广东省清远市清新区2017届高三第一次模拟考试数学（理）试题含答案

清新区高三第二学期第一次模拟考试 数学（理）试题 第 卷 一、 选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1直线 2x (m 1)y 4 0与直线 3y 2 0平行，则 ) A 2 B 3C 2或 3 D 2或 3 2若 ( ) A p B p C p 是真命题 D 3从装有除颜色外完全 相同的 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球，那么互斥而不对立的两个事件是 ( ) A至少有 1个白球，都是白球 B至少有 1个白球，至少有 1个红球 C恰有 1个白球，恰有 2个白球 D至少有 1个白球，都是红球 4如左下图，给出的是计算 12 14 16 12 016的值的程序框图，其中判断框内可填入的是 ( ) A i 2 021? B i 2 019? C i 2 017? D i 2 015? （第 4题图） （第 5题图） （第 6题图） 5对某商店一个月（ 30 天）内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图 (如图所示 )，则该样本的中位数、众数、极差分别是 ( ) A 46,45,56B 46,45,53 C 47,45,56D 45,47,53 6一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分，余下的几何体的三视图如右上图，则该几何体的体积为 ( ) A32B31C3243 D3143 B（ 2， p）， B（ 3， p），若5( 1) 9P ，则 P（ 2）的值为 （ ） A2027B8C727D18 某企业有 4 个分厂，现有新培训的 6名技术人员，将这 6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少 1人，则不同的分配方案种数为 （ ） A 1080 B 480C 1560 D 300 9设 别为椭圆 的左右两个焦点，点 P 为椭圆上任意一点，则使得成立的 ） A 0 B 1 C 2 D 3 10 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产 1车皮甲种肥料的主要 原料是磷酸盐 4吨，硝酸盐 18吨；生产 1 车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐 1吨，硝酸盐 15吨现库存磷酸盐 10吨，硝酸盐 66吨，在此基础上生产这两种混合肥料如果生产 1车皮甲种肥料产生的利润为 12 000 元，生产 1 车皮乙种肥料产生的利润为 7 000 元，那么可产生的最大利润是 ( ) A 29 000元 B 31 000元 C 38 000元 D 45 000 元 11某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： 单价 (元 ) 4 5 6 7 8 9 销量 (件 ) 90 84 83 80 75 68 由表中数据，求得线性回归方程 4x在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为 ( ) A 16 B 13 C 12 D 23 12 已知 f（ x） =x2+ “ b0” 是 “ f（ f（ x）的最小值与 f（ x）的最小值相等 ” 的（） 第 卷 二、 填空题 ：（本大题共 4小题 ，每小题 5分，满分 20分） 13设数列 的等差数列，前 n 项和 20S ，则公差为 14若 x ， y 满足不等式 2, 6,2 0, 则 z x y 的取值范围是 15设正三棱柱 B C 中， 2， 23，则该正三棱柱外接球的表面积是 16函数 ()()定义域都是 D ，直线00，与 ()y f x ， ()y g x的图象分别交于 A ， B 两点，若 |值是不等于 0 的常数，则称曲线 ()y f x ， ()y g x为“平行曲线”，设 ( ) x e a x c （ 0a ， 0c ），且 ()y f x ， ()y g x 为区间 (0, ) 的“平行曲线”， (1)， ()区间 (2,3) 上的零点唯一，则 a 的取值范围是 三、 解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 23两题是选修题。） 17已知向量 1, 向量 21,co s3 函数 )( . （ I）求 调递减区间； （ 知 , 分别为 内角 , 的对边， A 为锐角， 4,32 且 2,0上的最大值，求 和 的面积 S . 18 甲、乙两人参加某种选拔测试，在备选的 10 道题中，甲答对其中每道题的概率都是53，乙能答对其中的 5道题 0 道题中随机抽出 3道题进行测试，答对一题加 10分，答错一题（不答视为答错）减 5分，至少得 15分才能入选 . （ I）求乙得分的分布列和数学期望； （ 甲、乙两人中至少有一人入选的概率 . 19 一个多面体的直观图及三视图如图所示， 分别是 111 的中点 . （ I）求证： /,1 平面 11 （ 二面角 1 的余弦值 . 20 已知定点 0,1M 和直线 1x 上的动点 1 ，线段 垂直平分线交直线 点 R ，设点 R 的轨迹为曲线 E . （ I）求曲线 E 的方程； （ 线 )0( x 轴于点 C ，交曲线 E 于不同的两点 ，点 B 关于 x 轴的对称点为 P ，点 C 关于 y 轴的对称点为 Q ，求证： , 三点共线 . 21 已知函数 )0(3 . （ I）求函数 单调区间； （ 函数 的图像在点 )2,2( f 处的切线的倾斜角为 45 ，问： m 在什么范围取值时，对于任意的 2,1t ，函数 23在区间 3,t 上总存在极值？ （ 2a 时，设函数 32)2( x 在区间 e,1 上至少存在一个0x，使得 00 成立，试求实数 p 的取值范围 . 22 在平面直角坐标系中，圆 C 的方程为 为参数），以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，直线 l 的极坐标方程为 )(s o s . （ I）当 3m 时，判断直线 l 与 C 的关系； （ C 上有且只有一点到直线 l 的距离等于 2 时，求 C 上到直线 l 距离为 22 的点的坐标 . 23 设函数 ,25. （ I）求证：当21等式 1立； （ 于 x 的不等式 在 R 上恒成立 ，求实数 a 的最大值 . 答案： 一、 1 7 、 2,2 16. 23, . 三 17.（ I） )(65,3 ；（ A ， 2b ， 23S . 【解析】 试题分析： （ I）根据已知向量 ,坐标表示出 3( s i n 3 c o s , )2m n x x ur r ，再根据数量积的坐标运算可以得到 2 1s i n 1 3 s i n c o x x x x ，然后根据二倍角公式化简整理得到正弦型函数 s i n ( 2 ) 26f x x ，令 32 2 22 6 2k x k k Z ，解出 x 的范围即为函数的递减区间；（ 0, 2x 时， 52 , 6 6 6x ，所以 ，因此 s i n ( 2 ) 2 16f A A ，此时3,262 据余弦定理可以求出 b ，再根据 1 可得面积 . 试题解析：（ I） 21c 2 212s 12 2co )62 x 3分 由 )(2326222 得 )(653 所以 单调递减区间为 )(65,3 5分 （ （ I）知 ： 2)62s 2,0 5626 262 得最大值 3. 7分 所以3,262 8分 由余弦定理， c o 得21421612 2 b 10 分 3260s 12分 18.（ 1）分布列见解析，数学期望 152（ 2） 103125. 【解析】 试题分析： （ I）根据题意分析可知，乙可能答对的题数为 0,1,2,3 ，则相应得分分别为 15,0,15,30 ， 乙 的 得 分 情 况 服 从 超 几 何 分 布 1211531035 1250 3103525 125153102515 1213031035 于是可以得到 乙 得 分 的 分 布 列 和 数 学 期 望 ；（ 甲 至 少 得 15 分 的 概 率 为23213 3 2 3 8 15 5 5 1 2 5 ，乙至少得 15 分的概率为2 12P，所以甲、乙两人中至少有一人入选的概率为 8 1 1 1 0 31 1 11 2 5 2 1 2 5P . 试题解析： （ I ） 设 乙 答 题 所 得 分 数 为 X ，则 X 的 可 能 取 值 为,15,30 1分 12115 31035 12503103525 12515 3102515 12130 31035 4分 乙得分的分布列如下： 211512501251512130 5分 21530121151250125)15(121 6分 （ 已知甲、乙至少答对 2题才能入选，记甲入选为事件 A ，乙入选为事件 B . 则 1 2581)53()52()53( 3223 8分 21121125 10 分 故甲乙两人至少有一人入选的概率 12510321125441)(1 12 分 19.（ I）证明见解析；（ 2 3417. 【解析】 试题分析： （ I）由直观图及三视图可知，该几何体为直三棱柱，底面为直角三角形，因此 1, 两垂直，故以 C 为原点， 1, 在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，证明1 0B 平面1面1后计算出12值，通过观察图形确定二面角 1 的余弦值与 12系即可 . 试题解析： （ I）证明：由三视图可知，在这个多面体的直观图中， 面1 ，且43, 1 1分 因此 1, 两垂直，故以 C 为原点， 1, 在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， 2分 则由已知可得： 4,4,0,4,0,3,4,0,0,0,4,0,0,0,3,0,0,0 111 故 )4,0,23(),2,2,23( 1( 0 , 2 , 2 ) , ( 3 , 4 , 4 )M N A B u u ur u 3分 即 1 4分 即1/C, 而 平面11面11 /平面 11 6分 （ ：设 ,n x y zr 是平面1 100n C r 3, 4 , 0 1 3, 0, 4 13 4 03 4 0n A B x C x z r u u u 令 4x ，可得 3 ， 4,3,3nr ， 2分 由已知可得 AC面1 3, 0 , 0 平面 1一个法向量， 10分 设二面角1A 的平面角为 ，则有： 1 2 0 0 2 3 4c o 4n A C r u u u u 所求二面角的余弦值是 2 3417. 12分 20.（ I） 2 4；（ 明见解析 . 【解析】 试题分析： （ I）根据题意分析可知，动点 R 到定点 1,0M 的距离与到定直线 1x的距离相等，因此动点 R 的轨迹是以 1,0M 为焦点，以直线 1x 为准线的抛物线，轨迹方程 2:4E y x ；（ 立直线方程与抛物线方程 2 4kx b ，消去 y 得： 2 2 22 4 0k x k b x b ，设 11,A x y ， 22,B x y ，则 12 242k ， 2122 ，点 22,P x y，由 )0( ( ,0)则 ( ,0) , 三点共线，则应有即验证可 . 试题解析： （ I）由题意可知： ，即点 R 到直线 1x 和点 M 的距离相等，根据抛物线的定义可知： R 的轨迹为抛物线，其中 M 为焦点 . 3分 设 R 的轨迹方程为： 2,12,22 的轨迹方程为： 2 . 5分 （ 条件可知 )0,(，则 )0,( 6分 联立去 y 得 0)42( 222 0)1(164)42( 222 7分 设 )(, 212211 ，则 22, ,2 1424,24 21221 k 424 22 k 9分 因为 1 2 1 2122( ) 2 2 ,8 1 12y k x x b b k b 10 分 1221)1(2)11(2)(01111 11分 所以 ,三点共线 . 12 分 21.（ I） 当 0a 时，函数 单调增区间是 1,0 ，单调减区间是 ,1 ，当 0a 时，函数 单调增区间是 ,1 ，单调减区间是 1,0 ； （ 9337 m； （ 4 ,1ep e . 【解析】 试题分析： （ I） 1( 1 )af x a ，当 0a 时，由 0 得 01x，由 0 得 1x ，当 0a 时，由 0 得 1x ，由 0 得 01x；（ 题 21f ，即 12a a， 2a ，此时 2 2 ， 32( 2 ) 22mg x x x x ，则 23 ( 4 ) 2g x x m x ，若在区间 3,t 上存在极值，则应有 30g t g ，又 为开口向上的抛物线，且 00g ，所以应有 030 ，于是可以求出 m 的取值范围；（ 2a 时， 2 3f x x x ，令 ，则 ( ，然后分 0p ， 0p进行讨论，即可以求出 p 的取值范围 . 试题解析： （ I）由 3 x 1( 1分 当 0a 时 ， 函 数 单 调 增 区 间 是 1,0 ， 单 调 减 区 间 是 ,1 ， 2分 当 0a 时 ， 函 数 单 调 增 区 间 是 ,1 ， 单 调 减 区 间 是 1,0 ， 3分 （ 2122 2,32， 故 )22(2 2323 ， 2)4(3 2 5分 在区间 3,t 上总存在极值， 0 两个不等实根且至少有一个在区间 3,t 内 又 函 数 是开口向上的二次函数，且 020 g ， 030由 023)4(273 解得337m， 6分 由 4320 2 34H t Q 在 2,1 上单调递减，所以 91m 9m ， 7分 综上可得， 9337 m， 所以当 m 在 )9,337( 内取值时，对于任意的 2,1t ，函数 23在区间 3,t 上总存在极值 . （ 2 , 2 l n 2 3a f x x x Q ，令 ，则 ( ， 9分 当 0p 时，由 1 得 0 而 0 所以，在 e,1 上不存在0 00 ； 10分 当 0p 时， 2222 , 1 , , 2 2 0p x x p eF x x e e Q， 0,02 e,1 上恒成立， 故 e,1 上单调递增 . 4m a x 故只要 04 得142 e 综上所述： p 的取值范围是 ,142 12分 22.（ I）当 3m 时，直线 l 与 C 相交；（ 2,0 和 0,2 . 【解析】 试题分析： （ I）当 3m 时， 直线 l 的极坐标方程为 c o s s ，根据极坐标与直角坐标互化公式得 3，圆 C 的直角坐标方程为 221 1 2 ，圆心到直线 l 的距离 1 1 3 222 所以直线 l 与圆 C 相交；（ 析可知，若圆 C 上只有一点到直 线 l 的距离为 2 ，则直线与