第五章 Lebesgue积分理论.pdf

第五章Lebesgue积分理论80第五章Lebesgue积分理论本章定义了可测函数的Lebesgue积分，并讨论了新积分的性质、计算方法及其与旧(Riemman)积分的关系，在条件相当弱(相对Riemman相应定理条件中的一致收敛而言)的条件下证明了积分的极限定理，并利用积分的极限定理获得了Riemman可积的本质特征；最后研究了重积分与累次积分的关系。.Lebesgue积分的定义及其基本性质有了第四章的准备之后，就可以根据对可测集上定义的可测函数f先定义大、小和(D,f)ni1yimEy1ifyi，s(D,f)=ni1y1imEy1ifyi然后分别规定Dsup(D,f)、Dinfs(D,f)为上、下积分值，且进一步证明二者相等，从而定义新积分并讨论新积分的性质。这既是Lebesgue创立新积分的原始思路，也是传统教材介绍Lebesgue积分定义的普遍方法。然而在第四章研究可测函数的结构时，我们发现函数可测的实质是函数正、负部下方图形可测，再加之由数学分析我们已经知道：对连续函数而言(R)积分值是函数曲线与x轴，xa，xb所围的x轴上、下方图形面积的代数和，现遵循此基本思路直接定义新积分概念。定义.若f(x)为可测集E上的非负可测函数，则称mG),(Ef为f在E上的Lebesgue积分值，记为(L)Efdx,也简称mG),(Ef为f在E上的积分值，并简记Efdx。若f(x)为可测集E上的一般可测函数，且EfdxmG),(Ef，EfdxmG),(Ef至少有一个有限，则称f(x)在E上存在积分值，并规定积分值为EfdxEfdxEfdxmG),(EfmG),(Ef；如果Efdx，则称f在E上可积。ZeonPDFDriverT.twDocuComPDFT第五章Lebesgue积分理论81注.此处作“Efdx，Efdx至少有一个有限”的限制在于保证不出现的无意义表达式。注.2(L)积分定义有三大优点：定义简洁、直观明了，不需大、小和概念，不必考虑函数是否有界，定义域测度是否有限。如何具体计算积分值呢？1)若f为可测集E上的非负简单函数，则f(x)cixEi(i=1,2,3,.,n)，EiEj(ij)，从而f在E上的积分值为mG),(Efni1cimEi例.Dinichni函数D(x)01|E01,0|E121中的无理数为中的有理数为xxxxxx可积，且EDdx1mE10mE20。2)若f(x)为可测集E上的非负可测函数，则存在E上的非负简单函数列n(x)满足0n(x)1n(x)，n(x)f(x)(n+)，则显然GnG1n，且G),(EfnlimG),(En，从而由测度的外极限定理知：f在E上的积分值为mG),(EfnlimmG),(EnnlimEndx当我们按定理.方法构造简单函数列n(x)时，mG),(En便是f在分划Tn:E121nnkEk下的小和s(f,Tn)，即EfdxnlimmG),(Ennlims(f,Tn)。这与定义(R)积分的分割、求和、取极限三大步骤基本相似。区别在于(R)积分直接将定义域分成区间，(L)积分可能是通过将值域分成区间后反过来将定义域分成有限个不一定是区间的集合。3)若f(x)为可测集E上的一般可测函数，则按2）分别求出Efdx，Efdx从而获得Efdx，显然测度有限的可测集E上定义的ZeonPDFDriverT.twDocuComPDFT第五章Lebesgue积分理论82有界可测函数均为可积函数。以上三大步骤，不仅说明了lebesgue积分的可操作性，也是在证明一系列积分性质时所通常采取的循序渐进的方法。定理.设f(x)在E上有积分值，则对任意实数，f(x)在E上也有积分值，且Efdx=Efdx(1)证明10当0时，分三种情形证明之。a)若f(x)为E上的非负简单函数，(1)式显然成立。b)若f(x)为E上的非负可测函数，则存在E上的非负简单函数列n(x)满足n(x)1n(x)，n(x)f(x)(n)，EfdxnlimEndxnlimEndxnlimEndxEfdx，即(1)式成立。c)若f(x)为一般可测函数，利用b)及(f)f，(f)f即得EfdxEfdxEfdxEfdxEfdxEfdx20当0时，利用b)及(f)f，(f)-f即得EfdxE(-)fdxE(-)fdx(-)Efdx(-)EfdxEfdx证毕定理.：设f(x)，g(x)在E上可积，则f(x)g(x)也在E上可积，且Ef+gdxEfdxEgdx(2)证明a)若f(x)，g(x)为E上非负简单函数，则(2)式显然成立。b)若f(x)，g(x)为E上的非负可测函数，则存在简单函数列ZeonPDFDriverT.twDocuComPDFT第五章Lebesgue积分理论83n(x)、n(x)满足0n(x)1n(x)，n(x)f(x)(n)，0n(x)1n(x)，n(x)g(x)(n)，从而n(x)n(x)1n(x)1n(x)，且n(x)n(x)f(x)g(x)(n)，Ef+gdxnlimEnn(x)dxnlimEndxEndxnlimEndxnlimEndxEfdxEgdx，即(2)式成立。(值得注意的是：对非负函数而言，只须可测就足以保证(2)式成立。)c)若f(x)，g(x)为E上的一般可积函数，则f+gffgg从而G),(EgfG),(Eggff，故mG),(EgfmG),(Eggff，即fg在E上可积，同理fg在E上可积。fgfgfg(ff)(gg)，移项得fgfgfgfg由b)得EfgdxEfdxEgdxEfdxEgdxEf+gdx故EfgdxEfgdxZeonPDFDriverT.twDocuComPDFT第五章Lebesgue积分理论84EfdxEfdxEgdxEgdx即EfgdxEfdxEgdx证毕。推论.：设f(x)，g(x)在E上可积，则对任意、R，f(x)g(x)也在E上可积，且EfgdxEfdxEgdx(3)定理.：1)设f(x)在E上可积，则f在E的任意一个可测子集E1上可积。2)（有限可加性）若f(x)在E1，E1上均可积，其中E1、E2为E的互不相交的可测子集，且EE1E2，则f(x)在E上可积，且Efdx1Efdx2Efdx(4)证明1)因为G),(Ef(x,y)xE,0yf(x)(x,y)xE1,0yf(x)(x,y)xE-E1,0yf(x)G),(1EfG),(1EEf于是1EfdxmG),(1EfmG),(EfEfdx+同理1EfdxmG),(1EfmG),(EfEfdx+故f(x)在E1上可积。2)若f(x)在E1，E2上均可积，则令f1(x)21E0E)(xxxff2(x)21E)(E0xxfx显然，f1，f2均在在E上可积，由定理知ZeonPDFDriverT.twDocuComPDFT第五章Lebesgue积分理论85Ef1(x)f2(x)dxEf1(x)dxEf2(x)dx即Efdx1Efdx2Efdx。证毕定理.：若mE0，则在E上定义的函数皆可积，且Efdx0设f(x)g(x)a.e于E，则f(x)与g(x)有相同的可积性，且EfdxEgdx(4)（单调性）若f(x)，g(x)在E上可积，且f(x)g(x)a.e于E，则EfdxEgdx(5)特别地，若mfM,mE+,则mmEEfdxMmE（绝对可积性）设f(x)在E上可积，则f(x)在E上可积，且|Efdx|E|f|dx(6)证明：设f(x)在E上非负，则由推论.知f(x)在E上可测，当0n(x)1n(x)，n(x)f(x)(n+)时，对任意n有En(x)dx=0，故f在E上可积且Ef(x)dx=0。不妨设f(x)在E上可积，则f(x)在E1Efg，E2Efg上均可积。则g在Efg上可积，又m*Efg0，故g(x)在E2Efg上可积，从而g在EE1E2上可积。且Efdx1Efdx2Efdx1Egdx2Egdx。(正是由于此结论，有关积分的命题，遇到几乎处处成立的条件时，都不妨当成处处成立来证明)因为g(x)f(x)(g(x)f(x)，由定理.知EgdxEfdxE(gf)dxEfdx。因为|f(x)|ff，所以f(x)可积。又因为ZeonPDFDriverT.twDocuComPDFT第五章Lebesgue积分理论86-|f(x)|f(x)|f(x)|，故E|f|dxEfdxE|f|dx，即|Efdx|E|f|dx。证毕。注意：绝对可积性对Rieman广义积分是不成立的。正因为如此，才有条件可积与绝对可积之分。定理.（积分唯一性）若在E上非负可测，且Efdx0，则f0a.e于E证明：因为0Efdxn1Effdxn1mEfn10，故mEfn10，而Ef01nEfn1，故mEf00,于是f0a.e于E证毕定理.若f(x)在E上可积，则f在E上几乎处处有限.证明：因为E|f|dxnEffdxnmE|f|n，所以0m|f|n)(0fdEnnx，而Ef+1nE|f|n，由内极限定理知：mE|f|+nlimmE|f|n=0.证毕定理