2017年湖南省邵阳市高考数学二模试卷（理科）含答案解析

2017 年湖南省邵阳市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题（本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知集合 A=x|y=x 12） ， B=x| 3 x 4，则 A B 等于（ ） A（ 3， 2） B（ 3， 2） C（ 2， 4） D（ 2， 4） 2复数 z= 的实部为（ ） A 2 B 1 C 1、 D 0 3假设有两个分类变量 X 和 Y 的 2 2 列联表： Y X 总计 a 10 a+10 c 30 c+30 总计 60 40 100 对同一样本，以下数据能说明 X 与 Y 有关系的可能性最大的一组为（ ） A a=45， c=15 B a=40， c=20 C a=35， c=25 D a=30， c=30 4已知函数 f（ x） =x ）（ 0）的最小正周期为 ，则函数 f（ x）的图象（ ） A可由函数 g（ x） =图象向左平移 个单位而得 B可由函数 g（ x） =图象向右平移 个单位而得 C可由函数 g（ x） =图象向左平移 个 单位而得 D可由函数 g（ x） =图象向右平移 个单位而得 5执行如图的程序框图，若输入 k 的值为 3，则输出 S 的值为（ ） A 10 B 15 C 18 D 21 6在 ， A=30， ， ，且 +2 =0，则 等于（ ） A 18 B 9 C 8 D 6 7若实数 x， y 满足不等式组 且 3（ x a） +2（ y+1）的最大值为 5，则 a 等于（ ） A 2 B 1 C 2 D 1 8如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A 6 B 9 C 12 D 18 9若 则实数 m 的值为（ ） A 2 B C 2 D 3 10已知 f（ x） = 在区间（ 0， 4）内任取一个为 x，则不等式 x 1） f（ ） 的概率为（ ） A B C D 11已知抛物线 C： p 0）的焦点为 F，点 M（ 2 ）（ ）是抛物线 C 上一点圆 M 与线段 交于点 A，且被直线 x= 截得的弦长为|若 =2，则 |于（ ） A B 1 C 2 D 3 12已知函数 f（ x） =2x 2a，且 a 1， 2，设函数 f（ x）在区间 0， 的最小值为 m，则 m 的取值范围是（ ） A 2， 2B 2， C 2 1 D 1， 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13（ x+3）（ 1 ） 5 的展开式中常数项为 14已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的左、右端点分别为 A、 B 两点，点C（ 0， b），若线段 垂直平分线过点 B，则双曲线的离心率为 15我国南 宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的 “三斜公式 ”，设 个内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，面积为 S，则 “三斜求积 ”公式为 若 a+c） 2=12+用 “三斜求积 ”公式求得 面积为 16在长方体 ，底面 边长为 的正方形， ，E 是 中点，过 平面 平面 于点 F，则 平面 成角的正切值为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分） 17已知 等比数列 前 n 项和为 6n+1+a（ n N+） （ 1）求 a 的值及数列 通项公式； （ 2）设 1 ），求 的前 n 项和为 18某重点中学为了解高一年级学生身体发育情况，对全校 700 名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位： 数分布表如表 1、表 2 表 1：男生身高频数分布表 身高（ 160，165） 165，170） 170，175） 175，180） 180，185） 185，190） 频数 2 5 14 13 4 2 表 2：女生身高频数分布表 身高（ 150，155） 155，160） 160，165） 165，170） 170，175） 175，180） 频数 1 7 12 6 3 1 （ 1）求该校高一女生的人数； （ 2）估计该校学生身高在 165， 180）的概率； （ 3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出 1 人，设 X 表示身高在 165， 180）学生的人数，求 X 的分布列及数学期望 19用如图所示的几何体中，四边形 矩形， 平面 E 是 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）若 C， 二面角 A E 的余弦值 20已知右焦点为 c， 0）的椭圆 C： + =1（ a b 0）过点（ 1， ），且椭圆 C 关于直线 x=c 对称的图形过坐标原点 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）过点（ ， 0）作直线 l 与椭圆 C 交于 E， F 两点，线段 中点为 M，点 A 是椭圆 C 的右顶点，求直线 斜率 k 的取值范围 21已知函数 f（ x） =x g（ x） = ，其中 a R （ 1）设函数 h（ x） =f（ x） g（ x），求函数 h（ x）的单调区间； （ 2）若存在 1， e，使得 f（ g（ 立，求 a 的取值范围 坐标系与参数方程 22在极坐标系中，已知三点 O（ 0， 0）， A（ 2， ）， B（ 2 ， ） （ 1）求经过 O， A， B 的圆 极坐标方程； （ 2）以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆 参数方程为 （ 是参数），若圆 圆 切，求实数 a 的值 不等式选讲 23设函数 f（ x） =|x+2| |x 1| （ 1）求不等式 f（ x） 1 解集； （ 2）若关于 x 的不等式 f（ x） +4 |1 2m|有解，求实数 m 的取值范围 2017 年湖南省邵阳市高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知集合 A=x|y=x 12） ， B=x| 3 x 4，则 A B 等于（ ） A（ 3， 2） B（ 3， 2） C（ 2， 4） D（ 2， 4） 【考点】 交集及其运算 【 分析】 求对数函数的定义域得出集合 A，根据交集的定义写出 A B 【解答】 解：集合 A=x|y=x 12） =x|x 12 0 =x|x 6 或 x 2， B=x| 3 x 4， 则 A B=x|2 x 4=（ 2， 4） 故选： C 2复数 z= 的实部为（ ） A 2 B 1 C 1、 D 0 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】 解： z= = ， 复数 z= 的实部为 0 故选： D 3假设有两个 分类变量 X 和 Y 的 2 2 列联表： Y X 总计 a 10 a+10 c 30 c+30 总计 60 40 100 对同一样本，以下数据能说明 X 与 Y 有关系的可能性最大的一组为（ ） A a=45， c=15 B a=40， c=20 C a=35， c=25 D a=30， c=30 【考点】 独立性检验的应用 【分析】 根据题意， a、 c 相差越大， 与 相差就越大， 由此得出 X 与 Y 有关系的可能性越大 【解答】 解：根据 2 2 列联表与独立性检验的应用问题， 当 与 相差越大， X 与 Y 有关系的可能性越大； 即 a、 c 相差越大， 与 相差越大； 故选： A 4已知函数 f（ x） =x ）（ 0）的最小正周期为 ，则函数 f（ x）的图象（ ） A可由函数 g（ x） =图象向左平移 个单位而得 B可由函数 g（ x） =图象向右平移 个单位而得 C可由函数 g（ x） =图象向左平移 个单位而得 D可由函数 g（ x） =图象向右平移 个单位而得 【考点】 余弦函数的图象 【分析】 根据函数 f（ x）的最小正周期为 ，求出解析 式，在利用三角函数的平移变换考查也选项即可 【解答】 解：函数 f（ x） =x ）（ 0）的最小正周期为 ， 即 T= ， =2， 则 f（ x） =2x ）的图象可有函数 g（ x） =图象向右平移 个单位而得 故选： D 5执行如图的程序框图，若输入 k 的值为 3，则输出 S 的值为（ ） A 10 B 15 C 18 D 21 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 n， S 的值，当 n=5， S=15时，不满足条件 S 5，退出循环，输出 S 的值 为 15，即可得解 【解答】 解：模拟程序的运行，可得 k=3， n=1， S=1 满足条件 S 行循环体， n=2， S=3 满足条件 S 行循环体， n=3， S=6 满足条件 S 行循环体， n=4， S=10 满足条件 S 行循环体， n=5， S=15 此时，不满足条件 S 5，退出循环，输出 S 的值为 15 故选： B 6在 ， A=30， ， ，且 +2 =0，则 等于（ ） A 18 B 9 C 8 D 6 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 首先由已知求出角 B 的大小，然后根据直角三角形的性质得到 数量积公式计算可得 【解答】 解：由题意，如图：因为 2 3=以 C=90，因为+2 =0，则 ， ，则 ， 所以 ，所以 0，所以 0，得到 ， 所以 =2 2 6 故选： D 7若实数 x， y 满足不等式组 且 3（ x a） +2（ y+1）的最大值为 5，则 a 等于（ ） A 2 B 1 C 2 D 1 【考点】 简单线性规 划 【分析】 画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，在可行域中找出最优点，然后求解即可 【解答】 解：实数 x， y 满足不等式组 ，不是的可行域如图： 3（ x a） +2（ y+1） =3x+2y+2 3a 的最大值为： 5，由可行域可知 z=3x+2y+23a，经过 A 时， z 取得最大值， 由 ，可得 A（ 1， 3）可得 3+6+2 3a=5， 解得 a=2 故选： C 8如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A 6 B 9 C 12 D 18 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根据几何 体的三视图知该几何体是长方体和三棱柱的组合体， 结合图中数据求出它的体积即可 【解答】 解：根据几何体的三视图知， 该几何体是上部为长方体，下部为三棱柱的组合体， 画出几何体的直观图如图所示， 根据图中数据，计算其体积为 V 组合体 =V 三棱柱 +V 长方体 = 故选： C 9若 则实数 m 的值为（ ） A 2 B C 2 D 3 【考点】 三角函数的化简求值 【分析】 利用 “切化弦 ”的思想，在结合二倍角即可求解 【解答】 解：由 可得： ） =） ， m= 故选： A 10已知 f（ x） = 在区间（ 0， 4）内任取一个为 x，则不等式 x 1） f（ ） 的概率为（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 先求出不等式 x 1） f（ ） 的解集，再以长度为测度，即可得 出结论 【解答】 解：由题意， 1 且 x 1） ，或 0 1 且 （ x 1） ， 解得 1 x 2 或 x 1， 原不等式的解集为（ ， 2 则所求概率为 = 故选： B 11已知抛物线 C： p 0）的焦点为 F，点 M（ 2 ）（ ）是抛物线 C 上一点圆 M 与线段 交于点 A，且被直线 x= 截得的弦长为|若 =2，则 |于（ ） A B 1 C 2 D 3 【考点】 直线与抛物线的位 置关系 【分析】 由椭圆的性质，分别表示出丨 ，丨 ，丨 ，利用勾股定理求得 p 和 系，与 ，联立求得 p 和 值，则丨 = （ ） 【解答】 解：由题意： M（ 2 ）在抛物线上，则 8=2 ， 由抛物线的性质可知，丨 =， =2，则丨 =2 丨 = 丨 = （ ）， 被直线 x= 截得的弦长为 |则丨 = 丨 = （ ）， 由丨 =丨 =r， 在 ，丨 2+丨 2=丨 2，即 （ ） 2+（ ）2= （ ） 2， 代入整理得： 40 ， 由 ，解得： ， p=2， 丨 = （ ） =1， 故选： B 12已知函数 f（ x） =2x 2a，且 a 1， 2，设函数 f（ x）在区间 0， 的最小值为 m，则 m 的取值范围是（ ） A 2， 2B 2， C 2 1 D 1， 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 构造函数 g（ a），根据 a 的范围，求出 f（ x）的 最大值，设为 M（ x），求出 M（ x）的导数，根据函数的单调性求出 m 的范围即可 【解答】 解：构造函数 g（ a） =（ 2） a 2x 是关于 a 的一次函数， x 0， 2 0，即 y=g（ a）是减函数， a 1， 2， f（ x） （ 2） 2x，设 M（ x） =2（ 2） 2x， 则 M（ x） =22， x 0， M（ x） 0，则 M（ x）在 0， 递增， M（ x） （ 0） =2， M（ x） （ = 2 m 的取值范围是 2， 2 故选： A 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13（ x+3）（ 1 ） 5 的展开式中常数项为 43 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 （ 1 ） 5 的展开式中通项公式 = =（ 2） k ，令 =0，或 1，解得 k 即可得出 【解答】 解：（ 1 ） 5 的展开式中通项公式 = =（ 2） k ， 令 =0，或 1，解得 k=0，或 2 （ x+3）（ 1 ） 5 的展开式中常数项 =3+ =43 故答案为： 43 14已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的左、右端点分别为 A、 B 两点，点C（ 0， b），若线段 垂直平分线过点 B，则双曲线的离心率为 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 运用平面几何的性质可得 等边三角形，则 b= 2a，由 a，b， c 的关系和离心率公式，计算即可得到所求值 【解答】 解：由线段 垂直平分线过点 B，结合对称性可得 等边三角形， 则 b= 2a， 即 b= a， c= = = a， 则 e= = ， 故答案为： 15我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的 “三斜公式 ”，设 个内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，面积为 S，则 “三斜求积 ”公式为 若 a+c） 2=12+用 “三斜求积 ”公式求得 面积为 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 由已知利用正弦定理可求 值，可求 a2+，代入 “三斜求积 ”公式即可计算得解 【解答】 解：根据正弦定理：由 得： ， 由于（ a+c） 2=12+得： a2+， 可得： = = 故答案为： 16在 长方体 ，底面 边长为 的正方形， ，E 是 中点，过 平面 平面 于点 F，则 平面 成角的正切值为 【考点】 直线与平面所成的角 【分析】 连结 于点 O，当 直时， 平面 而 F 而 平面 成角，由 出 此能求出 平面 成角的正切值 【解答】 解：连结 于点 O， 四边形 正方形， 底面 平面 则当 直时， 平面 F 平面 F 平面 成角， 在矩形 ， 则 ， ， ， ， ， = 平面 成角的正切值为 故答案为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分） 17已知等比数列 前 n 项和为 6n+1+a（ n N+） （ 1）求 a 的值及数列 通项公式； （ 2）设 1 ），求 的前 n 项和为 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）等比数列 足 6n+1+a（ n N+）， n=1 时， 6+a； n 2 时，6（ 1），可得 n 1， n=1 时也成立，于是 1 6=9+a，解得 a （ 2）由（ 1）代入可得 1+3n） =（ 3n+1）（ 3n 2），因此= 利用 “裂项求和 ”方法即可得出 【解答】 解：（ 1） 等比数列 足 6n+1+a（ n N+）， n=1 时， 6+a； n 2 时， 6（ 1） =3n+1+a（ 3n+a） =2 3n n 1， n=1 时也成立， 1 6=9+a，解得 a= 3 n 1 （ 2） 1 ） =（ 1+3n） =（ 3n+1）（ 3n 2）， = 的前 n 项和为 + + = = 18某重点中学为了解高一年级学生身体发育情况，对全校 700 名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位： 数分布表如表 1、表 2 表 1：男生身高频数分布表 身高（ 160，165） 165，170） 170，175） 175，180） 180，185） 185，190） 频数 2 5 14 13 4 2 表 2：女生身高频数分布表 身高（ 150，155） 155，160） 160，165） 165，170） 170，175） 175，180） 频数 1 7 12 6 3 1 （ 1）求该校高一女生的人数； （ 2）估计该校学生身高在 165， 180）的概率； （ 3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出 1 人，设 X 表示身高在 165， 180）学生的人数，求 X 的分布列及数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ 1）设高一女学生人数为 x，由表 1 和 2 可得样本中男女生人数分别为40， 30，则 = ，解得 x （ 2）由表 1 和 2 可得样本中男女生人数分别为： 5+14+13+6+3+1=42样本容量为 70可得样本中该校学生身高在 165， 180）的概率 = 即估 计该校学生身高在 165， 180）的概率 （ 3）由题意可得： X 的可能取值为 0， 1， 2由表格可知：女生身高在 165，180）的概率为 男生身高在 165， 180）的概率为 即可得出 X 的分布列与数学期望 【解答】 解：（ 1）设高一女学生人数为 x，由表 1 和 2 可得样本中男女生人数分别为 40， 30， 则 = ，解得 x=300 因此高一女学生人数为 300 （ 2）由表 1 和 2 可得样本中男女生人数分别为： 5+14+13+6+3+1=42样本容量为 70 样本中该校学生身高在 165， 180）的概率 = = 估计该校学生身高在 165， 180）的概率 = （ 3）由题意可得： X 的可能取值为0， 1， 2 由表格可知：女生身高在 165， 180）的概率为 男生身高在 165， 180）的概率为 P（ X=0） = = ， P（ X=1） = + = ， P（ X=2） = = X 的分布列为： X 0 1 2 P E（ X） =0+ + = 19用如图所示的几何体中，四边形 矩形， 平面 E 是 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）若 C， 二面角 A E 的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）取 中点 F，连结 可通过证明平面 平面出 平面 （ 2）连结 F 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 A E 的余弦值 【解答】 证明：（ 1）取 中点 F，连结 1 又 四边形 平行四边形， E， F 分别 中点， 又 面 面 ， 面 面 ， 平面 平面 又 面 平面 解：（ 2）连结 以 F 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A（ 0， 1， 0）， 0， 0， 1）， B（ 0， 1， 0）， C（ ， 0， 0）， E（ ， ， 0）， =（ 0， 1， 1）， =（ ， ， 0）， 设平面 一个法向量为 =（ x， y， z）， ，取 y=1，得 =（ ， 1， 1）， 平面 法向量 =（ 1， 0， 0），设二面角 A E 的平面角为 ， ，则 二面角 A E 的余弦值为 ， 20已知右焦点为 c， 0）的椭圆 C： + =1（ a b 0）过点（ 1， ），且椭圆 C 关于直线 x=c 对称的图形过坐标原点 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）过点（ ， 0）作直线 l 与椭圆 C 交于 E， F 两点，线段 中点为 M，点 A 是椭圆 C 的右顶点，求直线 斜率 k 的取值范围 【考点】 直线与椭圆的位置关系 【分析】 （ 1）由椭圆 C： + =1（ a b 0）过点（ 1， ），且椭圆 C 关于直线 x=c 对称的图形过坐标原点，求出 a， b， c，椭圆方程可求； （ 2）线 l 过点（ ， 0）且斜率不为零，故可设其方程 为 x=，和椭圆方程联立，把 斜率用直线 l 的斜率表示，由基本不等式求得范围 【解答】 解：（ 1） 椭圆 C 过点（ 1， ）， + =1， 椭圆 C 关于直线 x=c 对称的图形过坐标原点， a=2c， ， 由 得 a=2， b= ， 椭圆 C 的方程为 （ 2）依题意，直线 l 过点（ ， 0）且斜率不为零，故可设其方程为 x= 联立方程组消去 x，并整理得 4（ 3） 245=0 设 E（ F（ M（ 则 y1+ ， ， ， k= ， 当 m=0 时， k=0； 当 m 0 时， k= ， |4m+ |=4|m|+ 8， 0 |k| ， k 且 k 0 综合 可知直线 斜率 k 的取值范围是： k 21已知函数 f（ x） =x g（ x） = ，其中 a R （ 1）设函数 h（ x） =f（ x） g（ x），求函数 h（ x）的单调区间； （ 2）若存在 1， e，使得 f（ g（ 立，求 a 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1） 先求函数 h（ x）的定义域，求出函数 h（ x）的导数，从而讨论判断函数的单调性；（ 2）分类讨论函数的单调性，从而化存在性问题为最值问题，从而解得 【解答】 解：（ 1）函数 h（ x） =x 的定义域为（ 0， + ）， h（ x） =1 = ， 当 1+a 0，即 a 1 时， h（ x） 0， 故 h（ x）在（ 0， + ）上是增函数； 当 1+a 0，即 a 1 时， x （ 0， 1+a）时， h（ x） 0； x （ 1+a， + ）时， h（ x） 0； 故 h（ x）在（ 0， 1+a）上是减函数，在（ 1+a， + ）上是增函 数； （ 2）由（ 1）令 h（ =f（ g（ 1， e， 当 a 1 时， 存在 1， e（ e=），使得 h（ 0 成立可化为 h（ 1） =1+1+a 0， 解得， a 2； 当 1 a 0 时， 存在 1， e（ e=），使得 h（ 0 成立可化为 h（ 1） =1+1+a 0，解得， a 2； 当 0 a e 1 时， 存在 1， e（ e=），使得 h（ 0 成立可化为 h（ 1+a） =1+a 1+a） +1 0，无解； 当 e 1 a 时， 存在 1， e（ e=），使得 h（ 0 成立可化为 h（ e） =e a+ 0， 解得， a