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管管
交相
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管管斜交相贯线的离散计算与仿真
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1 0 0;X,Y,Z = ,100);h3=+1/2,Y,2*h3,5); %45表示旋转角度,Y,Z = ,100);h4=+1/2,Y,2* %以上程序用来画圆柱=200; % 00; % 小管e=0; % 移量:80:2*pi;5; % 们间的夹角x=r* y=r*z=(2-(r*e).2)+r*( y= %d, y); x= %d, x); z= %d, z);h=x,y,z,r,3); ! );on; 管管斜交相贯线的离散计算与仿真 学生姓名 ： 指导教师 ： 学科、专业 ： 大学 2010 年 12 月 摘抄： 随着经济的发展，管件的相贯线的焊接在机械加工行业占据了很大比例，相贯线的焊接质量直接影响到容器和管道的质量和使用寿命。当前在相贯线的焊接时存在多种不同的加工工艺，在国内大多数情况下，还是采用人工焊接，而人工焊接除生产条件比较恶劣外还在焊接精度、焊接质量和焊接效率方面很难达到较高的要求。因此，利用焊接机器人进行相贯线的焊接是必然的发展趋势。建 立相贯线的数学模型是制造高效焊接机器人的基础。当前在该领域的研究主要是通过示教模式再现相贯线的曲线，不仅操作效率低，而且控制精度差。 管管斜交分为两管件的中心线空间相交及平面相交两种情况，不同情况下得到的相贯线的形状也不一样，文中将对一般的情况进行分析。当考虑极端情况时下面所进行的数学建建模可能存在无解状况，因此本文所讨论的所有情况均为一般管管斜交情况，不包括管管中心线空间相交时距离大于两管任意一管半径的情况。 本文是研究管管斜交相惯线的离散计算与仿真。 关键词：相惯线，管管斜交，离散计算与仿真 ，数控切割机。 of in a of of at of in or of in to is of is of is in is by a is of in is be no so a is of is of 目 录 目 录 1 第 1 章 绪论 1 贯线定义 1 贯线研究现状 2 管斜交相贯线的实际曲线 2 管斜交相贯线问题的简化 4 结 5 第 2 章 相管管斜交相贯线投影法求 解 6 言 6 管斜交相贯线数学建模 6 第 3 章相管管斜交相贯线 解 10 言 10 序分析 10 解结果 11 节 14 第 4 章 对求解得到相贯线进行插补并与已知线比较 15 言 15 补对于精度及数据 量的影响 15 第 1 章 绪论 1 第 1 章 绪论 贯线定义 两空间形体表面的交线 如图 示 ，是画法几何研究的一项内容。相贯线的形状取决于两立体的形状、大小和相对位置。如两空间形体的表面都是曲面，相贯线是一条空间曲线；两空间形体的表面都是平面时，相贯线是一条空间折线；两空间形体的表面分别是平面和曲面时，相贯线是由几段平面曲线围成的线。在给定两空间形体后，在多面正投影图中可以容易地画出两立体的投影，但它们的相贯线的投影并不能直接画出，通常采用辅助面法或其 他方法先求出相贯线上若干点的投影。 图 圆柱面斜交相贯线 相贯线的形状取决于两立体的形状、大小和相对位置。如两空间形体的表面都是曲面，相贯线是一条空间曲线；两空间形体的表面都是平面时，相贯线是一条空间折线；两空间形体的表面分别是平面和曲面时，相贯线是由几段平面曲线围成的线。在给定两空间形体后，在多面正投影图中可以容易地画出两立体的投影，但它们的相贯线的投影并不能直接画出，通常采用辅助面法或其他方法先求出相贯线上若干点的投影，然后将它们连接成相贯线。辅助面法是先作出一适当的面，再作出该面和两空间形体 的交线，最后作出两交线的交点。所得交点就是相贯线上的点。按此方法改变辅助面的位置，重复作图，就能得到足够的点，将它们连结成相贯线。图中为圆柱和圆锥台相交，为作出其相贯线上的点，选用水平面为辅助面，水平面与圆柱、圆锥台的交线分别是开口矩形和圆。它们的两个交点是相贯线上的点。运用辅助面法的关键在 2 于选取合适的辅助面，辅助面和两空间形体表面的交线投影应是直线或者是圆。作图中常选用平面或球面为辅助面。 贯线研究现状 随着经济的发展，管件的相贯线的焊接在机械加工行业占据了很大比例，相贯线的焊接质量直接影响到容 器和管道的质量和使用寿命。当前在相贯线的焊接时存在多种不同的加工工艺，在国内大多数情况下，还是采用人工焊接，而人工焊接除生产条件比较恶劣外还在焊接精度、焊接质量和焊接效率方面很难达到较高的要求。因此，利用焊接机器人进行相贯线的焊接是必然的发展趋势。建立相贯线的数学模型是制造高效焊接机器人的基础。当前在该领域的研究主要是通过示教模式再现相贯线的曲线，不仅操作效率低，而且控制精度差。 同时在工业管道及管结构工程中 ,常常会遇到两管相交的节点连接。该相贯节点的焊缝线是一条沿两圆管表面变化的空间相贯曲线 , 如何精确 地求出该曲线展开图 , 对于工业管道及管结构制造安装质量有着重大的影。工业管道及管结 构安装 单位的现场施工 , 常根据设计图样 ,采用手工绘图 ,将圆管 n 等分 ,依次测量展开高度值 ,采用几何作图法 ,绘制主、支管的相贯线展开图 。 这种方法虽然能够满足现场施工要求 , 但需花费大量精力人工绘制展开图样 , 且绘图精度受实际相 贯线位置精度和人工制图误差的 影响。随着计算机的推广使用 , 技术为工程上大量的复杂曲线计算、绘图提供了可靠快捷的途径 。 现 代化的管道 、 管结构制造企业利用计算机进行辅助 设计 ( ) 、 制 造 ( C 已成为日益广泛应用 的发 展方向 。 管斜交相贯线的实际曲线 布 件包 一个整合 计软件包，针对不同的任务应用将采用更为简单化子应用的方式，所有子应用采用统一的文件格式。 的在于解决目前 统难用及多 统数据共用等问题。主要功能特色 传海报作为 电计划中的一员， 备互操作性、开放、易用三大特点。在产品生命周期中，不同的用户 对 产品开发 有着不同的需求。不同于目前的解决方案， 在消除 业中几十年迟迟未能解决的问题： 解决机械 域中未解决的重大问题，包括基本的易用性、互操作性和装配管理； 第 1 章 绪论 3 采用全新的方法实现解决方案（建立在 特有技术和资源上）； 提供一组可伸缩、可互操作、开放且易于使用的机械设计应用程序； 为设计过程中的每一名参与者适时提供合适的解 决方案 。 为了得取管管斜交时实际相贯线的情况，采用 件进行建模。选取两管直径分别为 200 100互间的夹角为 45 度，建立管管相关模型如图 示。由图 以看出，管管斜交时存在 4 条空间相贯线，其中外圆柱面相贯线有两条，内圆柱面相贯线也有两条。并且这四条相贯线具有对称性。因此进行相关分析时完全没有必要把这四条相贯线当成不同的问题进行研究，可具对称性，找到分析问题的本质进行简化。 首先找通过图 示的开始菜单打开 件，注意要双击的是 则可能进入其它模块造成接下来的界面不一样。 图 动菜单 在新建命令处点击新建零件并取消使用默认单位制的选项。首先，在基准面中建立辅助线，然后利用辅助线做与已知面成角度的辅助面，如图 示。 图 立辅助面辅助线方法 4 完成以上工作后找到与辅助平面成 45 度的平面在上面进行拉伸圆筒操作，再在45 度的辅助平面上进行拉伸圆筒操作，其中拉伸使用双面拉伸，这样才能保证两次拉伸的实体有更发的位置相对性。操作结果如图 示。从新按两个圆筒内径拉伸去材 料得到如图 示结果。 图 伸两圆筒 图 管斜交得到的相贯线 管斜交相贯线问题的简化 具上面的分析可知管管斜交两组相贯线具有对称性，因此只需要对其中一组相贯线的特性进行分析。同时分析各相贯线都是分别由两个圆柱面斜交得到，虽然分别是由内圆柱面和外圆柱面斜交得到，但是其得到原理方法相同，因此只要研究不同直径及位置下的两斜交圆柱面形成的相贯线的性质。这样在 件中可以对两管内外径分别进行曲面造型，然后对两内径及两外径分别通过编辑中的求交命令如图 如图 17、 示。 第 1 章 绪论 5 图 辑中的斜交命令 外圆柱面曲面造型 图 管斜交相贯线实际交线 由以上分析可知图 的曲线就是所要求的管管斜交的相贯线，由于其得到方法都是由不同直径的圆柱面斜交得到，具有相同的原理，因此接下来理论分析只要针对一条进行建模即可。 结 本章主要工作是对相贯线定义进行了介绍，分析了空间管管斜交所得到的相贯线的具体情况，确定了其空间相交后实际得到的曲线的样子，并且用 件对选定直径的管管斜交情况进行了建模，同时分析了各相贯线的 得到原理，确定了接下来数学建模的简化依据及研究方法。 6 第 2 章 相管管斜交相贯线投影法求解 言 管管斜交分为两管件的中心线空间相交及平面相交两种情况，不同情况下得到的相贯线的形状也不一样，文中将对一般的情况进行分析。当考虑极端情况时下面所进行的数学建建模可能存在无解状况，因此本文所讨论的所有情况均为一般管管斜交情况，不包括管管中心线空间相交时距离大于两管任意一管半径的情况。 管斜交相贯线数学建模 两圆柱形管件在进行插接焊接时两管件的插接的基本方式有正交、偏置、斜交、和偏置斜交四种情况，如 图 示。形成的管管斜交相贯线的形状也不相同，本文选择偏置斜交的插管方式建立数学模型使模型更具有通用性。 图 同形式的圆柱面相交 分别依两管件建立坐标系，如图 示。其中， a 代表两管中心线的空间距离，代表两管的相贯角。 图 管斜交相贯线建模坐标系 管管斜交相贯线 在坐标系 O 1 和 O 2分别用 （ 和 （ 7 表示 ， 其投影在主管和支管方向上均为圆形，方程在两个坐标系内可以表示为： （ 1） 根据齐次坐标变换，坐标系 O 1 、 O 2之间的关系为 （ 2） 即有： （ 3） 将 管管斜交相贯线 在支管方向的投影方程用圆柱坐标表示为： （ 4） 由以上各式可 得到 管管斜交相贯线 在坐标系 的方程 分别为 ： （ 5） 8 （ 6） 由于仿真得到的管管斜交相贯线为空间不规则的曲线，在实际生产过程中要再现曲线的轨迹需进行离散化处理，本文中根据逼近误差的要求拟将曲线等分为 20 段，每一小段用直线段逼近，后计算偏差验证是否满足要求，设定当 t=0 时为起始点坐标，起点坐标为： （ 7） 由于管管斜交相贯线为空间封闭型曲线，所以把得到的曲线 20 等分后，每一段直线段对应的 为： （ 8） 本文中采用的方法是利用空间直线段去逼近复杂的空间圆弧段，即在保证工况要求的逼近误差 下，用直线段 替圆弧段 S i，逼近误差的计算方法如下：首先运用公式（ 9）求解空间直线的方程。 （ 9） 其中， s = (m,n, p)为直线段始末两点的方向向量。然后再利用空间点到直线的距离公式，计算管管斜交相贯线上的点到每一小段直线的距离 ， 计算的仿真结果如图 9 图 真误差 分析 由仿真结果可知，误差在每一小段逼近的过程先增大后减小，误差的最大值出现在 t = 附近，因为曲线在该处的曲率最大，由于用直线段逼近管管斜交相贯线时，直线段的始末点均在曲线上，所以不会产生累计误差。利用弧度等分而产生的空间直线段去逼近管管斜交相贯线时所产生的误差应小于或等于给定的逼近误差 ， .5 曲线可知，本文中在给定的参数条件下将得到的空间曲线 20 等分后，在每一段上产生的最大逼近误差不大于 以经过验证后，对该曲线 20 等分满足生产要求。利用本文中的方法逼近空间曲 线时，由于离散点均为空间曲线上的点，所以不会产生累计误差，但是由于是用直线段去逼近圆弧段所以会存在弓高误差，若要求每一点弓高误差的均满足 i, 根据给定的逼近误差 ,可得最大插补步长为 ： (10) 其中： R f 是圆弧的半径 ,它的大小由空间曲线 的曲率 k()和挠率 r()决定，公式为： R f = 1 / k(), () (11) 要 满 足 逼 近 误 差 的 要 求 只 需 要 保 证 L可。而对于一些形状不规则，曲率半径和挠率不容易测量的工件使用该方法比较复杂，此时，可以不按照公式（ 11）计算 是改变 的值，即： =2/n (12) 这里 n 是整数，只要 n 的取值足够大即可满足弓高误差小于给定的焊接逼近误差。 节 本章确定了本文所研究的管管相交相贯线的形式，并通过建 立相关的坐标系下的管相交相贯线进行了数学建模，并得到了相应的方程，这是进行 程求解的基础。 10 第 3 章 相管管斜交相贯线 解 言 阵实验室）是 缩写，是一款由美国 司出品的商业数学软件。 一种用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。除了矩阵运算、绘制函数 /数据图像等常用功能外， 可以用来创建用户界面及与调用其它语言（包括C， C+和 写的程序。 尽管 要用于数值运算，但利用为数众多的附加工具箱（ 也适合不同领域的应用，例如控制系统设计与分析、图像处理、信号处理与通讯、金融建模和分析等。另外还有一个配套软件包 供了一个可视化开发环境，常用于系统模拟、动态 /嵌入式系统开发等方面。 称为三大 数学 软件。它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。 以进行 矩阵 运算、绘制函数和数据、实现算法 、创建用户界面、连接其他 编程语言 的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、 图像处理 、信号检测、金融建模设计与分析等领域。 基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似，故用 解算 问题要比用 C， 语言完成相同的事情简捷得多，并且 吸收了像 软件的优点，使 为一个强大的数学软件。在新的版本中也加入了对 C， C+， 支持。可以直接调用 ,用户也可以 将自己编写的实用程序导入到 数库中方便自己以后调用，此外许多的 好者都编写了一些经典的程序，用户可以直接进行下载就可以用。 为了求进行求解的方便，文中将管管相交相贯线沿小直径管的中心线方向进行投影，并且将 Z 轴方向定为小直径管的中心线方向。这样建立坐标系及投影使得所要求的管管相交相贯线的 X， Y 两个坐标变得非常简单，其与小直径的管的 X， Y 的坐标一致，只要通过程求得管管相交相贯线的 Z 方向的坐标就可以了。 序分析 程序主要功能是对于给定直径，偏移距离的两个圆柱面求解出两者相交相贯线 的具体形状，并输出相关点的坐标值。程序中首先用 令进行圆柱的绘制，然 11 后用 绘制的图形的数据进行提取，最后用 令对数据值进行旋转，进而得到要的相交圆柱面。如果要进行平稳操作只要在 X， Y， Z 上加上相应的数据即可。通过 令得到的相交圆柱如图 示。 图 斜相交圆柱面 接下来将它们相交的相贯线进行编程提取，其中设置参数 R 代表大圆柱面直径，r 代表小圆柱面的直径， e 代表着两圆柱面中心线间的距离， 圆柱中心线间的夹角（这个角度可能是空间的）。接下来 各方程按上面求解的方程组进行编写。程序基本思想是：在小直径的圆柱面上均匀的取一些点，将这些点向大直径圆柱面上进行投影，然后通过三角关系求出该点的 z 坐标。依次完成各点的投影，并将投影点进行依次连接便得到了近似的管管相交相贯线。 解结果 为了了解两管中心线距离及不同夹角下的管管相交相贯线的形装情况，现将小直径圆柱面分为 360 份的情况下，对直径分别为 200 100两圆柱面中心线距离 e 分别为 10、 30、 50 时的管管相交相贯线进行分析结果如图 示，再对两圆柱中心线距离为 0，中 心线夹角 30、 45、 60 度情况下的计算相贯线的形状，结果如图 示。 12 图 3.2 e=10 管管相交相贯线 图 3.3 e=30 管管相交相贯线 图 3.4 e=50 管管相交相贯线 13 图 3.5 30 管管相交相贯线 图 3.6 45 管管相交相贯线 图 3.6 60 管管相交相贯线 由以上不同参数各图的比较可以看出，当 e 进行变化时会导致管管相交相贯线的 14 周长发生改变这与所已知的知识是相符合的。当 参数调整时，管管相交相贯线的 总体的长宽比将发生重要的变化，这也与已知的知识相符。 节 本章对于 现上面数学推导的程序进行了介绍，阐明了整个投影法的具体操作方法。同时对于不同参数下的各种形式的管管相交相贯线的形装进行了仿真，仿真结果与日常的经验相同。 15 第 4 章 对求解得到相贯线进行插补并与已知线比较 言 由上面理论分析可知在沿着小直径管轴线进行投影时，需要对小圆柱面进行相应的等分，不同的等分情况下所得到的管管相交相贯线的形装也不相同，数具量和具体的数值之间也存在很大差别。 补对于精度及数据量的影 响 本文采用增加小直径圆柱面的分割数的方法来进行差补，同时关注所导出的 X，Y， Z 坐标值的变化。分别采用将小直径圆柱面分割成 8 段、 16 段、 20 段进行分析管管相交的相贯线形状。管管相交的相贯线分割成 8 段时离散点坐标如表 示，所得到的管管相交相贯线如图 示。 表 贯线分 8 段时离散点 X 坐标 Y 坐标 Z 坐标 100 0 00 100 100 贯线离散成 8 段 管管相交的相贯线分割成 16 段时离散点坐标如表 示，所得到的管管相交相贯线如图 示。 16 表 贯线分 16 段时离散点 Y 坐标 Z 坐标 100 0 2 1 2 1 2 1 2 00 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 100 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 图 贯线离散成 16 段 管管相交的相贯线分割成 20 段时离散点坐标如表
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