湖北省八校2017届高三第二次联考数学试题（文）含答案

鄂南高中 华师一附中 黄冈中学 黄石二中 荆州中学 孝感高中 襄阳四中 襄阳五中 2017届高三第二次联考 文 科 数 学 试 题 命题学校：荆州中学 命题人：谢 俊 魏士芳 张 静 审题人：周金林 万莲艳 第卷 一 、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分， 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . (1)已知全集 U=2， 3， 4， 5， 6， 7，集合 A=4,5,7， B=4,6，则 A（ =（ ） A. 5 B. 2 C. 2, 5 D. 5, 7 (2)复数 z 与复数 (2 )互为共轭复数（其中 i 为虚数单位），则 z （ ） A. 12i B. 12i C. 12i D. 12i (3)已知直线 50 与两坐标轴围成的区域为 M ，不等式组 0 5 3所形成的区域为N ，现在区域 M 中随机放置一点，则该点落在区域 N 的概率是（ ） A. 34B. 12C. 14D. 2(4)如图所示的程序框图中，输出的 S 的值是（ ） A. 80 B. 100 C. 120 D. 140 (5)已知双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy 与抛物线 )0(22 = 有相同的焦点 F ，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点 ( 3 ) ， 1532 ，则双曲线的离心率为（ ） A. 22B. 33C. 25D. 5 (6)已知 面积为 35 ，6A , 5=则 = ） A. 23 B. 62 C. 23 D. 13 否 第 4 题图 输出 S 结束 S 100? 开始 S=1， a=2 a= a +1 S=S a 是 (7)已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ） A. 60 12 B. 60 6 C. 72 12 D. 72 6 (8)为得到函数 的图象，只需将函数 s 2 )4的图象（ ） A. 向右平移4个单位 B. 向左平移4个单位 C. 向右平移8个单位 D. 向左平移8个单位 (9)函数 23l n ( 4 4 )()( 2 )的图象可能是（ ） A B C D (10)已知函数 ( ) 2 1 ,xf x x 2( ) l o g 1 ,g x x x 2( ) lo g 1h x x的零点依次为 , ） A. B. C. D. (11)如图，在长方体1 1 1 1A B C D A B C D中，1 6 , 3 , 8A A A B A D ，点 M 是棱 中点，点 N 在棱 1，且满足 12A ， P 是侧面四边形 11内一动点 (含边界 )，若1面 则线段1 ） A. 17,5 B. 4,5 C. 3,5 D. 3, 17 (12)已知函数 上的导函数为 ，若方程 0 无解 ,且( ) 2 0 1 7 2 0 1 7 ,xf f x当 s i n c o sg x x x k x 在 ,22上与 上的 单调性相同时，则实数 k 的取值范围是 （ ） A. ,1 B. ,2 C. 1, 2 D. 2, 第 第 11 题图 第 16 题 图 本卷包括必考题和选考题两部分 13)题第 (21)题为必考题，每个试题考生都必须作答 22)题第 (23)题为选考题，考生根据要求作答 . 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分 . (13)已知 ( c o s , s i n ) , ( 3 , 1 ) ,22n x R ，则 的最大值是 . (14)已知圆的方程 22( 2 ) 1 ，过圆外一点 )43(，P 作一条直线与圆交于 ,么 B . (15)已知函数 xf x x m e （其中 e 为自然对数的底数），曲线 y f x 上存在不同的两点， 使得曲线在这两点处的切线都与 y 轴垂直，则实数 m 的取值范围是 . (16)祖暅（公元前 5 6世纪）是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子 出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积， “势”指高这句话的意思是：两个等高的几何体若 在所有等高处的水平截面 的面积相等，则这两个几何体体积相等 22 10yx 所 围成的平面图形绕 y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（如图）（称为椭球 体），课本中介绍了应用祖 暅原理 求球体体积公式的做法 ， 请类比此法，求出 椭球体体积，其体积等于 _ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . (17)（本小题满分 12 分） 在等差数列 ,26,683 aa n 项和，且1 1 2 31 , 4 , 3 , 2b S S S成等差数列 . （）求数列 nn 的通项公式； （）设 ,求数列 n 项和(18)（本小题满分 12 分） 如图，在三棱锥 A 中， 2,A D D C ,C ,B 4，平面 平面 , 为 中点 . 第 18 题 图 （）求证： 平面 （）求直线 平面 成角的正弦值 . (19)（本小题满分 12分） 传承传统文化再掀热潮，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的中国诗词大会火爆荧屏。将中学组和大学组的参赛选手 按成绩分为优秀、良好、一般三个等级，随机从中抽取了 100名选手进行调查，下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图 . （）若将一般等级和良好等级合称为合格等级，根据已知条件完成下面的 2 2列联表，并据此资料你是否有 95的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关？ 优秀 合格 合计 大学组 中学组 合计 注： 22 ()( ) ( ) ( ) ( )n a d b cK a b c d a c b d ，其中 n a b c d . 2 0()P k k ）若参赛选手共 6万人，用频率估计概率，试估计其中优秀等级的选手人数； （）在优秀等级的选手中取 6名，依次编号为 1， 2， 3， 4， 5， 6，在良好等级的选手中取 6名，依次编号为 1， 2， 3， 4， 5， 6，在选出的 6名优秀等级的选手中任取一名，记其编号为 ,a 在选出的 6名良好等级的选手中任取一名，记其编号为 b ，求使得方程组 322ax 有唯一一组实数解 ( , )概率 . (20)（本小题满分 12分）已知抛物线 2: 2 0C y p x p的焦点 F 与椭圆 2 2:12x y 的一个焦点 重合，点 0,2焦点 F 的直线 l 交抛物线于 , （）求抛物线 C 的方程以及 值； （）记抛物线 C 的准线与 x 轴交于点 H ，试问是否存在常数 R ，使得 B且 2285| | | |4H A H B都成立 ？若存在，求出 实数 的值； 若不存在，请说明理由 . (21)（本小题满分 12 分）已知函数 221( ) ( ) l x a x a b x a x ( , )a b R. （）当 1b 时，求函数 () （）当 1, 0 时，证明： 21( ) 12xf x e x x （其中 e 为自然对数的底数） . 请考生在 22、 23两题中任选一题作答 ,如果多做 ,则按所做的第一题计分 . (22)（本小题满分 10 分） 已知过点 ( ,0)直线 l 的参数方程是3212x t （ t 为参数），以平面直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为4 . （）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （）若直线 l 与曲线 C 交于 ,问是否存在实数 a ，使得 6P A P B且4？若存在，求出实数 a 的值；若不存在，说明理由 . (23)（本小题满分 10 分） 已知函数 , 0 1() 1,1 ( ) ( ) 1g x a f x x . （）当 0a 时，若 2)( 对任意 ,0x 恒成立，求实数 b 的取值范围； （）当 1a 时，求 )(最大值 . 2017届高三第二次八校联考数学（文） 参考答案 一、选择题： 1 6 7 12 2. 解析：若方程 0 无解，则 00f x f x或 恒成立 ,所以 上的单调函数， 都有 ( ) 2 0 1 7 2 0 1 7 ,xf f x则 2017为定值，设 2017 xt f x,则 2017 xf x t ，易知 上的 增函数， c o s s i n 2 s i n 4g x x x k x k 又 调性相同，所以 22上单调递增，则当 ,22x ， 0 恒成立，当 ,22x 时3,4 4 4x 2s i n , 142x , 2 s i n 1 , 24x ,此时 k 二、填空题 13. 3 14. 16 15. 20,e 16. 243 线存 在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与 y 轴垂直，等价于 函数 价于方程 0 有两个不同的实根 . 令 0x m e x e ，得： 1e 令 1e ，则条件等价于直线 与 曲线 y g x 有两个不同的交点 . 2 1 2xx x e 当 2x 时， 0 ；当 2x 时， 0 ；当 2x 时， 0 ； 从而当 2x 时有最大值 22 ， ,2 上递增，在 2, 上递减 . 当 x 时， ；当 x 时， 0；如右图所示，从而 20, 16. 解析：椭圆的长半轴为 a ，短半轴为 b ，现构造两个底面半径为 b ，高为 a 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积 V=2（ V 圆柱 V 圆锥 ） = 2 2 214233b a b a b a 故答案为： 243 三、解答题 17. 解（ 1 ）83 5 2 6 6 2 0a a d 公差 4d 3 ( 3 ) 4 6na a n d n 2分 又2 1 36 4 2S S S. 即1 2 1 1 2 33 ( ) 2b b b b b b 322则公比 2q 12 4分 （ 2） 14 6 2 2 3 2n n 5分 1当 1n 时， 2 3 0n ， 1 2T 6分 2 当 2n 时， 2 3 0n ， ( 2 3 ) 2 ，2 3 42 1 2 3 2 5 2 ( 2 3 ) 2 3 4 12 4 1 2 3 2 ( 2 3 ) 2 3 4 12 2 ( 2 2 2 ) ( 2 3 ) 2 8分 32 12 ( 1 2 )2 2 ( 2 3 ) 212n 11 4 ( 5 2 ) 2 1( 2 5 ) 2 1 4 10 分 当 1n 时，满足上式 1( 2 5 ) 2 1 4 12分 1） 2A D D C 且 C 22A C C B ，又 4 满足 2 2 2A C B C A B C 4分 平面 平面 平面 平面 面 C 平面 6分 （ 2）取 点 N 连 在 中， C 且 2，又平面 平面 平面 在 中， 12M N 由（ 1）知 平面 则 平面 又 平面 N，即 22 2D M D N M N ， 8分 在 中， 2 2 , 4 2A C B C A B C M ， 3 434D M 10 分 设点 A 到平面 距离为 h ，则由A D M C D A M 得 1133D M C A M CS h S D N 解得 263h ，设 平 面 成角为 ，则 2 6 63s i 直线 平面 成角正弦值为 63. 12分 19.（ 1）由条形图可知 2 2列联表如下 优秀 合格 合计 大学组 45 10 55 中学组 30 15 45 合计 75 25 100 22 1 0 0 ( 4 5 1 5 1 0 3 0 ) 1 0 0 3 . 0 3 0 3 . 8 4 17 5 2 5 4 5 5 5 3 3K （ 4分） 没有 95的把握认为优秀与文化程度有关 .（ 5分） （ 2）由条形图知，所抽取的 100人中，优秀等级有 75人，故优秀率为 75 3100 4. 所有参赛选手中优秀等级人数约为 36 万人 .（ 8分） （ 3） a 从 1， 2， 3， 4， 5， 6中取， b 从 1， 2， 3， 4， 5， 6中取，故共有 36 种， 要使方程组 322ax 有唯一组实数解，则 12共 33种情形 . 故概率 33 1136 12P .（ 12分） 1）依题意，椭圆 2 2:12x y 中， 222, 1，故 2 2 2 1c a b ，故 1, 0F ，故 12p，则 24p ，故抛物线 C 的方程为 2 4，将 0,2 4，解得0 1x ， 故 122 . 4分 （ 2）（法一）依题意， 1,0F ,设 :1l x ，设 1 1 2 2, , ,A x y B x y， 联立方程 2 41，消去 x ，得 2 4 4 0y . 121244y y 且 112211x ，又 B 则 1 1 2 21 , 1,x y x y ，即 12 ，代人 得 222144 ， 6分 消去 2y 得 2 142t ，且 1,0H ， 8分 222 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2 1 2| | | | 1 1 2 2H A H B x y x y x x x x y y 则 22 221 2 1 2 1 21 1 2 2 2t y t y t y t y y y 2 2 21 2 1 21 4 8t y y t y y 2 2 4 21 1 6 8 4 4 8 1 6 4 0 1 6t t t t t t 51 6 4 0 1 6 4 ， 10分 解得 2 18t 或 2 218t （舍） ，故 2 或 12. 12分 （法二）若设直线斜率为 K,讨论 情给分 21. （ 1）当 1b 时， 221( ) ( 1 ) l x a x a x a x 2 ( 1 ) ( )( ) ( 1 ) a a x x af x a x a 1分 讨论： 1当 0a 时， 10 , 0 , 1 0 ( ) 0x a a x f 此时函数 ()0, ) ，无单调递增区间 2分 2当 0a 时，令 1( ) 0f x 或 a 当 1 ( 0)， 1a 即 时 ， 此时 2( 1 )( ) 0 ( 0 )xf x 此时函数 ()0, ) ，无单调递减区间 3分 当 10 ，即 1a 时，此时在 1(0, ) , )a 上函数 ( ) 0 ， 在 1( , ) ) 0 ，此时函数 ()递 增区间为 1(0, ) , )a ； 单 调递 减区间为 1( , ) 4分 当 10 ，即 01a时，此时函数 ()递 增区间为 (0, )a 和 1( , )a ; 单 调递 减区间为 1( , ) 6分 （ 2）证明：（法一）当 1a 时 2( ) 1xf x e x x 只需证明： 0 设 ( ) l n 1xg x e x ( 0)x 问题转化为证明 0x， ( ) 0 令 1() xg x ， 21( ) 0xg x e x ， 1() xg x 为 (0, ) 上 的 增 函