《高等数学》不定积分课后习题详解

1 不定积分 内容概要 名称 主要内容 不 定 积 分 不 定 积 分 的 概 念 设 () ，若存在函数 ()得对任意 均有 ( ) ( )F x f x 或 ( ) ( )dF x f x ，则称 () () 上的不定积分，记为 ( ) ( )f x d x F x C 注：（ 1）若 ()必可积；（ 2）若 ( ), ( )F x G x 均为 () ( ) ( )F x G x C。故不定积分的表达式不唯一。 性 质 性质 1： ( ) ( )d f x d x f 或 ( ) ( )d f x d x f x d x ； 性质 2： ( ) ( )F x d x F x C 或 ( ) ( )d F x F x C ； 性质 3： ( ) ( ) ( ) ( )f x g x d x f x d x g x d x ， ,为非零常数。 计 算 方 法 第一换元 积分法 （凑微分法） 设 () 原函数为 ()() 可导，则有换元公式： ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) )f x x d x f x d x F x C 第二类 换元积 分法 设 () 单 调 、 可 导 且 导 数 不 为 零 ， ( ) ( )f t t 有 原 函 数 ()则 1( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) )f x d x f t t d t F t C F x C 分部积分法 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x v x d x u x d v x u x v x v x d u x 2 有理函数积分 若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理按情况确定。 本章 的地 位与 作用 在下一章定积分中由微积分基本公式可知 质上是求被积函数的原函数问题；后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程更是直 接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！ 课后习题全解 习题 4 知识点：直接积分法的练习 求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ (1)2路 : 被积函数 5221 ，由积分表中的公式（ 2）可解。 解： 53222 23dx x d x x (2)3 1()x 思路 :根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 1 1 41 1 13 3 32 2 213( ) ( ) 24d x x x d x x d x x d x x x 3 x (3) 22x x （ ） 思路 :根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 3 解： 2 2 32122l n 2 3d x d x x d x x C （ ） (4) ( 3)x x 思路 :根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3 1 5 32 2 2 22( 3 ) 3 25x d x x d x x d x x x C x (5) 4223 3 11xx 思路 :观察到 42 2223 3 1 1311xx x 后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解： 42 23223 3 1 13 a r c t a d x x d x d x x x C (6) 221x 思路 :注 意到 222 2 21 1 111 1 1x x ，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解： 2221 a r c t a n d x d x d x x x 注：容易看出 (5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 (7) x 341 3 4（ - + - ）2思路 :分项积分。 解： 3411 342x d x x d x d x x d x x d 341 3 4（ - + - ）22 2 31 3 4l n | | 3x x x x C (8)2 232()1 1 x 思路 :分项积分。 解：22 223 2 1 1( ) 3 2 3 a r c t a n 2 a r c s i n x d x d x x x (9) x x x 4 思路 : ？看到 1 1 1 72 4 8 8x x x x x，直接积分。 解： 7 1 5888 x x d x x d x x C (10)221(1 ) 思路 :裂项分项积分。 解：2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1( ) a r c t a n .(1 ) 1 1d x d x d x d x x x x x x x (11) 2 11解： 2 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) x x e ed x d x e d x e x (12) 3 思路 :初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。显然 33x x ） 。 解： 33 3 .l n ( 3 )xx x x ee d x e d x （ ）（ ） (13) 2 思路 :应用三角恒等式 22c o t c s c 1。 解： 22c o t ( c s c 1 ) c o tx d x x d x x x C (14) 2 3 5 23 思路 :被积函数 2 3 5 2 22533xx （ ），积分没困难。 解： 2()2 3 5 2 2 32 5 2 5 l n 2 l n 3d x d x x C （ （ ） ） (15) 2路 :若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。 解： 2 1 c o s 1 1c o s s i n 2 2d x x x C (16) 11 co s 2 思路 :应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。 解： 221 1 1 1s e c t a n .1 c o s 2 2 22 c o sd x d x x d x x Cx x (17) c o s 2c o s s 思路 :不难，关键知道 22c o s 2 c o s s i n ( c o s s i n ) ( c o s s i n )x x x x x x x 。 5 解： c o s 2 ( c o s s i n ) s i n c o s .c o s s i nx d x x x d x x x (18)22c o s 2c o s s i nx 思路 :同上题方法，应用 22c o s 2 c o s s i nx x x，分项积分。 解： 222 2 2 2 2 2c o s 2 c o s s i n 1 1c o s s i n c o s s i n s i n c o sx x xd x d x d x xx x x x x x 22c s c s e c c o t t a n .x d x x d x x x C (19) 11()思路 :注意到被积函数 2 2 21 1 1 1 211 1 1 1x x x x x x ，应用公式 (5)即可。 解：21 1 1( ) 2 2 a r c s i n xx d x d x x (20) 21 co s1 co s 2 x 思路 :注意到被积函数 22 221 c o s 1 c o s 1 1s e c1 c o s 2 2 22 c o xx x ，则积分易得。 解： 2 21 c o s 1 1 t a ns e c .1 c o s 2 2 2 2x x xd x x d x d x 2、设 ( ) a r c c o sx f x d x x C ，求 () 知识点：考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。 思路分析：直接利用不定积分的性质 1： ( ) ( )d f x d x f 即可。 解：等式两边对 x 求导数得： 2211( ) , ( )x f x f xx x x 3、设 ()求 () 知识点：仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。 思路分析：连续两次求不定积分即可。 解：由题意可知，1( ) s i n c o sf x x d x x C 所以 () 1 2c o s s i d x x C x C （ ）。 4、证明函数 21 ,2 e 是知识点：考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：只需验证即可。 6 解： 2x xe x sh x ，而 22 x x x xd d de e s h x e c h x ed x d x d x 1()2 5、一曲线通过点 2( ,3)e ，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。 知识点：属于 第 12 章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解：设曲线方程为 ()y f x ，由题意可知： 1 ( )d x， ( ) l n | |f x x C ； 又点 2( ,3)e 在曲线上，适合方程，有 23 l n ( ) , 1e C C ， 所以曲 线的方程为 ( ) | 1 .f x x 6、一物体由静止开始运动，经 t 秒后的速度是 23 ( / )t m s ，问： （ 1） 在 3 秒后物体离开出发点的距离是多少？ （ 2） 物体走完 360米需要多少时间？ 知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：求得物体 的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。 解：设物体的位移方程为： ()y f t ， 则由速度和位移的关系可得： 23 ( ) 3 ( )f t t f t t C 又因为物体是由静止开始运动的， 3( 0 ) 0 , 0 , ( )f C f t t 。 (1) 3 秒后物体离开出发点的距离为 : 3(3 ) 3 2 7f 米； (2)令 3 33 6 0 3 6 0 秒。 习题 4 1、填空是下列等式成立。 知识点：练习简单的凑微分。 思路分析：根据微分运算凑齐系数即可。 解： 2 3 41 1 1( 1 ) ( 7 3 ) ; ( 2 ) ( 1 ) ; ( 3 ) ( 3 2 ) ;7 2 1 2d x d x x d x d x x d x d x 7 22221 1 1( 4 ) ( ) ; ( 5 ) ( 5 l n | | ) ; ( 6 ) ( 3 5 l n | | ) ;2 5 51 1 1( 7 ) 2 ( ) ; ( 8 ) ( t a n 2 ) ; ( 9 ) ( a r c t a n 3 ) o s 2 1 9xx d x d xe d x d e d x d x d xd t d t d x d 2、求下列不定积分。 知识点：（凑微分）第一换元积分法的练习。 思路分析：审题看看是否需要凑微分。直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块的形式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效， 这在课外例题中专门介绍！ （ 1） 3te 思路 :凑微分。 解： 3 3 311( 3 )33t t te d t e d t e C (2) 3(3 5 )x 思路 :凑微分。 解： 33 411( 3 5 ) ( 3 5 ) ( 3 5 ) ( 3 5 )5 2 0x d x x x x C d (3) 132思路 :凑微分。 解： 1 1 1 1( 3 2 ) l n | 3 2 | 2 3 2 2d x d x x (4)3153思 路 :凑微分。 解： 1233331 1 1 1 1( 5 3 ) ( 5 3 ) ( 5 3 ) ( 5 3 ) 25 3 5 3d x d x x d x x (5) (s e 思路 :凑微分。 解： 11( s i n ) s i n ( ) ( ) c o sx x xb b x e d x a x d a x b e d a x b e Ca b a (6) 路 :如果你能看到 1( ) t 凑出 () 8 解： c o s 2 c o s ( ) 2 s i nt d t t d t t (7) 1 0 2ta n s e cx 思路 :凑微分。 解： 1 0 2 1 0 1 11t a n s e c t a n ( t a n ) t a n x d x x d x x C (8)ln ln x x思路 :连续三次应用公式 (3)凑微分即可。 解： ( l n | | ) ( l n | l n | ) l n | l n l n |l n l n l n l n l n l n l n l nd x d x d x x x x x x (9)22t a n 1 1x d 思路 :本题关键是能够看到21什么，是什么呢？就是 21 xd ！这有一定难度 ！ 解：2 2 2 22t a n 1 t a n 1 1 l n | c o s 1 |1x d xx x x x d (10)路 :凑微分。 解： 方法一：倍角公式 s i n 2 2 s i n c o sx x x 。 2 c s c 2 2 l n | c s c 2 c o t 2 |s i n c o s s i n 2d x d x x d x x x Cx x x 方法二：将被积函数凑出 函数和 导数。 22c o s 1 1s e c t a n l n | t a n |s i n c o s s i n c o s t a n t a nd x x d x x d x d x x Cx x x x x x 方法三： 三角公式 22s in c o s 1，然后凑微分。 22s i n c o s s i n c o s c o s s i ns i n c o s s i n c o s c o s s i n c o s s i nd x x x x x d x d xd x d x d xx x x x x x x x l n | c o s | l n | s i n | l n | t a n |x x C x C (11)思路 :凑微分：2 2 21 1 1 ( )x x xx x x x xd x e d x d e d ee e e e e 。 解：22 a r c t a ( )xx xx x x xd x e d x d e e e e (12) 2)x x 9 思路 :凑微分。 解： 2 2 2 211c o s ( ) c o s s i x d x x d x x C (13)223思路 :由 222 2 21 1 ( 2 3 )262 3 2 3 2 3x d x d x d xx x x 凑微分易解。 解： 12 2 2 22221 ( 2 3 ) 1 1( 2 3 ) ( 2 3 ) 2 36 6 32 3 2 3x d x d x x d x x (14) 2c o s ( ) s i n ( )t t d t 思路 :凑微分。 解： 2 2 211c o s ( ) s i n ( ) c o s ( ) s i n ( ) c o s ( ) c o s ( )t t d t t t d t t d t 31 c o s ( ) .3 (15) 3431 x 思路 :凑微分。 解： 33 4 4 44 4 4 43 3 4 3 1 3 1 3( 1 ) l n | 1 | 4 41 1 1 1x d x d x d x x Cx x x x (16)3x 思路 :凑微分。 解：3 3 2s i n 1 1 1c o s o s c o s c o sx d x d x Cx x x (17) 9202x 思路 :经过两步凑微分即可。 解： 9 1 0 1 0102 0 2 0 1 021 1 1 1 1 a r c s i n ( )1 0 1 0 1 02222 1 ( )2x x xd x d x d Cx x x (18) 2194x 思路 :分项后分别凑微分即可。 解：2 2 2119 4 9 4 9 4x d x d xx x x 10 22222221 1 2 1 142 3 82 94131 1 2 1 1942 3 82 94131 2 1a r c s i n ( ) 9 4 4xd d xx d xx （ ）（ ）（ ） (19) 221 思路 :裂项分项后分别凑微分即可。 解：21 1 1()2 1 2( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 1 2 1d x d x x x x 1 1 1( ) 22 2 2 1 2 11 1 1 1 1 2 1( 2 1 ) ( 2 1 ) l n 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1x d x Cx x x (20)2(4 5 ) 思路 :分项后分别凑微分即可。 解：2 2 21 4 5 4 1 1 14 ( 4 5 )( 4 5 ) 5 ( 4 5 ) 2 5 4 5 ( 4 5 )x d x x d x d xx x x x （ ） （ ） 21 1 4 1 1 4 1( 4 5 ) ( 4 5 ) l n | 4 5 | 4 5 2 5 2 5 2 5 4 5( 4 5 )d x d x x x (21) 2100( 1)x 思路 :分项后分别凑微分即可。 解： 2 2 21 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0( 1 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1( 2 )( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )x d x x d x x x x x x x 9 8 9 9 1 0 01 1 1( 2 ) ( 1 )( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) x x 9 7 9 8 9 91 1 1 1 1 1 ( 1 ) 4 9 ( 1 ) 9 9 ( 1 ) Cx x x (22)8 1 思路 :裂项分项后分别凑微分即可。 解：28 4 4 4 4 4 41 1 1 1 1 1( ) ( )241 ( 1 ) ( 1 ) 1 1 1 1x d x x d x x d x d xx x x x x x x 11 2 2 22 2 4 2 22222 2 21 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( 1 ) ( 1 ) 4 2 81 1 1 1 11 1 1 1 1l n | | a r c t a n 4( ) 1 1d x d x d xx x x x x x (23) 3 思路 :凑微分。 c o s s d x 。 解： 3 2 2 2c o s c o s c o s c o s s i n ( 1 s i n ) s i nx d x x x d x x d x x d x 31s i n s i x C (24) 2c o s ( )t 思路 :降幂后分项凑微分。 解： 2 1 c o s 2 ( ) 1 1c o s ( ) c o s 2 ( ) 2 ( )2 2 4tt d t d t d t t d t 11 s i n 2 ( )24t t C (25) s c o s 3x 思路 :积化和差后分项凑微分。 解： 1 1 1s i n 2 c o s 3 ( s i n 5 s i n ) s i n 5 5 s i 0 2x x d x x x d x x d x x d x 11c o s 5 c o 2x x C (26) s s x 思路 :积化和差后分项凑微分。 解： 1 1 1s i n 5 s i n 7 ( c o s 2 c o s 1 2 ) c o s 2 2 c o s 1 2 ( 1 2 )2 4 2 4x x d x x x d x x d x x d x 11s i n 2 s i n 1 2 4x x C (27) 3 思路 :凑微分 t a n s e c s e cx x d x d x 。 解： 3 2 2 2t a n s e c t a n t a n s e c t a n s e c ( s e c 1 ) s e cx x d x x x x d x x d x x d x 23 1s e c s e c s e c s e c s e d x d x x x C (28) 思路 :凑微分21 ( a r c c o s )1 d x d 。 解： a r c c o s a r c c o sa r c c o 1 01 0 a r c c o s .l n 1 01x d x (29)22( a r c s i n ) 1 12 思路 :凑微分21 ( a r c s i n )1 d x d 。 解：222a r c s i n 1a r c s i n( a r c s i n )( a r c s i n ) 1d x d x (30) )x 思路 :凑微分2a r c t a n 2 a r c t a n 2 a r c t a n ( a r c t a n )( 1 ) 1 ( )x d x x d xx x x。 解：2a r c t a n 2 a r c t a n 2 a r c t a n ( a r c t a n )( 1 ) 1 ( )x d x x d xx x x 2( a r c t a n ) (31) ln ta nc o s s 路 :被积函数中间变量为 故须在微分中凑出 即被积函数中凑出 2x ， 22l n t a n l n t a n l n t a n l n t a ns e c t a nc o s s i n t a n t a nc o s t a nx x x xd x d x x d x d xx x x 21l n t a n ( l n t a n ) ( ( l n t a n ) )2x d x d x 解：2l n t a n l n t a n l n t a n t a n l n t a n ( l n t a n )c o s s i n t a nc o s t a nx x xd x d x d x x d xx x 21 ( l n t a n )2 (32)21 x 思路 : ( l n ) (1 l n )d x x x d x 解：221 l n 1 1( l n ) l n ) ( l n )x d x d x x x x x (33)1 解：方法一： 思路 :将被积函数的分子分母同时除以 则凑微分易得。 11( ) ( 1 ) l n | 1 |1 1 1 1x x x xx x x xd x e d x d e d e e Ce e e e 方法二： 思路 :分项后凑微分 1 11 1 1x x xx x xd x e e ed x d x d xe e e 1 (1 )1 d l n | 1 | l n ( | 1 | )x x xx e C x e e C ( l n l n | 1 | )e e C l n | 1 | 13 方法三： 思路 : 将被积函数的分子分母同时乘以 裂项后凑微分。 1 1 1l n (1 )1 (1 ) (1 ) 1 1xx x x xx x x x x x x xd x e d x d e d e e d ee e e e e e e e l n | 1 |xx e C l n | 1 | (34)6( 4) 解：方法一 : 思路：分项后凑积分。 6 6 56 6 6 61 4 1 4 1 1( 4 ) 4 ( 4 ) 4 ( 4 ) 4 4d x d x x x d x x x x x x x x x 6 661 1 ( 4 ) 1 1l n | | l n | | l n | 4 |4 2 4 4 4 2 4x x 方法二：思路 :利用第二类换元法的倒代换。 令 1则21dx 。 666 2 6 66661 1 ( 4 ) 1 ( 4 1 )()1 2 4 2 4( 4 ) 1 4 1 441 1 4l n (1 4 ) l n (1 ) 2 4d x t d t d x t t (35)82(1 ) 解：方法一 : 思路：分项后凑积分。 8 8 2 2 48 2 8 2 8 2 21 (1 ) (1 ) (1 )(1 ) (1 ) (1 ) 1d x x x x x x d xd x d xx x x x x x x 2 4 681( 1 ) ( 1 )x x x d x x8 6 4 2 21 1 1 1 1() 1d x d xx x x x x 7 5 31 1 1 1 1 1 3 2 1 x Cx x x x x 方法二： 思路 : 利用第二类换元法的倒代换。 令 1则21dx 。 14 886428 2 2 2 2211( ) ( 1 )1(1 ) 1 11d x t td t d t t t t d tx x t t 6 4 2 6 4 227 5 3751 1 1 1( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )2 1 111 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1l n | | l n | |7 5 3 2 1 7 5 3 3 2 1t t t d t d t t t t d t d t t t C Ct x x 3、求下列不定积分。 知识点：（真正的换元，主要是三角换元）第二种换元积分法的练习。 思路分析：题目特征是 中有二次根式，如何化无理式为有理式？三角函数中，下列二恒等式起到了重要的作用。 2 2 2 2s i n c o s 1 ; s e c t a n 1 .x x x x 为保证替换函数的单调性，通常将交的范围加以限制，以确保函数单调。不妨将角的范围统统限制在锐角范围内，得出新变量的表达式，再形式化地换回原变量即可。 (1)211思路 :令 s 2x t t ，先进行三角换元，分项后，再用三角函数的升降幂公式。 解：令 s 2x t t ，则 。 22 2c o s s e c1 c o s 1 c o s 2 211 2 c o x t d t d t d t t td t t t 2t a n a r c s i n 1 x （或 211a r c s i n ） （万能公式 s i n 1 c o st a c o s s i nt t ，又 时， 2） (2) 2 9x 思路 :令 3 s e c , ( 0 , )2x t t ，三角换元。 解：令 3 s e c , ( 0 , )2x t t ，则 3 s e c ta t 。 22229 3 t a n 3 s e c t a n 3 t a n 3 ( s e c 1 )3 s e t a n 3 9 3 a r c c o s .|x t t d t t d t t d t C x （ 3时， 223 9 9c o s , s i n , t a x ） (3)23( 1) 15 思路 :令 ta n ,2x t t ，三角换元。 解：令 ta n ,2x t t ，则 2。 232 3 2s e c c o s s i ns e cs e c( 1 ) 1d x t d t d t xt d t t C (4)2 2 3()思路 :令 a t a n ,2x t t ，三角换元。 解：令 t a n ,2x a t t ，则 2a 。 23 3 2 2 22 2 32 2 2s e c 1 1c o s i ns e c s e c().d x a t d t d t t d t s t Ca t a t a a a x (5) 2411x 思路 :先令 2，进行第一次换元；然后令 ta n ,2u t t ，进行第二次换元。 解： 22 24 2 41 1 1211x d xx x x x，令 2得： 2421 1 1211x d ux x u u，令 ta n , 2u t t ，则 2， 2242242 4 221 1 1 1 t a n 1 1 t a n 1s e c s e t a n s e c 2 t a 1( c s c s e c ) l n s e c t a n l n c s c c o 21 1 1 1 1 1 1 1l n 1 l n l n 1 l n 2 2x u t td x d u t d t t d tt t tx x u ut t d t t t t t u C x x Cu u x （与课本后答案不同） (6) 254x x d x 思路 :三角换元，关键配方要正确。 解： 225 4 9 ( 2 )x x x ，令 2 3 s i n ,2x t t ，则 3 。 2221 c o s 2 15 4 9 c o s 9 9 ( s i n 2 )2 2 49 2 2a r c s i n 5 4 2x d x t d t d t t x x C 4、求一个函数 ()满足 1() 1fx x ，且 (0) 1f 。 思路 :求出 11 x的不定积分，由条件 (0) 1f 确定出常数 C 的值即可。 16 解： 11 ( 1 ) 2 1 .d x d x x 令 ( ) 2 1f x x C ，又 (0) 1f ，可知 1C ， ( ) 2 1 1 .f x x = 5、设 ta n ,，求证： 1t a n1 x ，并求 5。 思路 :由目标式子可以看出应将被积函数 分开成 22，进而写成： 2 2 2 2 2t a n ( s e c 1 ) t a n s e c t a nn n nx x x x x ，分项积分即可。 证明： 2 2 2 2 2 2t a n ( t a n s e c t a n ) t a n s e c t a nn n n n x d x x x x d x x x d x x d x 21225 4 4 25 3 14 2 4 21t a n t a n t a n 15 t a n t a n t a n t a 21 1 1 1t a n t a n t a n t a n t a n l n c o s 4 2d x I x x d x x I x x Ix x x d x x x x C 时 ，习题 4、 求下列不定积分： 知识点：基本的分部积分法的练习。 思路分析：严格按照反、对、幂、三、指顺序，越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分。的原则进行分部积分的练习。 （ 1） 思路 :被积函数的形式看作 0 按照反、对、幂、三、指顺序，幂函数0x 优先纳入到微分号下，凑微分后仍为 解：2221 1 1a r c s