四川省自贡市2017届高三第一次诊断性考试理数试题含答案解析

四川省自贡市 2017 届高三第一次诊断性考试 理数试题 第 卷（选择 题 共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项 是符合题目要求的 . 1. 已 知集合 30 1 03xA x B x ， 则 ） A 1 3， B 1 3， C 3 ， D 3 3 ， 【答案】 B 考点： 2. 已 知复 数 11， 则 z 在 复平面内对应的点在（ ） A第 一象限 B第二 象限 C第 三象限 D第四 象限 【答案】 A 【解析】 试题分析： 1 1 1 11 ( 1 ) ( 1 ) 2 2iz i i ii i i ,该复数对应的点为 11( , )22Z，在第一象限，故选 A. 考点： 3. 已 知函数 义域为 R ， M 为 常数 .若 p ： 对 ， 都有 f x M ； q ： M 是函数 小值，则 p 是 q 的 （ ） A充分 不必要条件 B必要 不充分条件 C充 要条件 D既 不充分也不必要条件 【答案】 B 【解析】 试题分析： 对 ， 都有 f x M / M 是 函数 小值 , M 是 函数 小值 对 ， 都有 f x M ,所以 p 是 q 的必要不充分条件，故选 B. 考点： 4. 如果1 2 8 a a a， ， ，为 各项都 大于零的等差数列，公差 0d ， 则（ ） A1 8 4 5aa a aB1 8 4 5aa a a 4 5a a a a D1 8 4 5aa a a【答案】 B 考点：等差数列的性质 . 5. 已 知 24c o s 03 5 2 ， 则 s i n s i 等于 （ ） A 435B 335435【答案】 A 【解析】 试题分析：因为 24c o ，所以1 3 1 1s i n s i n s i n c o s s i n 3 c o s s i 2 2 2 2 2 4 33 c o s 3 c o s 3 c o 3 5 ，故选 A. 考点：三角恒等变换与诱导公式 . 6. 已 知集合 5 1 2 1 3 4A B C ， ， ， ， ， 从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系上的坐标，则确 定的不同点的个数为（ ） A 6 B 32 D 34 【答案】 A 【解析】 试题分析：不 考虑限定 条件 确定的不同点的个数为 1 1 32 3 3 36C C A ， 但集合 B ， C 中 有相同元素 1， 由 5， 1， 1 三 个数确定的不同点的个数只有三个，故所求的个数为： 36 3 33 个 ,故选 A. 考点： 计数 原理与分步计数原理； 7. 设 322l o g 1f x x x x ， 则对任意实数 ， 若 0 ， 则（ ） A 0f a f b B 0f a f b C. 0f a f b D 0f a f b 【答案】 B 考点：函数的奇偶性与单调性 . 8. 某 企业节能降耗技术改造后， 在 生产某产品过程 中 记录的产量 x （ 吨）与相应的生产能耗 y （ 吨）的几组对应数据如下表所示： x 3 4 5 6 y 3 4 a 若根据 表中数据得出 y 关 于 x 的 线性回归方程为 ， 则表中 a 的 值为（ ） A 3 B D 【答案】 D 【解析】 试题分析： a y ， 由回归方程： 2 . 5 3 4 3 4 5 60 . 3 5 0 . 7 0 . 744 ，解之 得 ,故选 D. 考点： 线性回归 . 9. 将 函数2 s 6的 图象向右平移 14个 周期后，所得图象对应的函数为 则函数 调递增区间（ ） A 51 2 1 2k k k Z ，B 5 1 11 2 1 2k k k Z ，C. 572 4 2 4k k k Z ，D 7 1 92 4 2 4k k k Z ，【答案】 A. 【解析】 试题分析：函数 2 s 6的周期 T ，所以44T ， 函数 2 s 6的 图象向右平移4后所得函数的解析式为 ( ) 2 s i n 2 ( ) 2 s i n ( 2 )4 6 3f x x x ，由2 2 2 ( )2 3 2k x k k Z 得函数 ()5 1 2 1 2k k k Z ， ,故选 A. 考点： 10. 已 知 0 1 2a ， ， ， 1 1 3 5b ， ， ， ， 则函数 2 2f x ax 在 区间 1 ， 上为增函数的概率是（ ） A 512B 16【答案】 B 考点： 【名师点睛】本题考查一次函数与二次函数的性质、古典概型，属中档题；求解古典概型问题的关键是找出样本空间中的基本事件数及所求事件包含的基本事件数，常用方法有列举法、树状图法、列表法等，所求事件包含的基本事件数与样本空间包含的基本事件数的比值就是所求事件的概率 . 11. 若 正整数 N 除 以正整数 m 后 的余数为 n ， 则记为 m n m ， 例如 10 2 程序框图的算法源于我国古代闻名中外的中国剩余定理 输出的 n 等于 （ ） A 20 B 21 D 23 【答案】 C 考点：程序框图 . 【名师点睛】本题考查程序框图，属中档题； 识别运行算法流程 图和完善流程图 是高考的热点解答这一类问题，第一，要明确流程图的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行流程图，理解框图所解决的实际问题；第三，按照题目的要求完成解答对流程图的考查常与数列和函数等知识相结合，进一步强化框图问题的实际背景 12. 设 函数 31xf x e x a x a ， 其中 1a ， 若有且只有 一个整数0 0 0则 a 的 取值范围是（ ） A 234e，B 234e，C. 21e，D 21e，【答案】 D 【解析】 试题分析：设 31xg x e x， h x ax a， 则 3 2xg x e x， 23x ， 0， 2 3x ， ， 0， 增，所以 23x 处取得最小值 233e， 所以 0 1 0g a h ， 1 1 2 0g h e ， 直线 h x ax a恒过 定点 1 0， 且 斜率为 a ， 所以 11 1 4 2 0eg h a ， 2 1a ， a 的 取值范围 12e，考点： 值； 等式 . 【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、极值，函数与方程、不等式，属难题；导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，主要考查证明不等式、不等式恒成立或不等式恒成立求参数范围等 问题，证明不等式可通过构造两个函数 的差函数，证明差函数恒大于 0（或小 于 0 ）证明，利用导数解决不等式恒成立问题时，首先要构造函数，利用导数研究所构造函数的单调性、最值，进而得到 相应的含参不等式，求出范围即可 . 第 卷（非 选择题 共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 在 边长为 1 的 正三角形 ， 设 2 3B C B D C A C E， ， 则 E 【答案】 14 考点：向量线性运算与数量积的几何运算 . 14. 设 实数 满足 703 1 03 5 0 ，则 2z x y的 最小值为 【答案】 8 【解析】 试题分析：作 出不等式 组 703 1 03 5 0 表示 的平面区域如图： 根据 图形得：当直线 2z x y经 过点 B 时 z 取得 最大值， 由 703 1 0 解 得： 5 2B ， ， m a x 5 2 2 8z . 考点：线性规划 . 15. 已 知 一 个多面体的三视图如图所 示 ： 其中正视图与侧 视 图都是边长为 1 的 等腰直角三角形，俯视图是边长为 1 的 正方形，若该多面体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 【答案】 3 考点 :三视图 . 【名师点睛】本题考查三视图，属基础题；解三视图相减问题的关键在于根据三视图还原几何体，要掌握常见几何体的三视图，比如三棱柱、三棱锥、圆锥、四棱柱、四棱锥、圆锥、球、圆台以及其组合体，并且要弄明白几何体的尺寸跟三视图尺寸的关系；有时候还可以利用外部补形法，将几何体补成长方体或 者正方体等常见几何体 16. 设 数 数， 数 数， 若 方程 0有 实数解0x， 则称点 00 x f x，为 函数 点，某同学经过探究发现：任何一个三次函数 32 0f x a x b x c x d a 都 有 拐 点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数 323 4 2g x x x x ， 利用上述探究结果 计算 ： 1 2 3 1 91 0 1 0 1 0 1 0g g g g 【答案】 76 考点： 【名师点睛】本题考查新定义问题、导数的运算、函数的对称性 ，属难题；解决新定义问题首先要对新概念迅速理解，并学以致用，本题注意经过两次求导得到的零点为函数的拐点，也是函数的对称中心，再就是对函数中 心对称的性质在掌握，即若函数 () , )中心对称，则 ( 2 ) ( ) 2f a x f x b . 三、解答题 （ 本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17. （本小题满分 12 分） 在 中 ， A B C， ， 的 对边分别为 a b c， ， ， 83， 的 面积为 10 3 . （ ） 求 c 的 值； （ ） 求 C 的 值 . 【答案】（ ） 7c ；（ ） 1314. 【解析】 试题分析：（ ） 由 1 s i n 1 0 32a b C 可求边 a ，再由余弦定理可求边 c ；（ ） 由由 （ ） 已知三角形三边，则余弦定理可求 由同角三角函数基本关系求出 利用两角差余弦公式求之即可 . 试题解析：（ ） 已 知3C ， 8b ， 因为 1 s a b C， 即 11 0 3 5 8 s i ， 解得 5a ， 由 余弦定理得： 2 2 2 2 c o s 4 9c b a a b C 解 得 7c （ 6 分 ） （ ） 由 （ ） 得 2 2 2 4 9 2 5 6 4 1c o 0 7a c bB ， 由 于 B 是 三角形的内角，得2 43s i n 1 c o s 7 ， 所 以 4 3 3 1 1 1 3c o s c o s c o s s i n s i 7 2 7 2 1 4B C B B （ 12 分 ） 考点： 18. （本小题满分 12 分） 已 知数列 差为 2 的 等差数列，数列 2， 若 *时，11n n n na b b . （ ） 求 项公式； （ ） 设n n nc 求 n 项 和【答案】（ ） 112；（ ） 111 0 42 . 试题解析：（ ） 由 数列 2，1n n n na b b ， 当 1n 时，1 2 2 1a b b b， 即1113 322 ， 又 因为数列 差为 2 的 等差数 列，所以 21（ 3 分 ） 由 21得 1121 n n nn b b n b ， 化 简得：12 ， 即1 12 ， 即 数列 1 为 首项，以 12为 公比的等比数列， 所 以 112. （ 6 分 ） 考点： 比数列的定义与性质； 【名师点睛】本题考查等差数列、等比数列的定义与性质以及错位相减法求和，属中档题；，本题易错点在于错位相减后求和时，弄错数列的项数 . 本题在考查等差数列、 等比数列等基础知识的同时，考查考生的计算能力 ,本题是教科书及教辅材料常见题型，能使考生心理更稳定，利于正常发挥 . 19. （本小题满分 12 分） 甲、 乙两位射击运动员，在某天训练 中 已各射击 10 次 ，每次命中的环数如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 （ ） 通过 计算估计，甲、乙二人的射击成绩谁更稳 ； （ ） 若 规定命中 8 环 及以上环数为优秀，以频率作为概率，请依据上述数据估计，求甲在第 11 至 第 13 次 射击中获得优秀的次数 的 分布列和期望 . 【答案】（ ）乙比甲的射击成绩稳定 ；（ ） 的 分布列： 0 1 2 3 P 2712554125361258125 （ ） 由 题意得： 甲 运动员 命中 8 环 及以上的概率为 25p， 则 甲在第 11 至 13次 射击中获得优秀次数的情况为 取得 0 1 2 3， ， ， ， 3 3 3 2 705 5 5 1 2 5P ； 13 2 3 3 5 41 5 5 5 1 2 5 ， 223 2 3 3 62 5 5 1 2 5 ， 3283 5 1 2 5P . 的 分布列： 0 1 2 3 P 2712554125361258125 4 3 6 8 8 40 1 2 3 0 . 6 7 21 2 5 1 2 5 1 2 5 1 2 5E （ 12 分 考 点：离散型随机变量的概率分布列、期望与方差 . 【名师点睛】本题考查离散型随机变量的概率分布列、期望与方差，属中档题；离散型随机变量的概率分布列、期望与方差一 直都是高考命题的热点，试 题 的背景由传统的摸球，骰子问题向现实生活中的热点问题转化，并且与统计的联系越来越密切，与统计中的抽样，频率分布直方图等基础知识综合的试题逐渐增多，在复习时应予以关注 . 20. （本小题满分 12 分） 如图 ，三棱柱1 1 1 B C中 ，侧 面11A A C C A B C 底 面，11 2A A A C A C ， C 且C . C 1B 1（）求证 ：1B； （ ） 求 二面角1A 的 余弦值 . 【答案】（ ） 见解析；（ ） 77. 【解析】 试题分析：作 中点 O ， 因为11C， 且 O 为 中点 可得1C，又 侧面11面 由此可证1面 以 O 为坐标 原点， 1直线分别为 x y z， ， 轴 建立空间直角坐标系 .（ ） 写出相应点的坐标，求出1C ， 由1 0A B 可证1C；（ ） 求出 平面1向量 与 平面1向量 ，由向量知识求即可 . 试题解析：（ ） 作 中点 O ， 因为11C， 且 O 为 中点， 1C， 又 侧面11A A C C A B C 底 面， 其交线为 且1 1 1A O A A C C 平 面， 1A O 底 面（ 2 分 ） 以 O 为坐标 原点， 1直线分别为 x y z， ， 轴 建立空间直角坐标系 ： 由 已 知得： 0 0 0O ， ， ， 0 1 0A ， ， ， 1 0 0 3A ， ， 0 1 0C ， ， ， 1 0 2 3C ， ， 1 0 0B ， ， ， 则有： 1 1 0 3， ， ， 0 2 0 ， ， ， 1 0A B ， 1C（ 6 分 ） 面与平面垂直的判定与性质； 21. （本小题满分 12 分） 已知 函数 121 1 0 2xf x f e f x x f x 是 数， e 为 自然对数的底数） ， 21 2g x x a x b a R b R ，. （ ） 求 析式及极值； （ ） 若 f x g x ， 求 12 最大值 . 【答案】（ ） 212xf x e x x ； ()(0)2f ，无极小值；（ ）4e. 试题解析：（ ） 由 已知得 1 1 0xf x f e f x ， 令 1x ， 得 1 1 0 1f f f ， 即 01f （ 1 分 ） 又 10 1， 从而 212xf x e x x （ 2 分 ） 1xf x e x ， 又 1xf x e x 在 R 上 递增， 且 0 0f ， 当 0x 时， 0； 0x 时， 0， 故 0x 为 极值点， 302f （ 2 分 ） （ ） 21 102 xf x x a x b h x e a x b 得 1xh x e a ， 当 10a 时， 0h x y h x 在 上 单调递增， x 时， 与 0相 矛盾； 考点： 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22. （本小题满分 10 分）选修 4标系与参数方程 在 平面 直角 坐标系中，直线 l 的 参数方程为312352 （ 其中 t 为 参数） ， 现以坐标原点 为极点， x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的 极坐标方程为 4 . （ ） 写 出直线 l 和 曲线 C 的 普通方程； （ ） 已 知点 P 为 曲线 C 上 的动点，求 P 到直线 l 的 距离的最小值 . 【答案】（ ） 直线 l 的