2017年上海市八校联考高考数学模拟试卷（3月）含答案解析

2017 年上海市八校联考高考数学模拟试卷（ 3 月份） 一、填空（本大题共 54 分， 1题 4 分， 7题 5 分） 1关于 x， y 的二元一次方程的增广矩阵为 若 ，则实数 m= 2我国古代数学名著九章算术有 “米谷粒分 ”题：粮仓开仓收粮，有人送来1524 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为 石 3已知复数 + i， |3， 正实数，则复数 4在 的二项式展开式中， 系数是 ，则实数 a= 5在 ， A=90， ， ， D 是斜边 一点，且 （ + ） = 6已知集合 A=x| ，集合 B=x|（ x a）（ x b） 0，若 “a= 3”是 “A B ”的充分条件，则实数 b 的取值范围是 7已知 M 是球 O 半径 中点，过 M 做垂直于 平面，截球面得圆 以圆 大圆的球与球 O 的体积比是 8从集合 ， ， 2， 3中任取一个数记做 a，从集合 2， 1， 1， 2中任取一个数记做 b，则函数 y=ax+b 的图象经过第三象限的概率是 9已 知 m 0， n 0，若直线（ m+1） x+（ n+1） y 2=0 与圆（ x 1） 2+（ y 1）2=1 相切，则 m+n 的取值范围是 10如图，在地上有同样大小的 5 块积木，一堆 2 个，一堆 3 个，要把积木一块一块的全部放到某个盒子里，每次只能取出其中一堆最上面的一块，则不同的取法有 种（用数字作答） 11定义 为数列 均值，已知数列 均值，记数列 前 n 项和是 于任意的正整数 n 恒成立，则实数 k 的取值范围是 12已知函数 f（ x） =|x a|+m|x+a|（ 0 m 1， m， a R），若对于任意的实数 x 不等式 f（ x） 2 恒成立时，实数 a 的取值范围是 a|a 5 或 a 5，则所有满足条件的 m 的组成的集合是 二、选择题（本大题满分 20 分，每题 5 分） 13已知两点 O（ 0， 0）， Q（ a， b），点 线段 中点，点 线段 线段 中点， ， 是线段 的中点，则点 极限位置应是（ ） A（ ， ） B（ ） C（ ） D（ ） 14已知函数 f（ x） =x ） + （ 0），且 f（ a） = ， f（ ） = ，若 | |的最小值为 ，则函数的单调递增区间为（ ） A +2+2 k Z B +3+3 k Z C +2 +2 k Z D +3 +3 k Z 15已知 m、 n 是两条不同的直线， 、 、 是三个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A若 ， ，则 B若 m， n， m n，则 C若 m， n 是异面直线， m， m ， n， n ，则 D平面 内有不共线的三点到平 面 的距离相等，则 16若点 P 是 外心，且 + + = ， C=120，则实数 的值为（ ） A B C 1 D 1 三、解答题（本大题满分 76 分） 17如图所示为一名曰 “堑堵 ”的几何体，已知 底面 F=， ，四边形 正方形 （ 1）九章算术中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，判断四面体否为鳖臑，若是，写出其每一个面的直角，并证明；若不是，请说明理由 （ 2）求四面体 体积 18一栋高 楼上安放了一块高约 10 米的 告屏，一测量爱好者在与高楼底部同一水平线上的 C 处测得广告屏顶端 A 处的仰角为 再向大楼前进 20米到 D 处，测得广告屏顶端 A 处的仰角为 人的高度忽略不计） （ 1）求大楼的高度（从地面到广告屏顶端）（精确到 1 米）； （ 2）若大楼的前方是一片公园空地，空地上可以安放一些长椅，为使坐在其中一个长椅上观看广告屏最清晰（长椅的高度忽略不计），长椅需安置在距大楼底部 E 处多远？已知视角 M 为观测者的位置， B 为广告屏底部）越大，观看得越清晰 19已知双曲线 C 经过点（ 2， 3），它的渐近线方程为 y= x，椭圆 双曲线 C 有相同的焦点，椭圆 短轴长与双曲线 C 的实轴长相等 （ 1）求双曲线 C 和椭圆 方程； （ 2）经过椭圆 焦点 F 的直线 l 与椭圆 于 A、 B 两点，是否存在定点 D，使得无论 样运动，都有 存在，求出 D 点坐标；若不存在，请说明理由 20已知函数 F（ x） =足 F（ x） =g（ x） +h（ x），且 g（ x）， h（ x）分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数 （ 1）求函数 h（ x）的反函数； （ 2）已知 （ x） =g（ x 1），若函 数 （ x）在 1， 3上满足 （ 2a+1 （），求实数 a 的取值范围； （ 3）若对于任意 x （ 0， 2不等式 g（ 2x） x） 0 恒成立，求实数 a 的取值范围 21若存在常数 k（ k N*， k 2）、 d、 t（ d， t R），使得无穷数列 足= ，则称数列 “段差比数列 ”，其中常数 k、 d、 t 分别叫做段长、段差、段比，设数列 “段差比数列 ” （ 1）已知 首项、段长、段差、段比分别为 1、 2、 d、 t，若 等比数列，求 d、 t 的值； （ 2）已知 首项、段 长、段差、段比分别为 1、 3、 3、 1，其前 3n 项和为不等式 对 n N*恒成立，求实数 的取值范围； （ 3）是否存在首项为 b，段差为 d（ d 0）的 “段差比数列 ”对任意正整数n 都有 =存在，写出所有满足条件的 段长 k 和段比 t 组成的有序数组（ k， t）；若不存在，说明理由 2017 年上海市八校联考高考数学模拟试卷（ 3 月份） 参考答案与试题解析 一、填空（本大题共 54 分， 1题 4 分， 7题 5 分） 1关于 x， y 的二元一次方程的增广矩阵为 若 ，则 实数 m= 2 【考点】 矩阵变换的性质 【分析】 由题意， =5，即可求出 m 的值 【解答】 解：由题意， =5， m= 2， 故答案为 2 2我国古代数学名著九章算术有 “米谷粒分 ”题：粮仓开仓收粮，有人送来1524 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为 168 石 【考点】 简单随机抽样 【分析】 根据 254 粒内夹谷 28 粒，可得比例，即可得出结论 【解答】 解：由题意，这批米内夹谷约为 1524 168 石， 故答案为： 168 3已知 复数 + i， |3， 正实数，则复数 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 设复数 z2=a+a， b R），求出 根据已知条件列出方程组，求解即可得答案 【解答】 解：设复数 z2=a+a， b R）， ， |3， 正实数， ，解得： 则复数 故答案为： 4在 的二项式展开式中， 系数是 ，则实数 a= 4 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 利用二项式展开式的通项公式即可得出 【解答】 解：在 的 二 项 式 展 开 式 中 ， 通 项 公 式= = ， 令 9=3，解得 r=8 = ，解得 a=4 故答案为： 4 5在 ， A=90， ， ， D 是斜边 一点，且 （ + ） = 3 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由题意画出图形，把 转化为含有 的式子求解 【解答】 解：如图， = （ + ） = = = 故答案为： 3 6已知集合 A=x| ，集合 B=x|（ x a）（ x b） 0，若 “a= 3”是 “A B ”的充分条件，则实数 b 的取值范围是 b 1 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 分别求出关于 A、 B 的不等式，通过 A B ”，求出 b 的范围即可 【解答】 解： A=x| =x|x 1， B=x|（ x a）（ x b） 0=（ 3， b）或（ b， 3）， 由 “A B ”，得 b 1， 故答案为： b 1 7已知 M 是球 O 半径 中点，过 M 做垂直于 平面，截球面得圆 以圆 大圆的球与球 O 的体积比是 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 由题意，设出圆 M 的半径，球的半径，二者与 成直角三角形，求出半径关系，然后可求以圆 大圆的球与球 O 的体积比 【解答】 解：由题意，设出圆 M 的半径 r，球的半径 R， 由勾股定理得 R2= ） 2， r= R 以圆 大圆的球与球 O 的体积比是 故答案为： 8从集合 ， ， 2， 3中任取一个数记做 a，从集合 2， 1， 1， 2中任取一个数记做 b，则函数 y=ax+b 的图象经过第三象限的概率是 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 先求出基本事件（ a， b）的个数 n=4 4=16，再利用列举法求出函数 y=ax+此能求出函数 y=ax+b 的图象经过第三象限的概率 【解答】 解：从集合 ， ， 2， 3中任取一个数记做 a，从集合 2， 1， 1，2中任取一个数记做 b， 基本事件（ a， b）的个数 n=4 4=16， 函数 y=ax+b 的图象经过第三象限有： 当 a=3、 b= 1 时， 当 a=3、 b= 2 时， 当 a=4、 b= 1 时， 当 a=4、 b= 2 时， 当 a= ， b= 2 时， 当 a= ， b= 2 时，共 6 种情况 ， 函数 y=ax+b 的图象经过第三象限的概率是 p= 故答案为： 9已知 m 0， n 0，若直线（ m+1） x+（ n+1） y 2=0 与圆（ x 1） 2+（ y 1）2=1 相切，则 m+n 的取值范围是 2+2 ， + ） 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 由圆的标准方程找出圆心坐标和半径 r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设 m+n=x，得到关于 x 的不等式，求出不等式的解集得到 x 的范围，即为 m+n 的范围 【解答】 解：由圆的 方程（ x 1） 2+（ y 1） 2=1，得到圆心坐标为（ 1， 1），半径 r=1， 直线（ m+1） x+（ n+1） y 2=0 与圆相切， 圆心到直线的距离 d= =1， 整理得： m+n+1=（ ） 2， 设 m+n=x（ x 0），则有 x+1 ，即 4x 4 0， 解得： x 2+2 ， 则 m+n 的取值范围为 2+2 ， + ） 故答案为 2+2 ， + ） 10如图，在地上有同样大小的 5 块积木，一堆 2 个，一堆 3 个，要把积木一块一块的全部放到某个盒子里，每次只能取出其中一堆最上面的一块，则不同的取法有 10 种（用数字作答） 【考点】 排列、组合的实际应用 【分析】 根据题意，假设左边的积木从上至下依次为 1、 2、 3，右边的积木从上至下依次为 4、 5，分析可得必须先取 1 或 4，据此分 2 种情况讨论，分别列举 2种情况下的取法数目，由分类计数原理计算可得答案 【解答】 解：根据题意，假设左边的积木从上至下依次为 1、 2、 3，右边的积木从上至下依次为 4、 5， 分 2 种情况讨论： 若先取 1，有 12345、 12453、 12435、 14235、 14253、 14523，共 6 种取法； 若先取 4，有 45123、 41523、 41253、 41235，共 4 种取法； 则一共有 6+4=10 中不同的取法； 故答案为： 10 11定义 为数列 均值，已知数列 均值，记数列 前 n 项和是 于任意的正整数 n 恒成立，则实数 k 的取值范围是 ， 【考点】 数列的求和 【分析】 由题意， +2n 1bn=n2n+1， +2n 21=（ n 1） 2n，从而求出 （ n+1），可得数列 等差数列，从而将 任意的 n（ n N*）恒成立化为 0， 0；从而求解 【解答】 解：由题意， =2n+1， 则 +2n 1bn=n2n+1， +2n 21=（ n 1） 2n， 则 2n 1bn=n2n+1（ n 1） 2n =（ n+1） 2n， 则 （ n+1）， 对 成立， 故 （ n+1）， 则 2 k） n+2， 则数列 等差数列， 故 任意的 n（ n N*）恒成立可化为： 0， 0； 即 ， 解得， k ， 故答案为： ， 12已知函数 f（ x） =|x a|+m|x+a|（ 0 m 1， m， a R），若对于任意的实数 x 不等式 f（ x） 2 恒成立时，实数 a 的取值范围是 a|a 5 或 a 5，则所有满足条件的 m 的组成的集合是 【考点】 绝对值三角不等式 【分析】 根据绝对值的性质得到 2m|a| 2，解出 a，得到关于 m 的方程，解出即可 【解答】 解： f（ x） =|x a|+m|x+a|=m（ |x a|+|x+a|） +（ 1 m） |x a| 2m|a|+（ 1 m） |x a| 2m|a| 2， 解得： a 或 a ， 数 a 的取值 范围是 a|a 5 或 a 5， 故 =5，解得： m= ， 实数 m 的集合是 故答案为 二、选择题（本大题满分 20 分，每题 5 分） 13已知两点 O（ 0， 0）， Q（ a， b），点 线段 中点，点 线段 线段 中点， ， 是线段 的中点，则点 极限位置应是（ ） A（ ， ） B（ ） C（ ） D（ ） 【考点】 中点坐标公式；极限及其运算 【分析】 由中点坐标公式求得部分中点的坐标，再寻求规律，求极限得之 【解答】 解： 点 位置应是（ 点 极限位置应是（ ） 故答案选 C 14已知函数 f（ x） =x ） + （ 0），且 f（ a） = ， f（ ） = ，若 | |的最小值为 ，则函数的单调递增区间为（ ） A +2+2 k Z B +3+3 k Z C +2 +2 k Z D +3 +3 k Z 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 根据 f（ a） = ， f（ ） = 求出 、 的值，再根据 | |的最小值求出 的值， 写出 f（ x）的解析式，从而求出 f（ x）的单调增区间 【解答】 解：函数 f（ x） =x ） + （ 0），且 f（ a） = ， f（ ）= ， f（ ） = ） + = ，可得 =2， Z， 解得： = ， Z； f（ ） = ） + = ，可得 =Z， 解得： = ， Z； | |的最小值为 ， | |=| |= |2| ， Z， Z， 可解得： |2|， Z， Z， 取 ，可得 = ； f（ x） =x ） + ， 由 2 x 2， k Z， 解得 3 x 3， k Z； 函数 f（ x）的单调递增区间为： 3， 3， k Z 故选： B 15已知 m、 n 是两条不同的直线， 、 、 是三个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A若 ， ，则 B若 m， n， m n，则 C若 m， n 是异面直线， m， m ， n， n ，则 D平面 内有不共线的三点到平面 的距离 相等，则 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 在 A 中， 与 相交或平行；在 B 中， 与 相交或平行；在 C 中，由面面平行的判定定理得 ；在 D 中， 与 相交或平行 【解答】 解：由 m、 n 是两条不同的直线， 、 、 是三个不同的平面，知： 在 A 中，若 ， ，则 与 相交或平行，故 A 错误； 在 B 中，若 m， n， m n，则 与 相交或平行，故 B 错误； 在 C 中，若 m， n 是异面直线， m， m ， n， n ，则由面面平行的判定定理得 ，故 C 正确； 在 D 中，平面 内有不共线的三 点到平面 的距离相等，则 与 相交或平行，故 D 错误 故选： C 16若点 P 是 外心，且 + + = ， C=120，则实数 的值为（ ） A B C 1 D 1 【考点】 向量的线性运算性质及几何意义 【分析】 如图 所示 ，利用点 P 是 外 心， C=120，可得| |=| |=| |=R， 20由于 + + = ，可得 + = 两边做数量积可得（ + ） 2=2 2，展开相比较即可得出 【解答】 解：如图所示， + + = ， + = ， （ + ） 2=2 2，展开为 2+ 2+2| | |2| |2 点 P 是 外心， C=120， | |=| |=| |=R， 20 22为 2=1 + + = ， = 1 故选： C 三、解答题（本大题满分 76 分） 17如图所示为一名曰 “堑堵 ”的几何体，已知 底面 F=， ，四边形 正方形 （ 1）九章算术中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，判断 四面体否为鳖臑，若是，写出其每一个面的直角，并证明；若不是，请说明理由 （ 2）求四面体 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质 【分析】 （ 1）推导出 而 上 而得到四面体 鳖臑 （ 2） 三棱锥 A 高，求出正方形 边长，由此能求出四面体 体积 【解答】 解：（ 1） 底面 在底面 ， 四边形 正方形有， 面 四面体 鳖臑 （ 2）由（ 1）得 三棱锥 A 高， 设正方形 边长为 x，则 C=x， = ， ， 在 ， 即（ ） 2=x2+1，解得 x=2， ， 四面体 体积 = 18一栋高楼上安放了一块高约 10 米的 告屏，一测量爱好者在与高楼底部同一水平线上的 C 处测得广告屏顶端 A 处的仰角为 再向大楼前进 20米到 D 处，测得广告屏顶端 A 处的仰角为 人的高度忽略不计） （ 1）求大楼的高度（从地面到广告屏顶端）（精确到 1 米）； （ 2）若大楼的前方是一片公园空地，空地上可以安放一些长椅，为使坐在其中一个长椅上观看广告屏最清晰（长椅的高度忽略不计），长椅需安置在距大楼底部 E 处多远？已知视角 M 为观测者的位置， B 为广告屏底部）越大，观看得越清晰 【考点】 解三角形的实际应用 【分析】 （ 1）由正弦定理可得 可求大楼的高度； （ 2） = = ，即可得出结论 【解答】 解：（ 1）由题意， 0， 由正弦定理可得 62m； （ 2）设 ， ， EM=x， x 0， ， ， = = 当且仅当 x= 57m 时， 时 也最大 19已知双曲线 C 经过点（ 2， 3），它的渐近线方程为 y= x，椭圆 双曲线 C 有相同的焦点，椭圆 短轴长与双曲线 C 的实轴长相等 （ 1）求双曲线 C 和椭圆 方程； （ 2）经过椭圆 焦点 F 的直线 l 与椭圆 于 A、 B 两点，是否存在定点 D，使得无论 样运动，都有 存在，求出 D 点坐标；若不存在，请说明理由 【考点】 椭圆的简单性质；双曲线的简单性质 【分析】 （ 1）双曲线 C 和椭圆 方程为： 3，则 =3 22 32=3 设椭圆 方程； 椭圆 短轴长与双曲线 C 的实轴长相等，椭圆 双曲线 C 有相同的焦点（ 2， 0） 即 即可得 b、 c、 a （ 2）直线 l 垂直 x 轴时， A、 B 两点关于 x 轴对称，要使 点D 必在 x 轴上， 设 D（ a， 0），直线 l 不垂直 x 轴时， l 的方程设为： y=k（ x+2）， 设 A（ B（ 联立 得（ 1+5005=0 要使 即直线 斜 率 互 为 相 反 数 ， 即，求得 a 【解答】 解：（ 1）双曲线 C 和椭圆 方程为： 3，则 =3 22 32=3 双曲线 C 的方程为 设椭圆 方程； 椭圆 短轴长与双曲线 C 的实轴长相等， 椭圆 短轴长为 2b=2，椭圆 双曲线 C 有相同的焦点（ 2， 0）， 即 c=2， a= ，椭圆 方程为： ； （ 2）直线 l 垂直 x 轴时， A、 B 两点关于 x 轴对称， F（ 2， 0）， 要使 点 D 必在 x 轴上， 设 D（ a， 0），直线 l 不垂直 x 轴时， l 的方程设为： y=k（ x+2）， 设 A（ B（ 联立 得（ 1+5005=0 直线 斜率互为相反数， 即 ， k=0 时恒成立 k 0 时， a= ； 存在定点 D（ ， 0），使得无论 样运动，都有 20已知函数 F（ x） =足 F（ x） =g（ x） +h（ x），且 g（ x）， h（ x）分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数 （ 1）求函数 h（ x）的反函数； （ 2）已知 （ x） =g（ x 1），若函数 （ x）在 1， 3上满足 （ 2a+1 （），求实数 a 的取值范围； （ 3）若对于任意 x （ 0， 2不等式 g（ 2x） x） 0 恒成立，求实数 a 的取值范围 【考点】 反函数；指数函数的图象与性质 【分析】 （ 1）由 题意可得： ex=g（ x） +h（ x）， e x=g（ x） +h（ x） =g（ x） h（ x），联立解得： g（ x）， h（ x）由 y= ，化为：（ 2 21=0，0，解得 ex=y+ 可得 h 1（ x） （ 2） （ x） =g（ x 1），函数 （ x）在 1， 3上满足 （ 2a+1 （ ），转化为：函数 g（ x）在 2， 2上满足： g（ 2a） g（ 1），由于函数 g（ x）在 0， + ）上单调递增，且函数 g（ x）为偶函数，可得 |2a| | 1|， 2 2a 2， 2 1 2，解得 a 范围 （ 3）不等式 g（ 2x） x） 0，即 0，令 t=e x，由 x （ 0， 2，可得 t （ 0， e 2，不等式转化为： 0， a t+ ，利用基本不等式的性质即可得出 【解答】 解：（ 1）由题意可得： ex=g（ x） +h（ x）， e x=g（ x） +h（ x） =g（ x） h（ x）， 联立解得： g（ x） = ， h（ x） = 由 y= ，化为：（ 2 21=0， 0，解得 ex=y+ h 1（ x） = x R） （ 2） （ x） =g（ x 1），函数 （ x）在 1， 3上满足 （ 2a+1 （ ）， 转化为：函数 g（ x）在 2， 2上满足： g（ 2a） g（ 1）， 由于函数 g（ x）在 0， + ）上单调递增，且函数 g（ x）为偶函数， |2a| | 1|， 2 2a 2， 2 1 2，解得 a （ 3）不等式 g（ 2x） x） 0，即 0， 令 t=e x，由 x （ 0， 2，可得 t （ 0， e 2， 不等式转化为： 0， a t+ ， t+ 2 ，当且仅当 t= 时取等号 a 2 21若存在常数 k（ k