人教版高中数学选修2-1、2-2、2-3课后习题参考答案

新课程标准数学选修 2 2第一章课后习题解答 第一章 导数及其应用 3 1 变化率与导数 练习 （ 在第 3 h 和 5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为 1 和 3. 它说明在第 3 h 附近，原油温度大约以 1 h 的速度下降；在第 5 h 时，原油温度大约以 3 h 的速率上升 . 练习 （ 函数 ()3近单调递增，在4近单调递增 . 并且，函数 ()4 说明 ：体会“以直代曲”的思想 . 练习 （ 函数3 3() 4 (0 5)V的图象为 根据图象，估算出 ( ， ( . 说明 ：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数 . 习题 A 组 （ 1、在0然1 0 2 0( ) ( )W t W t，然而 1 0 1 0 2 0 2 0( ) ( ) ( ) ( )W t W t t W t W t . 所以，企业甲比企业乙治理的效率高 . 说明 ：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵 . 2、 ( 1 ) ( 1 ) 4 . 9 3 . 3h h t h ，所以， (1) . 这说明运动员在 1t s 附近以 3.3 m s 的速度下降 . 3、物体在第 5 s 的瞬时速度就是函数 () 5t 时的导数 . ( 5 ) ( 5 ) 10s s t s ，所以， (5) 10s . 因此，物体在第 5 s 时的瞬时速度为 10 m s，它在第 5 s 的动能21 3 1 0 1 5 02 J. 4、设车轮转动的角度为 ，时间为 t ，则 2 ( 0 )kt t . 由题意可知，当 时， 2 . 所以 258k ，于是 2258 t . 车轮转动开始后第 3.2 s 时的瞬时角速度就是函数 ()t 在 时的导数 . ( 3 . 2 ) ( 3 . 2 ) 2 5 208t ，所以 (20 . 因此，车轮在开始转动后第 3.2 s 时的瞬时角速度为 20 1s . 说明 ：第 2,3,4 题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固 . 5、由图可知，函数 ()x 处切线的斜率大于零，所以函数在 5x 附近单调递增 . 同理可得，函数 ()x ， 2 ， 0， 2 附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减 . 说明 ：“以直代曲”思想的应用 . 6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数 ()图象如图（ 1）所示；第二个函数的导数 ()恒大于零，并且随着 x 的增加， ()值也在增加；对于第三个函数，当 x 小于零时， ()小于零，当 x 大于零时， ()于零，并且随着 x 的增加， ()的值也在增加 . 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种 . 说明 ：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系 . 习题 B 组 （ 1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度 . 2、 说明 ：由给出的 ()信息获得 ()相关信息，并据此画出 ()图象的大致形状 . 这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换 . 3、由（ 1）的题意可知，函数 ()1, 5) 处的切线斜率为 1 ，所以此点附近曲线呈下降趋势 . 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象 . 同理可得（ 2）（ 3）某点处函数图象的大致形状 . 下面是一种参考答案 . 说明 ：这是一 个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟 . 本题的答案不唯一 . 1 2 导数的计算 练习 （ 1、 ( ) 2 7f x x ，所以， (2) 3f ， (6) 5f . 2、（ 1） 1y x； （ 2） 2 ； （ 3） 41 0 6y x x ； （ 4） 3 s i n 4 c o sy x x ； （ 5） 1 ； （ 6） 121y x . 习题 A 组 （ 1、 ( ) ( ) 2S S r r S r ，所以，0( ) l i m ( 2 ) 2rS r r r r . 2、 ( ) 9 t t . 3、3 213() 34 . 4、（ 1） 2 13； （ 2） 1n x n xy n x e x e ； （ 3） 2323 s i n c o s c o ss i nx x x x xy x ； （ 4） 989 9 ( 1)； （ 5） 2 ； （ 6） 2 s i n ( 2 5 ) 4 c o s ( 2 5 )y x x x . 5、 ( ) 8 2 2f x x . 由0( ) 4有 04 8 2 2 x ，解得0 32x . 6、（ 1） ； （ 2） 1. 7、 1 . 8、（ 1）氨气的散发速度 ( ) 5 0 0 l n 0 . 8 3 4 0 . 8 3 4 . （ 2） (7 ) ，它表示氨气在第 7 天左右时，以 天的速率减少 . 习题 B 组 （ 1、（ 1） （ 2）当 h 越来越小时， s i n ( ) s i nx h 就越来越逼近函数 . （ 3） 的导数为 . 2、当 0y 时， 0x . 所以函数图象与 x 轴交于点 (0,0)P . ，所以0 1 . 所以，曲线在点 P 处的切线的方程为 . 2、 ( ) 4 t t . 所以，上午 6:00 时潮水的速度为 m h；上午 9:00 时潮水的速度为 m h；中午 12:00 时潮水的速度为 m h；下午 6:00 时潮水的速度为 m h. 1 3 导数在研究函数中的应用 练习 （ 1、（ 1）因为 2( ) 2 4f x x x ，所以 ( ) 2 2f x x . 当 ( ) 0 ，即 1x 时，函数 2( ) 2 4f x x x 单调递增； 当 ( ) 0 ，即 1x 时，函数 2( ) 2 4f x x x 单调递减 . （ 2）因为 () xf x e x，所以 ( ) 1xf x e . 当 ( ) 0 ，即 0x 时，函数 () xf x e x单调递增； 当 ( ) 0 ，即 0x 时，函数 () xf x e x单调递减 . （ 3）因为 3( ) 3f x x x，所以 2( ) 3 3f x x . 当 ( ) 0 ，即 11x 时，函数 3( ) 3f x x x单调递增； 当 ( ) 0 ，即 1x 或 1x 时，函数 3( ) 3f x x x单调递减 . （ 4）因为 32()f x x x x ，所以 2( ) 3 2 1f x x x . 当 ( ) 0 ，即 13x或 1x 时，函数 32()f x x x x 单调递增； 当 ( ) 0 ， 即 1 13 x 时，函数 32()f x x x x 单调递减 . 2、 3、因为 2( ) ( 0 )f x a x b x c a ，所以 ( ) 2f x ax b . （ 1）当 0a 时， ( ) 0 ，即 2bx a 时，函数 2( ) ( 0 )f x a x b x c a 单 调递增； ( ) 0 ，即 2bx a 时，函数 2( ) ( 0 )f x a x b x c a 单调递减 . （ 2）当 0a 时， ( ) 0 ，即 2bx a 时，函数 2( ) ( 0 )f x a x b x c a 单调递增； ( ) 0 ，即 2bx a 时，函数 2( ) ( 0 )f x a x b x c a 单调递减 . 4、证明：因为 32( ) 2 6 7f x x x ，所以 2( ) 6 1 2f x x x . 当 (0,2)x 时， 2( ) 6 1 2 0f x x x ， 因此函数 32( ) 2 6 7f x x x 在 (0,2) 内是减函数 . 练习 （ 1、24,)y f x 的极值点， 其中2函数 ()y f x 的极大值点，4函数 ()y f x 的极小值点 . 2、（ 1）因为 2( ) 6 2f x x x ，所以 ( ) 1 2 1f x x . 令 ( ) 1 2 1 0f x x ，得 112x. 当 112x时， ( ) 0 ， () 112x时， ( ) 0 ， () 所 以 ， 当 112x时， () 极 小 值 ， 并 且 极 小 值 为21 1 1 4 9( ) 6 ( ) 21 2 1 2 1 2 2 4f . （ 2）因为 3( ) 2 7f x x x ，所以 2( ) 3 2 7f x x . 令 2( ) 3 2 7 0f x x ，得 3x . 下面分两种情况讨论： 当 ( ) 0 ，即 3x 或 3x 时；当 ( ) 0 ，即 33x 时 . 注： 图象形状不唯一 . 当 x 变化时， ()， () x ( , 3) 3 ( 3,3) 3 (3, ) () 0 0 ()调递增 54 单调递减 54 单调递增 因此，当 3x 时， ()且极大值为 54； 当 3x 时， ()且极小值为 54 . （ 3）因为 3( ) 6 1 2f x x x ，所以 2( ) 1 2 3f x x . 令 2( ) 1 2 3 0f x x ，得 2x . 下面分两种情况讨论： 当 ( ) 0 ，即 22x 时；当 ( ) 0 ，即 2x 或 2x 时 . 当 x 变化时， ()， () x ( , 2) 2 ( 2,2) 2 (2, ) () 0 0 ()调递减 10 单调递增 22 单调递减 因此，当 2x 时， ()且极小值为 10 ； 当 2x 时， ()且极大值为 22 （ 4）因为 3( ) 3f x x x，所以 2( ) 3 3f x x . 令 2( ) 3 3 0f x x ，得 1x . 下面分两种情况讨论： 当 ( ) 0 ，即 11x 时；当 ( ) 0 ，即 1x 或 1x 时 . 当 x 变化时， ()， () x ( , 1) 1 ( 1,1) 1 (1, ) () 0 0 ()调递减 2 单调递增 2 单调递减 因此，当 1x 时， ()且极小值为 2 ； 当 1x 时， ()且极大值为 2 练习 （ （ 1）在 0,2 上，当 112x时， 2( ) 6 2f x x x 有极小值，并且极小值为1 49()12 24f . 又由于 (0) 2f ， (2) 20f . 因此，函数 2( ) 6 2f x x x 在 0,2 上的最大值是 20、最小值是 4924. （ 2）在 4, 4 上，当 3x 时， 3( ) 2 7f x x x 有极大值，并且极大值为 ( 3) 54f ； 当 3x 时 ， 3( ) 2 7f x x x 有极小值，并且极小值为 (3) 54f ； 又由于 ( 4) 44f ， (4) 44f . 因此，函数 3( ) 2 7f x x x 在 4,4 上的最大值是 54、最小值是 54 . （ 3）在 1 , 3 3上，当 2x 时， 3( ) 6 1 2f x x x 有极大值，并且极大值为 (2) 22f . 又由于 1 55()3 27f ， (3) 15f . 因此，函数 3( ) 6 1 2f x x x 在 1 ,33上的最大值是 22、最小值 是 5527. （ 4）在 2,3 上，函数 3( ) 3f x x x无极值 . 因为 (2) 2f ， (3) 18f . 因此，函数 3( ) 3f x x x在 2,3 上的最大值是 2 、最小值是 18 . 习题 A 组 （ 1、（ 1）因为 ( ) 2 1f x x ，所以 ( ) 2 0 . 因此，函数 ( ) 2 1f x x 是单调递减函数 . （ 2）因为 ( ) c o sf x x x ， (0, )2x ，所以 ( ) 1 s i n 0f x x ， (0, )2x . 因此，函数 ( ) c o sf x x x 在 (0, )2上是单调递增函数 . （ 3）因为 ( ) 2 4f x x ，所以 ( ) 2 0 . 因此，函数 ( ) 2 4f x x是单调递减函数 . （ 4）因为 3( ) 2 4f x x x，所以 2( ) 6 4 0f x x . 因此，函数 3( ) 2 4f x x x是单调递增函数 . 2、（ 1）因为 2( ) 2 4f x x x ，所以 ( ) 2 2f x x . 当 ( ) 0 ，即 1x 时，函数 2( ) 2 4f x x x 单调递增 . 当 ( ) 0 ，即 1x 时，函数 2( ) 2 4f x x x 单调递减 . （ 2）因为 2( ) 2 3 3f x x x ，所以 ( ) 4 3f x x . 当 ( ) 0 ，即 34x时，函数 2( ) 2 3 3f x x x 单调递增 . 当 ( ) 0 ，即 34x时，函数 2( ) 2 3 3f x x x 单调递减 . （ 3）因为 3( ) 3f x x x，所以 2( ) 3 3 0f x x . 因此，函数 3( ) 3f x x x是单调递增函数 . （ 4）因为 32()f x x x x ，所以 2( ) 3 2 1f x x x . 当 ( ) 0 ，即 1x 或 13x时，函数 32()f x x x x 单调递增 . 当 ( ) 0 ，即 113x 时，函数 32()f x x x x 单调递减 . 3、（ 1）图略 . （ 2）加速度等于 0. 4、（ 1）在2，导函数 ()y f x 有极大值； （ 2）在14，导函数 ()y f x 有极小值； （ 3）在3，函数 ()y f x 有极大值 ； （ 4）在5，函数 ()y f x 有极小值 . 5、（ 1）因为 2( ) 6 2f x x x ，所以 ( ) 1 2 1f x x . 令 ( ) 1 2 1 0f x x ，得 112x. 当 112x时， ( ) 0 ， () 当 112x时， ( ) 0 ， () 所以， 112x时， () 极 小 值 ， 并 且 极 小 值 为21 1 1 4 9( ) 6 ( ) 21 2 1 2 1 2 2 4f . （ 2）因为 3( ) 1 2f x x x，所以 2( ) 3 1 2f x x . 令 2( ) 3 1 2 0f x x ，得 2x . 下面分两种情况讨论： 当 ( ) 0 ，即 2x 或 2x 时；当 ( ) 0 ，即 22x 时 . 当 x 变化时， ()， () x ( , 2) 2 ( 2,2) 2 (2, ) () 0 0 ()调递增 16 单调递减 16 单调递增 因此，当 2x 时， ()且极大值为 16； 当 2x 时， ()且极小值为 16 . （ 3）因为 3( ) 6 1 2f x x x ，所以 2( ) 1 2 3f x x . 令 2( ) 1 2 3 0f x x ，得 2x . 下面分两种情况讨论： 当 ( ) 0 ，即 2x 或 2x 时；当 ( ) 0 ，即 22x 时 . 当 x 变化时， ()， () x ( , 2) 2 ( 2,2) 2 (2, ) () 0 0 ()调递增 22 单调递减 10 单调递增 因此，当 2x 时， ()值，并且极大值为 22； 当 2x 时， ()且极小值为 10 . （ 4）因为 3( ) 4 8f x x x，所以 2( ) 4 8 3f x x . 令 2( ) 4 8 3 0f x x ，得 4x . 下面分两种情况 讨论： 当 ( ) 0 ，即 2x 或 2x 时；当 ( ) 0 ，即 22x 时 . 当 x 变化时， ()， () x ( , 4) 4 ( 4,4) 4 (4, ) () 0 0 ()调递减 128 单调递增 128 单调递减 因此，当 4x 时， ()且极小值为 128 ； 当 4x 时， ()且极大值为 128. 6、（ 1）在 1,1 上，当 112x时，函数 2( ) 6 2f x x x 有极小值，并且极小值为 4724. 由于 ( 1) 7f ， (1) 9f ， 所以，函数 2( ) 6 2f x x x 在 1,1 上的最大值和最小值分别为 9， 4724. （ 2）在 3,3 上，当 2x 时，函数 3( ) 1 2f x x x有极大值，并且极大值为 16； 当 2x 时，函数 3( ) 1 2f x x x有极小值，并且极小值为 16 . 由于 ( 3) 9f ， (3) 9f ， 所以，函数 3( ) 1 2f x x x在 3,3 上的最大值和最小值分别为 16， 16 . （ 3）在 1 ,13上，函数 3( ) 6 1 2f x x x 在 1 ,13上无极值 . 由于 1 269()3 27f ， (1) 5f ， 所以，函数 3( ) 6 1 2f x x x 在 1 ,13上的最大值和最小值分别为 26927，5 . （ 4）当 4x 时， ()且极大值为 128. 由于 ( 3) 117f ， (5) 115f ， 所以，函数 3( ) 4 8f x x x在 3,5 上的最大值和最小值分别为 128， 117 . 习题 B 组 （ 1、（ 1）证明：设 ( ) s x x x， (0, )x . 因为 ( ) c o s 1 0f x x ， (0, )x 所以 ( ) s x x x在 (0, ) 内单调递减 因此 ( ) s i n ( 0 ) 0f x x x f ， (0, )x ，即 si n ， (0, )x . 图略 （ 2）证明：设 2()f x x x ， (0,1)x . 因为 ( ) 1 2f x x ， (0,1)x 所以，当 1(0, )2x时， ( ) 1 2 0f x x ， () 2( ) ( 0 ) 0f x x x f ； 当 1( ,1)2x时， ( ) 1 2 0f x x ， () 2( ) (1 ) 0f x x x f ； 又 11( ) 024f . 因此， 2 0， (0,1)x . 图略 （ 3）证 明：设 ( ) 1xf x e x ， 0x . 因为 ( ) 1xf x e ， 0x 所以，当 0x 时， ( ) 1 0xf x e ， () ( ) 1 ( 0 ) 0xf x e x f ； 当 0x 时， ( ) 1 0xf x e ， () ( ) 1 ( 0 ) 0xf x e x f ； 综上， 1 ， 0x . 图略 （ 4）证明：设 ( ) x x x， 0x . 因为 1( ) 1， 0x 所以，当 01x时， 1( ) 1 0 ， () ( ) l n ( 1 ) 1 0f x x x f ； 当 1x 时， 1( ) 1 0 ， () ( ) l n ( 1 ) 1 0f x x x f ； 当 1x 时，显然 . 因此， . 由（ 3）可知， 1xe x x ， 0x . . 综上， ln xx x e ， 0x 图略 2、（ 1）函数 32()f x a x b x c x d 的图象大致是个“双峰”图象，类似“ ”或“ ”的形状 . 若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间 . （ 2） 因为 32()f x a x b x c x d ，所以 2( ) 3 2f x a x b x c . 下面分类讨论： 当 0a 时，分 0a 和 0a 两种情形： 当 0a ，且 2 30b 时， 设方程 2( ) 3 2 0f x a x b x c 的两根分 别为12,12 当 2( ) 3 2 0f x a x b x c ，即12，函数 32()f x a x b x c x d 单调递增； 当 2( ) 3 2 0f x a x b x c ，即12x x x时，函数 32()f x a x b x c x d 单调递减 . 当 0a ，且 2 30b 时， 此时 2( ) 3 2 0f x a x b x c ，函数 32()f x a x b x c x d 单调递增 . 当 0a ，且 2 30b 时， 设方程 2( ) 3 2 0f x a x b x c 的两根分别为12,12 当 2( ) 3 2 0f x a x b x c ，即12x x x时，函数 32()f x a x b x c x d 单调递增； 当 2( ) 3 2 0f x a x b x c ，即12，函数 32()f x a x b x c x d 单调 递减 . 当 0a ，且 2 30b 时， 此时 2( ) 3 2 0f x a x b x c ，函数 32()f x a x b x c x d 单调递减 1 4 生活中的优化问题举例 习题 A 组 （ 1、设两段铁丝的长度分别为 x ， ，则这两个正方形的边长分别为4x，4两个正方形的面积和为 2 2 2 21( ) ( ) ( ) ( 2 2 )4 4 1 6x l xS f x x l x l ， 0 . 令 ( ) 0 ，即 4 2 0，2 当 (0, )2， ( ) 0 ；当 ( , )2， ( ) 0 . 因此，2函数 ()是最小值点 . 所以，当两段铁丝的长度分别是2个正方形的面积和最小 . 2、如图所示，由于在边长为 a 的正方形铁片的四角截去 四个边长为 x 的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无 盖方盒的底面为正方形，且边长为 2，高为 x . （ 1）无盖方盒的容积 2( ) ( 2 )V x a x x ， 02. （ 2）因为 3 2 2( ) 4 4V x x a x a x ， 所以 22( ) 1 2 8V x x a x a . 令 ( ) 0 ，得2舍去），或6 当 (0, )6， ( ) 0 ；当 ( , )62， ( ) 0 . 因此，6 函数 ()是最大值点 . 所以，当6，无盖方盒的容积最大 . 3、如图，设圆柱的高为 h ，底半径为 R ， 则表面积 222S R h R 由 2V R h ，得2 . 2 题） 此， 2222( ) 2 2 2 R R ， 0R . 令 2( ) 4 0 ，解得3 2. 当3(0, )2时， ( ) 0 ； 当3( , )2 时， ( ) 0 . 因此，32是函数 () 极 小 值 点 ， 也 是 最 小 值 点 . 此 时 ，32 222 . 所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省 . 4、证明：由于 211( ) ( )x x ，所以12( ) ( )x x . 令 ( ) 0 ，得11 ， 可以得到，11 是函数 ()是最小值点 . 这个结果说明，用 n 个数据的平均值11 表示这个物体的长度是合理的， 这就是最小二乘法的基本原理 . 5、设矩形的底宽为 x m，则半圆的半径为2圆的面积为 28x2m ， 矩形的面积为 282m ，矩形的另一边长为 ()8m 因此铁丝的长为 22( ) ( 1 )2 4 4x a x al x x ， 80 令22( ) 1 04 x ，得 84 （负值舍去） . 当 8( 0 , )4 时， ( ) 0 ；当 88( , )4 时， ( ) 0 . 因此， 84 是函数 ()是最小值点 . 所以，当底宽为 84am 时，所用材料最省 . 6、利润 L 等于收入 R 减去成本 C ，而收入 R 等于产量乘单价 . 由此可得出利润 L 与产量 q 的函数关系式，再用导数求最大利润 . 收入 211( 2 5 ) 2 588R q p q q q q ， 利润 2211( 2 5 ) ( 1 0 0 4 ) 2 1 1 0 088L R C q q q q q ， 0 200q . 求导得 1 214 令 0L ，即 1 21 04 q ， 84q . 当 (0,84)q 时， 0L ； 当 (84, 200)q 时， 0L ； 因此， 84q 是函数 L 的极大值点，也是最大值点 . 所以，产量为 84 时，利润 L 最大 , 习题 B 组 （ 1、设每个房间每天的定价为 x 元， 那么宾馆利润 21 8 0 1( ) ( 5 0 ) ( 2 0 ) 7 0 1 3 6 01 0 1 0xL x x x x ， 180 680x . 令 1( ) 7 0 05L x x ，解得 350x . 当 (180, 350)x 时， ( ) 0 ；当 (350, 680)x 时， ( ) 0 . 因此， 350x 是函数 ()极大值点，也是最大值点 . 所以，当每个房间每天的定价为 350 元时，宾馆利润最大 . 2、设销售价为 x 元件时， 利润 4( ) ( ) ( 4 ) ( ) ( 5 )x x a c c c x a ， 54. 令 8 4 5( ) 0c a c b cL x ，解得 458. 当 45( , )8时， ( ) 0 ；当 4 5 5( , )84a b 时， ( ) 0 . 当 458是函数 ()极大值点，也是最大值点 . 所以，销售价为 458件时，可获得最大利润 . 1 5 定积分的概念 练习 （ 83 . 说明： 进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想 . 练习 （ 1、 221 1 2( ) ( ) 2 ( )ii i i is s v tn n n n n n ， 1, 2, ,. 于是 1 1 1()n n i s s v 2112 ( ) n n 2 2 21 1 1 1 1( ) ( ) ( ) 2n n n n n 2231 1 2 2 31 ( 1 ) ( 2 1 ) 26n n 1 1 1(1 ) (1 ) 232 取极值，得 111 1 1 1 5l i m ( ) l i m (1 ) (1 ) 2 3 2 3n n n n 说明： 进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想 . 2、 223说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤 . 练习 （ 2 30 4x . 说明： 进一步熟悉定积分的定义和几何意义 . 从几何上看，表示由曲线 3与直线 0x ， 2x ， 0y 所围成的曲边梯形的面积 4S . 习题 A 组 （ 1、（ 1） 10021 111( 1 ) (1 ) 1 0 . 4 9 51 0 0 1 0 0d x ； （ 2） 50021 111( 1 ) (1 ) 1 0 . 4 9 95 0 0 5 0 0d x ； （ 3） 100021 111( 1 ) (1 ) 1 0 . 4 9 9 51 0 0 0 1 0 0 0d x . 说明： 体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法 . 2、距离的不足近似值为： 1 8 1 1 2 1 7 1 3 1 0 1 4 0 （ m）； 距离的过剩近似值为： 2 7 1 1 8 1 1 2 1 7 1 3 1 6 7 （ m） . 3、证明：令 ( ) 1. 用分点 0 1 1i i na x x x x x b 将 区间 , 分成 n 个小区间，在每个小区间1 , 任取一点( 1, 2 , , )i 作和式 11()x b ， 从而 11 l i m x b ， 说明： 进一步熟悉定积分的概念 . 4、根据定积分的几何意义， 1 20 1 x 表示由直线 0x ， 1x ， 0y 以及曲线21 所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此1 20 1 4x d x . 5、（ 1） 0 3114x . 由于在区间 1,0 上 3 0x ，所以定积分 0 31x 表示由直线 0x ， 1x ， 0y 和曲线 3所围成的曲边梯形的面积的相反数 . （ 2）根据定积分的性质，得 1 0 13 3 31 1 011 044x d x x d x x d x . 由于在区间 1,0 上 3 0x ，在区间 0,1 上 3 0x ，所以定积分 1 31x 等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积 . （ 3）根据定积分的性质，得 2 0 23 3 31 1 01 1 5444x d x x d x x d x 由于在区间 1,0 上 3 0x ，在区间 0,2 上 3 0x ，所以定积分 2 31x 等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积 . 说明： 在（ 3）中，由于 3x 在区间 1,0 上是非正的，在区间 0,2 上是非负的，如果直接利用定义把区间 1,2 分成 n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵挡一些项，求和会非常麻烦 . 利用性质 3 可以将定积分 2 31x 化为 023310x d x x d x ，这样， 3x 在区间 1,0 和区间 0,2 上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出 0 31x ， 2 30 进而得到定积分 2 31x 的值 . 由此可见，利用定积分的性质可以化简运算 . 在（ 2）（ 3）中，被积 函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义 . 习题 B 组 （ 1、该物体在 0t 到 6t （单位： s）之间走过的路程大约为 145 m. 说明： 根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程 . 2、（ 1） . （ 2）过剩近似值： 811 1 8 99 . 8 1 9 . 8 1 8 8 . 2 92 2 4 2 （ m）； 不足近似值： 811 1 1 8 79 . 8 1 9 . 8 1 6 8 . 6 72 2 4 2 （ m） （ 3） 40 40 9 . 8 1 d 7 8 . 4 8（ m） . 3、（ 1）分割 在区间 0, l 上等间隔地插入 1n 个分点，将它分成 n 个小区间： 0, 2 , ， ( 2) , ， 记第 i 个区间为 ( 1) , i l 1, 2,），其长度为 ( 1 )il i l lx n n n . 把细棒在小段 0, 2 , ， ( 2) , 质量分别记作： 12, , , nm m m ， 则细棒的质量1. （ 2）近似代替 当 n 很大，即 x 很小时，在小区间 ( 1) , i l ，可以认为线密度 2()的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点( 1) , i i l 处的函数值 2() . 于是，细棒在小段 ( 1) , i l 上质量 2()i i i n （ 1, 2,） . （ 3）求和 得细棒的质量 21 1 1()n n ni i ii i m x n . （ 4）取极限 细棒的质量 21n n ，所以 20lm x . 1 6 微积分基本定理 练习 （ （ 1） 50； （ 2） 503； （ 3） 4 2 533； （ 4） 24； （ 5） 3 （ 6） 12； （ 7） 0； （ 8） 2 . 说明： 本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分 . 习题 A 组 （ 1、（ 1） 403； （ 2） 1 32； （ 3） 9 2 ； （ 4） 176； （ 5） 23 18 ； （ 6） 2 2 . 说明： 本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分 . 2、 3 300 s i n c o s 2x d x x . 它表示位于 x 轴上方的两个曲边梯形的面积与 x 轴下方的曲边梯形的面积之差 . 或表述为：位于 x 轴上方的两个曲边梯形的面积（取正值）与 x 轴下方的曲边梯形的面积（取负值）的代数和 . 习题 B 组 （ 1、（ 1）原式 2210112 2 2x ； （ 2）原式 461 1 3 s i n 2 2 2 4x ； （ 3）原式 3126 x . 2、（ 1） c o s 1s i n c o s c o s ( ) 0x d x m ； （ 2） s i n 1c o s s i n s i n ( ) 0x d x m ； （ 3） 2 1 c o s 2 s i n 2s