北京市海淀区2017届高三3月适应性考试数学试题(理)含答案

2016年全日制第三次月考测试卷 数学（理科） 第 卷（共 40 分） 一、 选择题：本大题共 8 个小题 ,每小题 5 分 ,共 40 分 有一项是符合题目要求的 . 2|M x x x， 1, 0,1N ， 则 （ ） A 1,0,1 B 0,1 C 1 D 0 ） A 2 x x B 2 C 输出的 S 值为 （ ） A 1 B 3 C 7 D 15 2 的垂直于极轴的两条切线方程分别为 （ ） A 0 （ R ）和 B2（ R ）和 C 0 （ R ）和 D2（ R ）和 5.设 a ， b 为两个非零向量 ， 则 “ |a b a b ”是“ a 与 b 共线 ”的（ ） A 充分且不必要条件 B 必要且不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 1 0 0 ,3 6 0 表示的平面区域为 D ， 若函数 1a ）的图象上存在区域 D 上的点 ， 则实数 a 的取值范围是 （ ） A (1,3 B 3, ) C (1,2 D 2, ) 该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是（ ） A 4 B 32 C 23 D 7 )任意 ， 有 ( ) ( ) 0f x f x 成立 ；当 0x 时 ，2 2 21( ) ( | | | 2 | 3 )2f x x m x m m ；任意 ，有 ( ) ( 1)f x f x成立 则实数 m 的取值范围（ ） A 66,66B 11,66C 33,33D 11,33第 卷（共 110 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 30 分，将答案填在答题纸上） 1 )Z i i在复平面内对应的点的坐标为 8的焦点到双曲线 22 13的渐进线的距离是 中 ， 角 A ， B 所对的边长分别为 a ， b ， 若 2 s a B b ， 则角 A 等于 n 项和为且满足 22， 若数列 lo ， 则使数列 n 项和取最大值时的 n 的值为 刚、小红等 5 个人排成一排照相合影，若小明与小刚相邻，且小明与小红不相邻，则不同的排法有 种 1 1A B C D A B C D的棱长为 2，长度为 2 的线段 一个端点 M 在棱1 另一个端点 N 在正方形 运动 ， 则 点的轨迹与正方体1 1 1 1A B C D A B C D的表面所围成的较小的几何体的体积等于 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 80 分 明过程或演算步骤 .） ) 4 c o s s i n ( )4f x x x （ 0 ）的最小正周期为 （）求 的值 ； （）求函数 () 16. 如图，在直角梯形 ， /B ， B ， 1 22A B B C C P ， D 是 将 沿 起 ， 使得 D （）若 E 是 中点 ， 求证 ： /面 （ ）求证：平面 平面 （）求二面角 A 的大小 000 万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目选择，若投资甲项目一年后可获得的利润1（万元）的概率分布列如表所示： 1110 120 170 P m 0.4 n 且1的期望1( ) 120E ； 若投资乙项目一年后可获得的利润2（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在 第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为 p （ 01p）和 1 p 若乙项目产品价格一年内调整次数 X （次数）与2的关系如表所示 ： X 0 1 2 2）求 m ， n 的值 ； （）求2的分布列 ； （）若该公司投资乙项目一年后能获得较多的利润，求 p 的取值范围 ： 22 1 ( 0 )xy 的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一个端 点构成正三角形 （）求椭圆 C 的标准方程和长轴长 ； （）设 F 为椭圆 C 的左焦点 ， P 为直线 3x 上任意一点 ， 过点 F 作直线 垂线交椭圆 C 于 M ， N ，记1d，2 和 N 到直线 距离 ， 证明 ：12 ) （）若曲线 ()y f x 与直线 y 相切于点 P ， 求点 P 的坐标 ； （）当 时 ， 证明 ：当 (0, )x ， ( ) ( f x a x x 12, , , nA a a a （121 na a a ， 2n ）具有性质 P ：对任意的 k（ 2 ）， i ， j （ 1 i j n ），使得k i ja a a成立 （）分别判断数集 1,3,4 与 1,2,3,6 是否具有性质 P ， 并说明理由 ； （）求证：1 2 12a a a （ 2n ）； （）若 72，求数集 A 中所有元素的和的最小值 2016年全日制第三次月考数学（理科）测试卷 答案 一、选择题 1 6 二、填空题 9.( 1,1) 10. 3 10 、解答题 ） ( ) 4 c o s s i n ( )4f x x x 22 2 s i n c o s 2 2 c o sx x x 2 ( s i n 2 c o s 2 ) 2 2 s i n ( 2 ) 24x 因为 () ， 且 0 ， 从而有 22 ， 故 1 （）由（）知 ( ) 2 s i n ( 2 ) 24f x x ， 令 2 2 22 4 2k x k ， ， 所以有 3 2 2 244k x k ， ， 所以有 388k x k ， 所以 ()88 ， 16.（）证明：连接 点 O ， 连接 在正方形 ， O 为 中点 ， 又因为 E 为 中点 ， 所以 的中位线 ， 所以 /P ， 又因为 平面 平面 所以 /面 （）证明：由已知可得 D ， D ， 又因为 D D ， 平面 所以 平面 又因为 平面 所以平面 平面 （）由（）知 平面 所以 D ， 又因为 D ，且 D D ， 所以 平面 所以以 D 为坐标原点 ， 在直线分别为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系 ， 则 (0,0,2)P ， (2,0,0)A ， (2,2,0)B ， (0,2,0)C ， 所以 ( 2 , 0 , 2 ) ， (0, 2, 0)， 设平面 一个法向量为 ( , , )m a b c ， 所以 0,0,m B 即 2 0,2 2 0, 令 1a ， 则 1c ， 从而 (1, 0,1)m ， 同理可求得平面 一个法向量为 (0,1,1)n ， 设二面角 A 的大小为 ， 易知 ( , )2， 所以 1c o s | c o s , |2| | | | ， 所以 23， 所以二面角 A 的大小为 23 ）由题意得 0 . 4 1 ,1 1 0 1 2 0 0 . 4 1 7 0 1 2 0 , 解得 ， （）2的可能取值为 204 ， 2( 4 1 . 2 ) ( 1 ) 1 ( 1 )P p p (1 )， 222( 1 1 7 . 6 ) 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )P p p p p p p ， 2( 2 0 4 ) (1 )P p p ， 所以2的分布列为 ： 204 P (1 ) 22(1 ) (1 ) （）由（）可得 2 2 22( ) 4 1 . 2 ( 1 ) 1 1 7 . 6 ( 1 ) 2 0 4 ( 1 ) 1 0 1 0 1 1 7 . 6E p p p p p p p p ， 由于该公司投资乙项目一年后能获得较多的利润， 所以21( ) ( )， 所以 21 0 1 0 1 1 7 . 6 1 2 0 ， 解得 ， 所以 p 的取值范围是 ( ）由题意可知 22222,2 2 4 ,a b bc a b 解得 2 6a ， 2 2b ， 所以椭圆 C 的标准方程为 22162， 椭圆 C 的长轴长为 26 （）由（）可知点 F 的坐标为 ( 2,0) ，设点 P 的坐标为 ( 3, )m ， 则直线 斜率 03 ( 2 )PF ， 当 0m 时 ， 直线 斜率 1m， 直线 方程是 2x ， 当 0m 时 ， 直线 方程是 2x ， 也符合 2x 的形式 ， 设11( , )M x y，22( , )N x y， 将直线 方程与椭圆 C 的方程联立 ， 得 222,1,62x 消去 x ， 得 22( 3 ) 4 2 0m y m y ， 其判别式 221 6 8 ( 3 ) 0 ， 所以12 34 3m ，12 2 2 3yy m ， 1 2 1 2 2 12( ) 4 3x x m y y m ， 设 T 为线段 中点 ， 则点 T 的坐标为2262( , )33， 所以直线 斜率3OT ， 又直线 斜率3OP ， 所以点 T 在直线 ， 由三角形全等的判定和性质可知：12 ）设点 P 的坐标为00( , )( 1 )( ) x ， 由题意知0002000( 1) , 解得0 2x ， 所以 0 200 2， 从而点 P 的坐标为 2(2, )2e （）设函数 ( ) ( ) ( l n )g x f x a x x ( xe a x , 2( ) ( 1 )( ) xe a x x ， (0, )x ， 设 () xh x e ， (0, )x ，则 ( ) xh x e a， 当 1a 时 ， 因为 0x ， 所以 1 ， 所以 ( ) 0xh x e a ， 所以 ()0, ) 上单调递增 ， 所以 ( ) ( 0 ) 1 0h x h ； 当 1 时 ，令 ( ) 0， 则 ， 所以 (0, ， ( ) 0； ( ) ， ( ) 0 所以 ( ) ( l n ) ( 1 l n ) 0h x h a a a ， 由可知： (0, )x 时 ， 有 ( ) 0， 所以有： x (0,1) 1 (1, ) ( ) 0 ()极小值 所以m i n( ) ( 1 ) 0g x g e a ， 从而有当 ( , )x 时 ， ( ) ( f x a x x ）因为 3 1 1 ， 所以 1,3,4 不具有性质 P 因为 2 1 2 ， 3 1 2 ， 6 3 3 ， 所以 1,2,3,6 具有性质 P （）因为集合 12, , , nA a a a 具有性质 P ： 即对任意的 k （ 2 ）， i ， j （ 1 i j n ），使得k i ja a a成立 ， 又因为121 na a a ， 2n ， 所以 所以1，1， 所以12k i j ka a a a ， 即12，122，232，322212 将上述不等式相加得2 3 1 1 2 12 ( )n n na a a a a a a ， 所以1 2 12a a a . （）最小值为 147 首先注意到1 1a， 根据性质 P ， 得到2122， 所以易知数集 A 的元素都是整数 构造 1, 2 , 3 , 6 , 9 , 1 8 , 3 6 , 7 2A 或者 1, 2 , 4 , 5 , 9 , 1 8 , 3 6 , 7 2A ， 这两个集合具有性质 P ，此时元素和为 147 下面，我们证明 147 是最小的和 假设数集 12, , , nA a a a （12 na a a ， 2n ），满足1147n 最小 （存在性显然，因为满足1147n 的数集 A 只有有限个 ） 第一步：首先说明集合 12, , , nA a a a （12 na a a ， 2n ）中至少有 8 个元素： 由（）可知212322 有1 1a， 所以2 2a ，3 4a ，4 8a ，5 16a ，6 32a ，7 64 72a ， 所以 8n 第二步：证明1 36 ，2 18 ，3 9： 若 36A ， 设 36， 因为 7 2 3 6 3 6 ， 为了使得1最小 ， 在集合 A 中一定不含有元素6 72， 从而1 36 ； 假设 36A ， 根据性质 P ， 对 72， 有ia，使得 72n i ja a a ， 显然 所以 144n i ja a a ， 而此时集合 A 中至少还有 5 个不同于na，ia， 从而1( ) 5 1 4 9n i jS a a a a ， 矛盾 ， 所以 36A ， 进而 36， 且1 36 ； 同理可证：2 18 ，3 9 （同理可证明：若 18A ， 则2 18 ， 假设 18A 因为1 36 ， 根据性质 P ， 有ia，使得1 36n i ja a a ， 显然 所以1 144n n i ja a a a ， 而此时集合 A 中至少还有 4 个不同于ia， 从而114 1 4 8n n i jS a a a a a ， 矛盾 ， 所以 18A ， 且2 18 同理可以证明：若 9 A ， 则3 9， 假设 9 A ， 因为2 18 ， 根据性质 P ， 有ia，使得2 18n i ja a a ， 显然 所以12 144n n n i ja a a a a ， 而此时集合 A 中至少还有 3 个不同于2ia， 从而1 2 13 1 4 7n n n i jS a a a a a a ，