《概率论与数理统计》课后习题答案 (2)

1 概 率 论与数 理 统计 课 后 习题 答案 题 答 1. 将 一枚均 匀 的硬 币 抛 两 次，事件 , 分 别 表示“ 第一次出 现 正面” ，“ 两 次出现 同一面” ，“ 至少有一次出 现 正面” 。 试写 出 样 本空 间 及事件 , 中的 样 本点。 解： (正，正 )，（正，反），（反，正），（反，反） A (正，正 )，（正，反） ； B （正，正），（反，反） C (正，正 )，（正，反），（反，正） 2. 在 掷两颗 骰子的 试验 中，事件 , 分 别 表示“ 点 数 之和 为 偶 数 ” ，“ 点 数 之和小于 5” ，“ 点 数 相等” ，“ 至少有一 颗 骰子的点 数为 3”。 试写 出 样 本空 间 及事件 , 中 的 样 本点。 解： )6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( ； )1,3(),2,2(),3,1(),1,1( )1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( )2,2(),1,1( )4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1( 3. 以 , 分 别 表示某城市居民 订阅 日 报 、 晚报 和体育 报 。 试 用 , 表示以下事件： （ 1）只 订阅 日 报 ； （ 2）只 订 日 报 和 晚报 ； （ 3）只 订 一 种报 ； （ 4）正好 订两种报 ； （ 5）至少 订阅 一 种报 ； （ 6）不 订阅 任何 报 ； （ 7）至多 订阅 一 种报 ； （ 8）三 种报纸 都 订阅 ； （ 9）三 种报纸 不全 订阅 。 解：（ 1） （ 2） （ 3） ； （ 4） ; （ 5） ； （ 6） （ 7） 或 （ 8） （ 9） 4. 甲、乙、丙三人各射 击 一次，事件321 , 表示甲、乙、丙射中。 试说 明下列事件所表示的 结 果： 2A , 32 , 21 21 , 321 313221 . 解：甲未 击 中；乙和丙至少一人 击 中；甲和乙至多有一人 击 中或甲和乙至少有一人未 击 中；甲和乙都未 击 中；甲和乙 击 中而丙未 击 中；甲、乙、丙三人至少有 两 人 击中。 5. 设 事件 , 满 足 试 把下列事件表示 为 一些互不相容的事件的和： ， ， . 解： 如 图 ： 2 ;6. 若事件 , 满 足 ， 试问 是否成立？ 举 例 说 明。 解： 不一定成立。例如： 5,4,3A ， 3B ， 5,4C ， 那 么 ， ， 但 。 7. 对 于事件 , ， 试问 )()( 是否成立？ 举 例 说 明。 解： 不一定成立。 例如： 5,4,3A ， 6,5,4B ， 7,6C ， 那 么 3)( 但是 7,6,3)( 8. 设31)( 1)( 试 就以下三 种 情 况 分 别 求 )( （ 1） （ 2） ， （ 3）81)( 解： （ 1）21)()()()( （ 2）61)()()()( （ 3）838121)()()()( 9. 已知41)()()( 61)()( 0)( 事件 , 全不发 生的 概 率。 解： )(1)( = )()()()()()()(1 A B 83016116104141411 10. 每 个 路口有 红 、 绿 、 黄 三色指示灯，假 设 各色灯的 开闭 是等可能的。一 个 人 骑车经过 三 个 路口， 试 求下列事件的 概 率： A “三 个 都是 红 灯” =“全 红 ”； B “全绿 ”； C “全 黄 ”； D “无 红 ”； E “无 绿 ”； F “ 三次 颜 色相同” ； G “ 颜 色全不相同” ； H “ 颜 色不全相同” 。 解： 271333 111)()()( 78333 222)() 91271271271)( 2333 !3)( 98911)(1)( 11. 设 一批 产 品共 100 件，其中 98 件正品， 2 件次品， 从 中任意抽取 3 件（分三种 情 况 ：一次拿 3 件；每次拿 1 件，取后放回拿 3 次；每次拿 1 件，取后不放回拿 3次）， 试 求： （ 1） 取出的 3 件中恰有 1 件是次品的 概 率； （ 2） 取出的 3 件中至少有 1 件是次品的 概 率。 解： 一次拿 3 件： （ 1） （ 2） 每次拿一件，取后放回，拿 3 次： （ 1） 0 5 7 0982 32 P ； （ 2） 3 P ； 每次拿一件，取后不放回，拿 3 次： （ 1） 7982 P； （ 2） 697981 从 9,2,1,0 中任意 选 出 3 个 不同的 数 字， 试 求下列事件的 概 率： 501 与三个数字中不含A ， 502 或三个数字中不含A 。 4 解： 157)(310381 15142)(31038392 15141)(310182 13. 从 9,2,1,0 中任意 选 出 4 个 不同的 数 字， 计 算 它们 能 组 成一 个 4 位偶 数 的 概率。 解：9041454102839 14. 一 个 宿舍中住有 6 位同 学 ， 计 算下列事件的 概 率： （ 1） 6 人中至少有 1 人生日在 10 月 份 ； （ 2） 6 人中恰有 4 人生日在 10 月 份 ； （ 3） 6 人中恰有 4 人生日在同一月 份 ； 解： （ 1） 6 P ； （ 2） 16246 （ 3） 16246112 15. 从 一副扑克牌（ 52 张 ）任取 3 张 （不重 复 ）， 计 算取出的 3 张 牌中至少有 2张 花色相同的 概 率。 解： 5 习题 答 1. 假 设 一批 产 品中一、二、三等品各占 60%， 30%、 10%， 从 中任取一件， 结 果不是三等品，求取到的是一等品的 概 率。 解： 令 取到的是 i 等品” ， 3,2,1i )()()()(3133131 2. 设 10 件 产 品中有 4 件不合格品， 从 中任取 2 件，已知所取 2 件 产 品中有 1 件不合格品，求另一件也是不合格品的 概 率。 解： 令 A “ 两 件中至少有一件不合格” ， B “ 两 件都不合格” 511)(1)()()()|(21026210243. 为 了防止意外，在 矿内 同 时 装有 两种报 警系 统 I 和 两种报 警系 统单独 使用时 ，系 统 I 和 效的 概 率分 别 系 统 I 失 灵 的 条 件下，系 统 有效的 概 率 为 （ 1） 两种报 警系 统 I 和 有效的 概 率； （ 2） 系 统 灵 而系 统 I 有效的 概 率； （ 3） 在系 统 灵 的 条 件下，系 统 I 仍有效的 概 率。 解： 令 A “系 统 （）有效” ， B “系 统 （）有效” 则 (, （ 1） )()()()( 8 6 ()()( （ 2） 0 5 )()()( （ 3） 8 2 8 )()|( 设 1)(0 证 明事件 A 与 B 独 立的充要 条 件是 )|()|( 证 ： ： A 与 B 独 立， A 与 B 也 独 立。 )()|(),()|( )|()|( ： 1)(01)(0 6 又)()()|(,)()()|( 而由 题设)()()()()|()|( 即 )()()()()(1 )()()( ，故 A 与 B 独 立。 5. 设 事件 A 与 B 相互 独 立， 两个 事件只有 A 发 生的 概 率 与 只有 B 发 生的 概 率都是41，求 )( )( 解：41)()( 又 A 与 B 独 立 41)()(1)()()( (1)()()()( )(),()( 2 )( 6. 证 明 若 )(0， )(0， 则 有 （ 1） 当 A 与 B 独 立 时 ， A 与 B 相容； （ 2） 当 A 与 B 不相容 时 ， A 与 B 不 独 立。 证 明： 0)(,0)( （ 1）因 为 A 与 B 独 立，所以 0)()()( A 与 B 相容。 （ 2）因 为 0)( 而 0)()( )()()( ， A 与 B 不 独 立。 7. 已知事件 , 相互 独 立，求 证 与 C 也 独 立。 证 明： 因 为 A 、 B 、 C 相互 独 立， )()( )()()()()()()()()()()()()()()()( 与 C 独 立。 8. 甲、乙、丙三机床 独 立工作，在同一段 时间内它们 不需要工人照 顾 的 概 率分 别为 在 这 段 时间内 ，最多只有一台机床需要工人照 顾 的 概 率。 解： 令321 , 表示甲、乙、丙三机床不需要工人照 顾 ， 那 么 ,321 令 B 表示最多有一台机床需要工人照 顾 ， 那 么 )()(321321321321 )()()( 321321321321 9. 如果 构 成系 统 的每 个 元件能正常工作的 概 率 为 )10( （ 称为 元件的可靠性），假 设 各元件能否正常工作是相互 独 立的， 计 算下面各系 统 的可靠性。 解： 令 A “系 统 （）正常工作” B “系 统 （）正常工作” 件正常工作” ， ,2,1 21 ,)( 相互 独 立。 那 么 )()()(22121 )2(2)()()()()()(22121122122121 )()()( 22211 (2)()()()()(121110. 10 张奖 券中含有 4 张 中 奖 的 奖 券，每人 购买 1 张 ，求 （ 1） 前三人中恰有一人中 奖 的 概 率； （ 2） 第二人中 奖 的 概 率。 解： 令 中 奖 ”， 3,2,1i (1) )(321321321 注：利用第 7 题的方法可以证 明 )(A 与 )(A 时独立。 系统 I 1 2 n n+1 n+2 2n 系统 n+1 2 n+2 n 2n 8 )()()(321321321 )|()|()()|()|()()|()|()(213121213121213121 21859410684951068596104 或213102614 （ 2） )|()()|()()( 1211212 529410693104 11. 在肝癌 诊断 中，有一 种 甲胎蛋白法，用 这种 方法能 够检查 出 95%的 真实 患者，但也有可能 将 10%的人 误诊 。根据以往的 记录 ，每 10 000 人中有 4 人患有肝癌， 试 求： （ 1）某人 经 此 检验 法 诊断 患有肝癌的 概 率； （ 2）已知某人 经 此 检验 法 检验 患有肝癌，而他确 实 是肝癌患者的 概 率。 解： 令 B “被 检验 者患有 肝癌” ， A “用 该检验 法 诊断 被 检验 者患有肝癌” 那 么 ， 0 0 0 ,(,( （ 1） )|()()|()()( （ 2）)|()()|()( )|()()|( 12. 一大批 产 品的 优质 品率 为 30%，每次任取 1 件， 连续 抽 取 5 次， 计 算下列事件的 概 率： （ 1）取到的 5 件 产 品中恰有 2 件是 优质 品； （ 2） 在取到的 5 件 产 品中已 发现 有 1 件是 优质 品， 这 5 件中恰有 2 件是 优质 品。 解： 令 5 件中有 i 件 优质 品” ， 5,4,3,2,1,0i （ 1） 3 0 8 ( 32252 2）)()()|()|(00202512 i3 7 3 0 8 1)(502 9 13. 每箱 产 品有 10 件，其次品 数从 0 到 2 是等可能的。 开 箱 检验时 ， 从 中任取 1件，如果 检验 是次品， 则认为该 箱 产 品不合格而拒收。假 设 由于 检验 有 误 ， 1 件正品被 误检 是次品的 概 率是 2%， 1 件次品被 误 判是正品的 概 率是 5%， 试计 算： （ 1）抽取的 1 件 产 品 为 正品的 概 率； （ 2） 该 箱 产 品通 过验 收的 概 率。 解： 令 A “ 抽取一件 产 品 为 正品” 箱中有 i 件次品” ， 2,1,0i B “ 该 箱 产 品通 过验 收” （ 1） ()()(2020 ii （ 2） )|()()|()()( 14. 假 设 一 厂 家生 产 的 仪 器，以 概 率 以直接出 厂 ，以 概 率 进 一步 调试 ， 经调试 后以 概 率 以出 厂 ， 并 以 概 率 为 不合格品不能出 厂 。 现该厂新生 产 了 )2( 仪 器（假 设 各台 仪 器的生 产过 程相互 独 立），求： （ 1）全部能出 厂 的 概 率； （ 2）其中恰有 2 件不能出 厂 的 概 率； （ 3）其中至少有 2 件不能出 厂 的 概 率。 解： 令 A “ 仪 器需 进 一步 调试 ” ； B “ 仪 器能出 厂 ” A “ 仪 器能直接出 厂 ” ； “ 仪 器 经调试 后能出 厂 ” 显 然 ， 那 么 (, ()( 所以 )()( 令 n 件中恰有 i 件 仪 器能出 厂 ”， ,1,0 （ 1） ( （ 2） 2222222 )( 3） )(1)( 11120 15. 进 行一系列 独 立 试验 ，每次 试验 成功的 概 率均 为 p ， 试 求以下事件 的 概 率： （ 1）直到第 r 次才成功； （ 2）第 r 次成功之前恰失 败 k 次； （ 3）在 n 次中取得 )1( 次成功； （ 4）直到第 n 次才取得 )1( 次成功。 10 解： （ 1） 1)1( （ 2） 1(1 1 （ 3） )1(（ 4） )1(1116. 对飞 机 进 行 3 次 独 立射 击 ，第一次射 击 命中率 为 二次 为 三次为 击 中 飞 机一次而 飞 机被 击 落的 概 率 为 击 中 飞 机二次而 飞 机被 击 落的 概 率为 被 击 中三次， 则飞 机必被 击 落。求射 击 三次 飞 机未被 击 落的 概 率。 解： 令 恰有 i 次 击 中 飞 机” ， 3,2,1,0i B “ 飞 机被 击 落” 显 然： ( 0 1)( 2 3 而 0)|(0 ( 1 ( 2 1)|(3 4 5 ()()( 30 i 5 4 1)( 11 习题 答 1. 设 X 为随 机 变 量，且1)( ( ,2,1k ), 则 （ 1） 判 断 上面的式子是否 为 X 的 概 率分布； （ 2） 若是， 试 求 ）为偶数和 )5( 解： 令 ,2,1,21)( 1） 显 然 10 且 1121212111 k kk 所以 ,2,1,21)( 概 率分布。 （ 2） 为 偶 数31121)41411 21 2 k kk 161121)5(2121555 k kk 变 量 X 的 概 率分布 为 k!)( ,2,1k ), 且 0 ， 求常 数 C . 解： 1!1 ， 而 1!0 1!010 即 1)1( 3. 设 一次 试验 成功的 概 率 为 )10( 不 断进 行重 复试验 ，直到首次成功 为止。用 随 机 变 量 X 表示 试验 的次 数 ，求 X 的 概 率分布。 解： ,2,1,)1()( 1 k 4. 设 自 动 生 产线 在 调 整以后出 现废 品的 概 率 为 p=当 生 产过 程中出 现废 品 时立即 进 行 调 整， X 代表在 两 次 调 整之 间 生 产 的合格品 数 ， 试 求 （ 1） X 的 概 率分布； （ 2） )5( 解： （ 1） ,2,1,0,1()( 2） 555)()5( 5. 一 张 考卷上有 5 道 选择题 ，每道 题 列出 4 个 可能答案，其中有 1 个 答案是正确的。求某 学 生靠猜 测 能答 对 至少 4 道 题 的 概 率是多少？ 12 解： 因 为学 生靠猜 测 答 对 每道 题 的 概 率 为41p，所以 这 是一 个 5n ,41 立重 复 试验 。 641)43()41(43)41()4( 0555445 为 了保 证设备 正常工作，需要配 备 适 当数 量的 维 修人 员 。根据 经验 每台 设备发生故障的 概 率 为 台 设备 工作情 况 相互 独 立。 （ 1）若由 1 人 负责维 修 20 台 设备 ，求 设备发 生故障后不能及 时维 修的 概 率； （ 2） 设 有 设备 100 台， 1 台 发 生故障由 1 人 处 理， 问 至少需配 备 多少 维 修人员 ，才能保 证设备发 生故障而不能及 时维 修的 概 率不超 过 解： （ 1） 0 1 7 1920 （按 泊松 )分布近似） （ 2） 0,1 0 0 按 泊松 )分布近似） )1( 100111001100100 k 查 表得 4N 7. 设随 机 变 量 X 服 从参数为 的 松 )分布，且21)0( （ 1） ； （ 2） )1( 解： 21!0)0(0 )1()0(1)1(1)1( )212 8. 设书 籍上每 页 的印刷 错误 的 个数 X 服 从 松 )分布。 经统计发现 在某本 书 上，有一 个 印刷 错误与 有 两个 印刷 错误 的 页数 相同，求任意 检验 4 页 ，每 页 上都没 有印刷 错误 的 概 率。 解： )2()1( ， 即 2,!2!121 20 （ 842 )( 9. 在 长 度 为 的 时间间 隔 内 ，某急救中心收到 紧 急呼救的次 数 服 从参数为 的布，而 与时间间 隔的起点无 关 （ 时间 以小 时计 ），求 （ 1）某一天 从 中午 12 时 至下午 3 时没 有收到 紧 急呼救的 概 率； （ 2）某一天 从 中午 12 时 至下午 5 时 收到 1 次 紧 急呼救的 概 率； 9. 在 长 度 为 t 的 时间间 隔 内 ，某急救中心收到 紧 急呼救的次 数 X 服 从参数为2松 )分布，而 与时间间 隔的起点无 关 （ 时间 以小 时计 ） . 求 （ 1）某一天 从 中午 12 时 至下午 3 时没 有收到 紧 急呼救的 概 率； （ 2）某一天 从 中午 12 时 至下午 5 时 收到 1 次 紧 急呼救的 概 率； 13 解： （ 1） 23)0(23,3 （ 2） 251)0(1)1(25,5 10. 已知 X 的 概 率分布 为 ： X 1 0 1 2 3 P 2a 101 3a a a 2a 试 求（ 1） a ； （ 2） 12 概 率分布。 解： （ 1） 1231012 01a。 （ 2） Y 10 3 8 P 103 51 103 5111. 设连续 型 随 机 变 量 X 的 概 率密度曲 线 如 图 示 . 试 求 :（ 1） t 的 值 ； （ 2） X 的 概 率密度； （ 3） )22( 解： （ 1） 21 t1t f (x) 图 x t o 1 2 3 14 （ 2）其它，0)3,0,2161)0,1,2121)( 3）1211)2161()2121()22 0120 12. 设连续 型 随 机 变 量 X 的 概 率密度 为 其他,00,s 试 确定常 数 a 并 求 )6( 解： 令 1)( 即 1 1 即2,0 c o ss (2626 13. 乘以什 么 常 数将 使 2 变 成 概 率密度函 数 ? 解： 令 12 即 141)21( 2 x 即 141 411 4. 随 机 变 量 ),( 2其 概 率密度函 数为 6 44261)( x ) 试 求 2, ；若已知 CC ()(，求 C . 解： 222)3(2)2(64432161)( 2 , 32 15 若 ()( ，由正 态 分布的 对称 性 可知 2c . 15. 设连续 型 随 机 变 量 X 的 概 率密度 为 其他,010,2)( 以 Y 表示 对 X 的三次 独 立重 复试验 中“21X”出 现 的次 数 ， 试 求 概 率 )2( 解：412)21( 210 x d 649)43()41()2( 223 16. 设随 机 变 量 X 服 从 1,5上的均 匀 分布， 试 求 )( 21 . 如果 （ 1） 51 21 （ 2） 21 51 . 解： X 的 概 率密度 为 其他,051,41)( （ 1） 21221 )1(4141)( x （ 2） 51211)5(4141)(17. 设顾 客排 队 等待服 务 的 时间 X （以分 计 ）服 从51的指 数 分布。某 顾 客等待服 务 ，若超 过 10 分 钟 ，他就离 开 。他一 个 月要去等待服 务 5 次，以 Y 表示一 个 月 内 他未等到服 务 而离 开 的次 数 ， 试 求 Y 的 概 率分布和 )1( 解： 21051 11)10(1)10( 5,4,3,2,1,0,)1()()( 5225 1 6 (1)1( 52 16 习题 答 1. 已知 随 机 变 量 X 的 概 率分布 为 ( ( ( 试 求 X 的分布函 数 ； ) 画 出 )(曲 线 。 解： 3,132,)(； )( 线 ： 2. 设连续 型 随 机 变 量 X 的分布函 数为 331111,1,)(试 求 :（ 1） X 的 概 率分布； （ 2） )1|2( 解： （ 1） X 11 3 P （ 2）32)1( )1()1|2( 2 7 3. 从 家到 学 校的途中有 3 个 交通 岗 ，假 设 在各 个 交通 岗 遇到 红 灯的 概 率是相互 独立的，且 概 率均是 设 X 为 途中遇到 红 灯的次 数 ， 试 求（ 1） X 的 概 率分布； （ 2） X 的分布函 数 。 解： （ 1） 3,2,1,0,)53()52()( 33 X 0 1 2 3 p 12527 12554 12536 1258（ 2）3,132,12511721,1258110,125270,0)(试 求 习题 第 11 题 X 的分布函 数 ， 并画 出 )(曲 线 。 解： 313041211210141214110)(221x)( 18 5. 设连续 型 随 机 变 量 X 的分布函 数为 00,0,)( 2 :（ 1） 的 值 ； （ 2） )11( （ 3） 概 率密度函 数 )( 解： （ 1） 11)( 2 10)0()(0 2） 21)1()1()11( （ 3） 0,00,2)()( 2x 6. 设 X 为连续 型 随 机 变 量，