如图是 2002年在北京召开的第 24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？这样，三角形的面积的和是 2ab，正方形的面积为 。由于 4个直角三角2ab二、探究过程：1问题探究探究图形中的不等关系。将图中的“风车”抽象成如图，在正方形 ABCD中有四个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为 a,b那么正方形的边长为 。2ab探究 1：（1）正方形 ABCD的面积 S=（2）四个直角三角形的面积和 S=（3）S 与 S有什么样的关系？ A D CBH FG E形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式： 2ab几何画板课件动画显示，当直角三角形变为等腰直角三角形，即 a=b时，正方形 EFGH缩为一个点，这时有 。2ab问题：你能证明这个结论吗？证明：（作差法）因为 22)(ab当 时，ba0)(当 时，2所以， ，即)(.2)(ab总结结论 1：一般的，如果 )“(R,2号时 取当 且 仅 当那 么 ba文字叙述为:两数的平方和不小于积的 2倍。 2、从几何图形的面积关系认识基本不等式 2ab探究 2：（1）特别的，如果 a0,b0,我们用 、 分别代替 a、b ，可得到什么结论？替换后得到： ，2ab)0,(通常我们把上式写作：(a,b)2b（2）你能证明基本不等式 吗？总结结论 2： (a0,b)b当且仅当 a=b时，等号成立。探究 3：理解基本不等式 的几何意义2在右图中，AB 是圆的直径，点 C是 AB上的一点，AC=a,BC=b。过点 C作垂直于 AB的弦 DE，连接 AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式 的几何解释吗？2ab易证 t A D t D B，或利用相交弦定理，那么 2CD=AB即 CD .ab这个圆的半径为 ，显然，它大于或等于 CD，即 ，其中当且仅2 ab2当点 C与圆心重合，即 a b时，等号成立.因此：基本不等式 几何意义是“半径不小于半弦”当且仅当 a=b时“” 号成立 三、应用举例例 1.（1）用篱笆围一个面积为 100 m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？（2）一段长为 36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少?例 1反思：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若 ，且,abRabM，M 为定值，则 24等号当且仅当 a b时成立. 2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若 ，且 ab P， P,abR为定值，则 2abP例 2、若 x0，求 的最小值1yx变 1：若 x3 ,求 的最小值13yx再次归纳小结，加深印象，得到升华：利用基本不等式求函数最值应注意:函数式中相关项必须为正;所求函数式中,含变数的各项和或积必须为定值;必须有自变量的值能使函数取到 “=” 号.即是：一正、二定、三相等。四、课堂小结：等号当且仅当 a b时成立.1、本节课主要探究基本不等式的证明与初步应用。（1） )“(2R,2号时 取当 且 仅 当那 么 baa（2） (0,当且仅当 a=b时，等号成立2、注意公式的正向、逆向使用的条件以及“=” 成立的条件。（1） )“(2R,2号时 取当 且 仅 当那 么 baa（2） (0,当且仅当 a=b时，等号成立3、会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。五、课堂练习：1、已知直角三角形的面积等于 50，两条直角边各为多少时,两条直角边的和最小，最小值是多少？2、用 20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应怎样折？3、若 0x1，求 x（ 1-x） 的最大六、作业与思考：1、课本 P100 习题 3.4 A组 122、思考：若 x0,求 的最大值。x1课题：基本不等式教材：普通高中课程标准实验教科书数学必修 53.4一、教材分析：1.教材的地位和作用基本不等式是普通高中课程标准实验教科书数学必修 5第三章的内容，这节课的内容是学习基本不等式： 。这个不等式不管在数学解题还2ab是在解决实际问题上都有着极大的应用，而学生常常不会利用这个式子或者使用的时候没有注意适用的条件。2教学重点和难点：重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；2ab难点：注意基本不等式 等号成立条件以及应用于解决简单的最大(小)值问2ab题。二、教学目标：(1)、探索并了解基本不等式的证明过程，了解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“”或“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。(2)、通过实例探究抽象基本不等式，体会特殊到一般的数学思想方法；(3)、通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣；(4)、培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。三、教学方法：启发、探究式相结合四、教学工具：多媒体课件五、教学过程教师活动 学生活动 设计意图一、问题引入:观察、思考提出研究的问题，让学生明确学习的目标，提高学生探究的兴趣二、探究过程：由图示得出不等关系归纳出基本不等式，再从数、形两方面加深对基本不等式的了解与认识观察、归纳、思考、比较、小组讨论、板演过程、口答问题。培养学生从特殊到一般的数学思想方法、数形结合的思想方法，加深对基本不等式的理解，让学生体会数学知识的严谨性；结论的得出尽量发挥学生自主能动性，让学生总结，教师适时点拨引导；让学生体会从一般到特殊的思想；培养学生类比的思想方法；培养学生的团队合作的意识深入理解基本不等式三、应用举例对例 1.例 2进行分析并通过反思归纳如何利用基本不等式解决问题和解决问题时应该注意的各个方面。思考、运用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。归纳、总结、思考如何运用、何时应用基本不等式求解，并注意限制条件进一步提高学生的基础知识应用的能力；提高学生把实际问题转化为数学问题的能力；做完练习之后及时总结、归纳养成良好的思维习惯，体会数学来源于生活，提高学