湖南省2017届高三阶段性诊断考试数学试题(文)含答案解析

一、选择题（本大题共 12 个小题 ， 每小题 5 分 ， 共 60 分 有一项是符合题目要求的 .） 1. s i n 7 0 c o s 1 0 c o s 7 0 s i n 1 0等于 （ ） 22C. 答案】 C 【解析】 试题分析： s i n 7 0 c o s 1 0 c o s 7 0 s i n 1 02 360s 070s . 考点：两角和差公式 | 9 0 A x x ， | 2 B x x N，则 ） A 3 B 4 C 5 D 6 【答案】 D 考点：集合的定义与运算 . 【易错点睛】 (1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性 (是点集、 数集或其他情形 )和化简集合是正确求解的两个先决条件 .(2)注意元素的互异性 注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误 .(3)防范空集 , 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑是否成立，以防漏解 示以为自变量的奇函数的图象是 （ ） A B C D 【答案】 B 考点：函数的定义域奇偶性 . 是互相垂直的两个单位向量，且 | 3 | | |a b m a b ，则实数 m 的值为 （ ） A 2 B 22 C 5 D 25 【答案】 C 【解析】 试题分析： | 3 | | |a b m a b 两边平方可得：5)11(91)()3( 22222 ，根据条件可知 0m ，所以5m 故选 C. 考点：向量的运算 . 视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为 （ ） A. 6 12 B. 6 24 C. 12 12 2 【答案】 A 【解析】 试题分析：由三视图可知，该几何体为一组合体，它由半个圆柱和一底面是直角三角形的直棱柱组成，故该几何体的体积为 126342213221 2 考点：三视图求体积 . 2 3a 且1 2，则4 ） A 6 B 12 D 24 【答案】 B 考点：数列的递推求通项 . 2 4 , 0 1 0()2 1 2 6 , 1 0 2 0 的零点不可能在下列哪个区间上 （ ） A (1,4) B (3,7) C.(8,13) D (11,18) 【答案】 B 【解析】 试题分析：当 100 x 时 )(调递增，又 0)3( f ，所以 100 x 有唯一零点3x ，故 B 不正确， 故选 B. 考点：函数的零点 . , 长度为 ，其中 4 4 0 的长度相等，则 1 的最小值为 （ ） A 32e B 322e 或 32e C. 322e D 322e 或 22e 【答案】 A 【解析】 试题分析：根据题意可得： , 化简得0)5) ( 当 2 24 不成立，所以 5m ，5， 61 1 5 11x x x x x m e e e e e 6322故选 A. 考点：函数与方程 . 除以正整数 m 后的余数为，则记为 (m o d )N n m ，例如 10 2(m ) 国剩余定理 输出的等于 （ ） A 4 B 8 C. 16 D 32 【答案】 C 考点：程序框图 . 【方法名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查 括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项 余 和 被除余 时的值 . 的长方体的一个面的面积为 1，且这个长方体 8 个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 表面积的最小值为 （ ） 111 【答案】 C 【解析】 试题分析：设 184,218222,4,1 22222 考点：球的组合体 . 0 ,0,2 2 0 , ，且 ( 6,3) ，则 仅在点1( 1, )2A 处取得最大值的概率为 （ ） A 19B 49【答案】 A 考点：简单的线性规划；几何概型 . 【方法点睛】 (1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解 (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域（ 3）几何概型有两个特点 ：一是无限性，二是等可能性基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用 “ 比例解法 ” 求解几何概型的概率 ) l o g ( 2 1 )f x a x x ， 2 2 s i n ( 2 )6()s i n 3 c o ，若不论 2x 取何值，12( ) ( )f x g x对任意1 73 , 10 2x 总是恒成立，则的取值范围为 （ ） 111 A 7( , )10 B 4( , )5 C. 63( , )80 D 40 4( , )49 5【答案】 D 考点：函数的恒成立问题 卷（非选择题共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分） 00 名大学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是 0 ，样本数据分组为 1 7 . 5 , 2 0 ) , 2 0 , 2 2 . 5 ) , 2 2 . 5 , 2 5 ) 2 5 , 2 7 . 5 ) , 2 7 . 5 , 3 0 400 名大学生中每周的自习时间不少于 25 小时的人数是 _. 【答案】 120 【解析】 试 题 分 析 ： 这 40 名 大 学 生 中 每 周 的 自 习 时 间 不 少 于 25 小 时 的 人 数 是1 2 0 ）（ 考点：频率分布直方图 . 1, 2 , 3, 4 , 5, 6 , 7中任意选取的一个元素，则圆 22: ( 2 ) 1C x y 与圆2 2 2:O x y a内含的概率为 _. 【答案】74考点：古典概型 . 【方法点睛】 古典 概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法 .(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求 有序 ” 与 “ 无序 ” 区别的题目，常采用树状图法 .(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的 题目简单化、抽象的题目具体化 .(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目 . 正切函数在整个定义域内是增函数； 存在某个区间，使得正弦函数和余弦函数在此区间均为减函数； 正切函数、正弦函数和余弦函数的图象不存在三个函数图象的共同交点 . 其中，正确的个数为 _. 【答案】 【解析】 试题分析： 正切函数定义域不连续 ，不满足在定义域内单增，不正确； 例如区间 ),2( 上正弦函数和余弦函数在此区间均为减函数； 建立方程组可说明无解，故正确 . 考点：三角函数的图象和性质 . 书九章卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里 欲知为田几何 .”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为 13 里， 14 里， 15 里，假设 1 里按500 米计算 ，则该沙田的面积为 _平方千米 . 【答案】 21 【解析】 试题分析：设在 中， 13a 里， 14b 里， 15c 里 ， 2 2 21 3 1 4 1 5c o 1 4C 21 3 ( 1 4 1 5 ) ( 1 4 1 5 ) 1 4 0 5 1 2, s i 3 1 4 2 1 3 1 4 1 3 1 3C ，故 的面积为 211 0 0015001312141321 22 平方千米 . 考点：余弦定理的应用 . 【方法点睛】 解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的 一步：定条件 ， 即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向 工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化 结果 . 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17.（本小题满分 10 分） 在 中，角 A ， B ， C 的对边分别为，且 3 5 74 c o s s i n 44 1 6a A B c ， ， ，. （ 1）求； （ 2）求 的周长 . 【答案】（ 1） 5b ；（ 2） 15 . （ 2）由 2 2 25 4 3c o 4cA c得 22 1 5 1 8 ( 2 3 ) ( 6 ) 0c c c c ， 4c ， 6c . 9 分 的周长为 15654 . 10 分 考点：正余弦定理 方法点睛】 解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的 步骤是：第一步：定条件 ， 即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向 工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化 结果 . 18.（本小题满分 12 分） 已知某企业的近 3 年的前 7 个月的月利润（单位：百万元）如下面的折线图所示： （ 1）试问这 3 年的前 7 个月中哪个月的月平均利润较高？ （ 2）通过计算判断这 3 年的前 7 个月的总利润的发展趋势； （ 3）试以第 3 年的前 4 个月的数据（如下表），用线性回归的拟合模式估测第 3 年 8 月份的利润 . 相关公式： 112 2 211( ) ( )( ) ( )i i x y y x y n x x x n x ， a y . 【答案】（ 1）月和月的平均利润最高；（ 2）前个月的总利润呈上升趋势；（ 3） 940 万元 . （ 2）第年前个月的总利润为 284765321 （百万元）， 3 分 第年前个月的总利润为 315554552 （百万元）， 4 分 第年前个月的总利润为 418676644 （百万元）， 5 分 所以这年的前个月的总利润呈上升趋势 . 7 分 （ 3） ， 2 2 2 25 1 2 3 4 3 0y ， ， 1 4 2 4 3 6 4 6 5 4 ， 25 4 4 2 . 5 5 0 . 83 0 4 2 . 5b ， 9 分 5 2 3a ， 10 分 ， 11 分 当 8x 时， 0 3 9 （百万元），估计月份的利润为 940 万元 .12 分 考点：折线图；线性回归分析 . 19.（本小题满分 12 分） 已知函数 4() 与 2( ) | 6 |g x x x的定义域均为 1,4 . （ 1）求这两个函数的值域并作出这两个函数的图象； （ 2）若函数 ()图象与直线 仅有一个交点，求的取值范围 . 【答案】（ 1） 2,5 ， 5,9 ，图象见解析；（ 2） 5,8) 9 . ()2,5 . 2 分 设 22( ) 6 ( 3 ) 9h x x x x ， 结合 ()得当 1,4x 时， ( ) 9, 5 . 4 分 | ( ) | 5, 9，即 ()值域为 5,9 . 5 分 ()()图象如下图所示： 9 分 （ 2）由图可知 当 5, 8) 9k 时直线 与的图象 ()y g x 只有一个交点， 的取值范围为 5,8) 9 . 12 分 考点：函数的图象和性质；函数与方程 . 20.（本小题满分 12 分） 在四棱锥 P 中，底面 矩形，平面 平面 3P，2B， E 为线段 一点，且 : 7 : 2B ，点 分别为线段 D、的中 点 . （ 1）求证： 平面 （ 2）若平面 四棱锥 P 分成左右两部分，求这两部分的体积之比 . 【答案】（ 1）证明见解析；（ 2） 37:35 . 【解析】 试题分析：（ 1）根据条件易得 B ，又平面 平面 平面 平面B ，则由余弦定理可得， 2 2 22 2 1 3 2( ) 2 2 23 3 3 9 ， 423 2分 2 2 24P E B E P B ， B ， 3 分 平面 平面 平面 平面 B ， 平面 4 分 （ 2）解：设平面 棱 于点 N ，连接 因为 /D ，所以 /面 从而可得 /D . 6 分 延长 点 M ，使 F ，连接 则 为直三棱柱， 7 分 F 到 距离为 1 2 223 73 1 7 2 2 7 22 3 3 9 ， 7 2 1 4 2299A F E D M ， 1 7 2 7 213 9 2 7G D M ， 3 5 227A E F N D G A F E D M N G D M V ， 又 1 8 233P A B C D A B C E S 矩 形， 3 5 2 8 2 3 5 2: = : ( ) 3 5 : 3 72 7 3 2 7右左. 12 分 考点：面面垂直的性质；棱柱棱锥的体积公式 . 【易错点晴】立体几何是高中数学的重要内容之一 ,也历届高考必考的题型之一 解答时第一问充分借助已知条件与判定定理 ,探寻直线 B ,再推证 平面 直即可 分利用几何体的特征，采用分割等手段套用体积公式求解即可 . 21.（本小题满分 12 分） 已知正项数列 2 ( 1 ) ( 2 )n n nS a a . （ 1）求证：不论 取何值，数列1 + 总是等差数列，并求此数列的公差； （ 2）设数列 ( 1) 2 的前项和为 试比较 12 (1 8 ) 2 21n 的大小 . 【答案】（ 1）证明见解析， 1 ；（ 2）当 17n 时， 12 (1 8 ) 2 21n ，当 17n时， 12 (1 8 ) 2 21n ，当 17n 时， 12 (1 8 ) 2 21n . 试题解析：（ 1）证明：当 1n 时，1 1 12 ( 1 ) ( 2 )S a a ，1 0a ，1 2a .1 分 当 2n 时， 221 1 12 2 ( )n n n n n n S a a a a ，11( ) ( 1 ) 0n n n na a a a ， 1 0，1 1， 3 分 数列 为首项 1 为公差的等差数列， 1. 4 分 1 2 1 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) 1n n n n n n n na a a a a a a a ， 5 分 不论 取何值，数列1总是等差数列，且此数列的公差为 1 .6 分 （ 2）解： 1( 1 ) 2 ( 1 ) 2 2 2( 1 ) 1n n n a n n n n ， 7 分 2 3 2 1 12 2 2 2 2 2 2 22 1 3 2 1 1n n n n n ， 9 分 1 1 1 12 ( 1 8 ) 2 2 2 2 ( 1 8 ) 2 2 2 ( 1 7 )21 1 1 1n n n n n n nT n n n n ， 当 17n 时， 12 ( 1 7 ) 01n ， 12 (1 8 ) 2 21n ； 10 分 当 17n 时， 12 ( 1 7 ) 01n ， 12 (1 8 ) 2 21n ； 11 分 当 17n 时， 12 ( 1 7 ) 01n ， 12 (1 8 ) 2 21n . 12 分 考点：利用递推求通项，数列求和，比较大小 . 22.（本小题满分 12 分） 已知圆 C 经过点 ( 0 , 2 ) ( 2 , 0 )，圆 C 的圆心在圆 222的内部，且直线3 4 5 0 被圆 C 所截得的弦长为 为圆 C 上异于 的任意一点，直线轴交于点 M ，直线 y 轴交于点 N . （ 1）求圆 C 的方程； （ 2）若直线 1与圆 C 交于12点，求12A； （ 3）求证： | | | |M 为定值； 【答案】（ 1） 224；（ 2）；（ 3）证明见解析 . 和002(0, )2 yN x 代入求 | | | |M 为定值 . 试题解析：（ 1）解：易知点 C 在线段 中垂线 上，故可设 ( , )圆 C 的半径为 . 1 分 直线 3 4 5 0 被圆 C 所截得的 弦长为 23，且 22( 2 )r a a ， ( , )直线 3 4 5 0