高中数学论文：“高开高走，震荡回补”教导数

1“高开高走，震荡回补”教导数“高开高走和震荡回补” 是股市中的专业名词，指的是指数开 盘 高 开 ， 然 后 一 路 上 扬 ，在 高 位 运 行 一 定 时 间 后 ， 顺 势 回 调 。 就 是 说 ： “起 点 高 ， 运 行 好 ”。 这 里 是 指 在 教 学 中 高观点、大立意，大刀阔斧地删去枝节末叶。笔者就以人教 A 版选修 2-2 第一章第一节“导数的概念” 为例，提一点个人肤浅的看法。以求抛砖引玉。一、课标要求以及现行教法存在的问题1.课标要求：普通高中数学学科指导意见1对导数及其几何意义这一节里这样说：通过 研究膨 胀率、速度等反映导数应用的事例，引 导学生 经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，知道瞬 时变化率就是导数，体会 导 数的思想及其内涵。通过 函数图 象直观地理解导数的几何意义。2.现行教法存在的问题：从教材“1.1 变化率与导数” 中为我们呈现了“由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程”的三种方式：数值逼近；几何直观感受；解析式抽象。看得出，教材遵循了指导意见的要求，还在导数的几何意义部分渗透了“以直代曲”的逼近思想。正是这三种不同的方式，强化了导数的思想和内涵，是导数概念学习的核心。但另一方面教材给出了“1.1.1 变化率问题”、“1.1.2 导数的概念”、“1.1.3 导数的几何意义”三小节内容，教师教学用书也提供了 3 个课时参考，人们就自然认为每个小节的内容教学 1 个课时。于是，现行的教学也就设计成通过大量实例来不厌其烦地讲一个“平均变化率”问题。学生学得无趣，老师教的也累。毋庸讳言，教科书很难与教学设计完全一致。上文说道，导数概念的核心是由平均变化率到瞬时变化率的极限思想与过程，于是笔者就设计了这样一节内容让学生去重点体验它。二、我的教学设计方案1.高开高走问题 1:在初中，圆的切线是如何定义的？学生基本上有以下几种答案：1） 与圆只有一个公共点的直线；2yxOPTyxOP T2） 过圆上一点，且垂直于该点和圆心连线的直线；3） 与圆心距离等于半径的直线；教师补充初中平面几何中圆的切线定义：如果直线和圆有惟一公共点，则称直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点。问题 2：圆是一种特殊的曲线，这个切线定义能否推到为一般曲线（圆锥曲线）的切线呢？通过分析学生得出如图 1 这样的情况虽然直线和曲线只有一个交点，但显然这条直线不是此曲线的切线。可见，要对切线定义作出改进，方能使其适用于一般曲线。问题 3：如何改进？学生提出：与曲线只有一个公共点，且位于曲线一侧（或“不穿过”曲线）的直线（实际上古希腊数学家就是这样定义曲线的切线的）。 图 1问题 4：在以下各图（图 2，图 3）形中，直线是否为曲线在的切线呢？图 2 图 3 对于图 3 学生一致认为是切线，但是不符合上文中切线的定义；而图 2 学生分成“是”与“不是”两派，在课堂上形成了热烈的争辩。到底是不是切线呢？因为由问题 3 所改进的切线的定义，无法判断，所以应继续改进切线的定义。此时学生陷入沉思。老师加以适当点拨。如果图 2 不是切线，那是什么？割线？问题 5：曲线的割线怎样定义？仿照圆的割线定义学生得到：一条直线与一条曲线有两个公共点，就说这条直线是这条曲线的割线（如图 4）。问题 6:割线与切线有何区别和联系？ 图 4先让学生思考然后老师利用几何画板与学生共同探究。 利用电脑动画演示当点 Q 沿曲线 C 无限趋近于点 P 时（如图 5），割线的变化情况。问题 7：切线的定义？ 图 53sy=f(x+x)-f(x)x xyOy=f(x)Pf(x)B CTQ通过演示学生得出切线的定义：设曲线 C 是函数 的图象，点 是曲线 C ()yfx0(,)Px上一点。作割线 PQ 当点 Q 沿着曲线 C 无限地趋近于点 P，割线 PQ 无限地趋近于某一极限位置 PT。我们就把极限位置上的直线 PT，叫做曲线 C 在点 P 处的切线。从这个定义出发，学生很快回答了问题 4。这时教师进一步提出以下问题。问题 8：如何计算切线的斜率？根据切线的定义，学生想到切线跟割线有关系，于是通过割线的斜率 来求切线的斜率就水到渠成了。（图 6） 图 6因为曲线 C 是给定的，根据解析几何中直线的点斜式方程的知识，要求出切线的斜率就够了。设割线 PQ 的倾斜角为 ，切线 PT 的倾斜角为 ， 既然割线 PQ 的极限位置上的直线 PT 是切线，所以割线 PQ 斜率的极限就是切线 PQ 的斜率 tan ,即 tan = 。 （因为学生在物理中已经学过0limxy0lix()(fxf的意义，所以这里只需介绍极限符号 lim 即可） 。yx老师总结点评：我们可以从运动的角度来得到切线，所以可以用极限来定义切线，以及切线的斜率.那么以后如果我们碰到一些复杂的曲线，也可以求出它在某一点处的切线了.问题 9：导数定义如何（学生讨论，交流，教师规范结论）？y=f(x)在 x=x0 处的导数,记作 (也可记为 )(0xf0limx()fxf0xy|导数的几何意义：函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数等于在该点(x 0,f(x0)处的切线的斜率，即=k)(0xf0limx()(ffx2震荡回补高开高走学习导数的概念后，需要一定的实例来让学生充分体会，于是借助教材中的气球的膨胀率问题和高台跳水问题，让学生震荡回补定义。例题 1：(气球膨胀率问题)震荡回补 1：感受气球膨胀率大小的变化以及平均膨胀率可以刻画气球半径变化的快慢。例题 2：（高台跳水问题）震荡回补 2：感受平均速度的变化情况，让学生明白平均速度自能粗略低描述某段时间内的运动状态。震荡回补 3：通过计算下表中的数据，用具体数值描述当 t 趋于 0 时，平均速度的变化趋4势。震荡回补 4：学生感受到瞬时速度就是当 t 趋于 0 时的值。tff00)(震荡回补 5:函数 f(x)在 x=x0处的瞬时变化率。 学生感受到瞬时变化率就是当 x 趋于 0 时，的值。即tff0)(xff00x)(lim震荡回补 6: 利用在 t0,t1,t2 处的切线如图 7，然学生从图形上感受导数就是瞬时变化率，以及导数和切线斜率的关系。 例题 3：（原油精炼问题）震荡回补 7:通过计算在第 2h 和 6h 温度的瞬时变化率，让学生从 图 7具体数值上感受导数就是瞬时变化率。三、课时反思 导数是微积分的核心概念之一，具有丰富的实际背景和广泛的应用。文2中说:“一般地，导数概念学习的起点是极限，即从数列数列的极限函数的极限导数。这种建立概念的方式具有严密的逻辑性和系统性，但也产生了一些问题：就高中生的认知水平而言，他们很难理解的极限的形式化定义，由此产生的困难也影响了对导数本质的理解” 。因此，本节内容课堂教学的主线是渗透其中蕴涵的逼近思想、以直代曲思想、数形结合思想等，将切线的斜率和导数相联系，发现导数的几何意义，并具体应用，高开高走，大刀阔斧地删去枝节末叶，教学时没有追求理论上的严密性和过多技巧，把教学重点放在对导数思想及其内涵的理解上。最后通过简单的高台跳水问题，熟悉的气球的膨胀率问题进行回补。使学生在原来的基础上，对导数的理解会更进一步。参考文献1 胡星主编.浙江省普通高中新课程实验学科指导意见（数学）.浙江教育出版社.2010.72 刘绍学主编.普通高中数学课程标准实验教科书(A 版),教师教学用书.人民教育出版社.2011.5t vt v-0.01 -13.051 0.01 -13.149-0.001 -13.0951 0.001 -13.1049-0.0001 -13.09951 0.0001 -13.10049-0.000