吉林省2016-2017学年高三毕业第三次调研测试数学试卷（理科）含答案

吉林市普通中学 20162017 学年度高中毕业班第 三 次调研测试 数 学（理科） 本试卷分第 卷 （ 选择题 ） 和第 卷 （ 非选择题 ） 两部分，共 24 小题，共 150 分，考试时间 120 分钟 。 注意事项： 1 答 题 前，考生 先 将自己的 姓名 、 准考证号码 填写 清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内； 2选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须 使用 米的黑色 字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚； 3 请按照题号 顺序 在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效 ；在草稿纸、试题卷上答题无效； 第 卷 一、选择题：本大题共 12 题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设全集 ,集合 | 1A x x，集合 | ,B x x p若 ()U ，则 p 应 该满足的条件是 A 1p B p 1 C 1p D p 1 2已知复数1iz i ，其中 i 为虚数单位 |z A 12B 22C 2 D 2 3 已知向量 ( , 2 ) , ( 2 , 1 ) , ( 3 , )a x b c x ，若 a b ，则 A 4 B 8 C 12 D 20 4 已知点 (2,0)F 是双曲线 223 3 ( 0 )x m y m m 的一个焦点，则此双曲线的离心率 为 A 12B 3 C 2 D 4 5 3()展开式中，各项系数之和为 A ，各项的二 项式系数之和为 B ，若 32，则 n A 5 B 6 C 7 D 8 6 给出下列几个命题： 命题 :p 任意 ，都有 x ，则 :p 存在0使得0x 命题 “若 2a 且 2b ，则 4 且 4”的逆命题为假命题 空间任意一点 O 和三点 ,则 32O A O B O C是 , 点共 线 的充 分不必要条件 线性回归方程 y bx a对应的直线一定经过其样本数据点1 1 2 2( , ) , ( , ) , ,x y x y( , )的一个 其中 不正确 的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7若直角坐标平面内的两点 , ,)y f x 的图象上； , 则称点对 ( , )函数 ()y f x 的一对 “友好点对 ”(点对 ( , ) ( , )作同一对 “友好点对 ”)已知函数 1()() 2 ,01 , 0 ，则此函 数的 “友好点对 ”有 A. 3 对 B. 2 对 C. 1 对 D. 0 对 8 2002 年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础 设计的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成 的一个大正方形（如图）如果小正方形的面积为 1，大正方 形的面积为 25，直角三角形中 较小的锐角为 ，那么 的值为 A 13 B 32 C 2324 D 24259阅读 右侧 程序框图，运行相应程序，则输出 i 的值为 A 3 B 4 C 5 D 6 10 中国有个名句 “运筹帷幄之中，决胜千里之外 .”其中的 “筹 ”原 意是指孙子算经 中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进 行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如 下表 开始结束a = 1 , i = 0i = i + 1a 5 0?输出 i a + 1 表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位 数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位 用横式表示，以此类推 ， 例如 6613 用算筹表示就是 ： ，则 9117 用算筹可表示为 A. B C D 11已知数列 前 n 项和为1231, 若 3 10S ，则 180S A 600 或 900B 900 或 560 C 900 D 600 12 定义在区间 D 上的函数 ()果对任意 ，都有 | ( ) ( ) | 1f x g x 成立， 则 称 () 上可被 ()D 称为 “替代区间 ”给出以下问题： 2( ) 1f x x在区间 ( , ) 上可被 2 1()2g x x替代； 如果 ( ) x x 在区间 1, e 可被 ()g x x b替代，则 22b ； 设 212( ) l g ( ) ( ) , ( ) s i n ( )f x a x x x D g x x x D ，则存在实数 ( 0)及区 间12,使得 () 其中真命题是 A B C D 第 卷 二、填空题：本大题共 4 个小题 ， 每小题 5 分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9纵式横式是奇数是偶数13 设 ,0200 ，则 2z x y 的最 小 值为 . 14 已知等差数列 7 0 s i na a x d x， 则468 . 15 某几何体的三视图如 右 图所示，且该几何体的 体积为 2，则正视图的面积 = . 16 已知 ,21和双曲线 221的公共顶点 ，其中 0， P 是双曲线上的动点， M 是椭圆上的动点（ ,异于 ,且满足 ()P A P B M A M B （ R ） ，设直线 ,P ,斜率分别为 1 2 3 4,k k k k ， 若 123 ，则 34 . 三、解答题：本大题共 6 小题 ， 共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （本小题满分 12 分） 已知函数 2( ) c o s 2 2 s i n 2 s i nf x x x x （ ）将函数 (2 )单位得到函数 ()图像，若 , 12 2x ， 求函数 () （ ）已知 ,中角 ,对边，且满足 ( ) 3 1， (0, )2A ， 2 3 , 2， 求 的面积 18 （本小题满分 12 分） 据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间 “英语考试该如何改革 ”引起广泛关注，为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了 3600 人进行调查，就 “是否取消英语听力 ”问题进行了问卷调查统计，结果如下表： 态度 调查人群 应该取消 应该保留 无所谓 1 112正 视图俯 视图侧视图图 在校学生 2100 人 120 人 y 人 社会人士 600 人 x 人 z 人 （ ）已知在全体样本中随机抽取 1 人，抽到持 “应该保留 ”态度的人的概率为 现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取 360 人进行问卷访谈，问应在持 “无所谓 ”态度的人中抽取多少人？ （ ）在持 “应该保留 ”态度的人中，用分层抽样的方法抽取 6 人，再平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数 的分布列和数学期望 19 （本小题满分 12 分） 已知四棱锥 P 中，底面为矩形， 底面 1C， 2, M 为 点 . （ ） 在图中作出平面 交点 N ，并指出点 N 所在位置（不要求给出理由）； （ ） 在线段 是否存在一点 E ，使得直线 平面 成角的正弦值为1010 ， 若存在，请说明点 E 的位置 ； 若不存在，请说明理由 ； （ ） 求二面角 A 的余弦值 20（本小题满分 12 分） 已知 O 为坐标原点，抛物线 2: ( 0 )C y n x n在第一象限内的点 (2, )2， 曲线 C 在点 P 处的切线交 x 轴于点 Q ，直线1 Q 且垂直于 x 轴 . （） 求线段 长； （） 设不经过点 P 和 Q 的动直线2 :l x m y b交 曲线 C 于点 A 和 B ，交1 ，若直线 ,E 斜率依次成等差数列，试问：2说明理由 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 2( ) ( 2 ) l nf x x a x a x ，其中常数 0a （ ）当 2a ，求函数 () ）设定义在 D 上的函数 ()y h x 在点00( , ( )P x h ( )l y g x ， 若0( ) ( ) 0h x g 在 D 内恒成立，则称 P 为函数 ()y h x 的 “类对称点 ”，当 4a 时，试问()y f x 是否存在 “类对称点 ”，若存在，请求出一个 “类对称点 ”的横坐标；若不存在，请说明理由 请考生在第 22、 23、 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22. （本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程 以直角坐标系 原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，且两坐标系有 相同的长度单位 的极坐标为 ( 2, )4， M 是曲线1 :1C 上任意一点，点 G O M O N，设点 G 的轨迹为曲线2C. （ ） 求曲线2 （ ） 若过点 (2,0)P 的直线 l 的参数方程为12232（ t 为参数），且直线 l 与曲线2 11| | | |P A P B的值 . 23.（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知定义在 R 上的函数 ( ) | | | | , *f x x m x m N ，存在实数 x 使 ( ) 2成立 （ ） 求 正整数 m 的值； （ ） 若 1 , 1 , ( ) ( ) 2 ，求证： 4192 吉林市普通中学 20162017 学年度高中毕业班第 三 次调研测试 数学（理科）参考答案及评分标准 1选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B B D C A B C D B A D C 2填空题 13. 【答案】 14. 【答案】 3 15. 【答案】 2 16. 【答案】 3 3解答题 17 （ ） 解： 因为 2c o s 2 2 s i n 2 s i nf x x x x ， 所以 222c o s s i n 2 s i n 2 s i nf x x x x x 22c o s s i n 2 s i nx x x 1 2x 所以 ( 2 ) 1 2 s i n 2f x x 2 分 因为 函数 2单位得到函数 所以 ( ) 2 s i n 2 ( ) 16g x x . 即 ( ) 2 s i n ( 2 ) 13g x x . 4 分 因为 ,12 2x 所以 1s i n ( 2 ) , 1 32x ，所以 ( ) 0, 3 所以 函数 ) 0, 3 6 分 （ ） 解： 因为 31 所以 3，因为 (0, )2A . 7 分 所以 1 8 分 又 2 2 2c o c aA ， 23a ， 2b . 10 分 所以 4c . 11 分 所以 面积 1 s i n 2 32b c A 12 分 （运用正弦定理求出，也同样给分） 18. （ ） 解：因为抽到持 “应该保留 ”态度的人的概率为 所以 120 0 3600x ，所以 60x . 2 分 所以持 “无所谓 ”态度的人数共有 3 6 0 0 2 1 0 0 1 2 0 6 0 0 6 0 7 2 0 . . 3 分 所以应在 “无所谓 ”态度抽取 3607 2 0 7 23600人 . 4 分 （ ） 解：由 （ ） 知持 “应该保留 ”态度的一共有 180 人， .5 分 所以在所抽取的 6 人中，在校学生为 120 64180人， 社会人士为 60 62180人， .7 分 则第一组在校学生人数 1,2,3 1242361( 1 )5 , 2142363( 2 )5 , 3042361( 3 )5 , .9 分 即 的分布列为 : 1 2 3 P 15 35 15 .11 分 所以 1 3 11 2 3 25 5 5E .12 分 19. （ ）解： 作 ，连接 图，（在图中画出）因此， 2 分 （ ）因为 四棱锥 P 中，底面为矩形， 底面 以 A 为坐标原点，以直线 D, 则 (0, 0, 0)(0, 0,1)(0,1, 0)(2,1, 0)11(1, , )224 分 设在线段 存在一点 ( ,1,0)则 ( ,1, 0)AE x 5 分 设直线 平面 成角为 ，平面 法向量为 ( , , )u x y z ， 则 ,u A M u A D 即 11 0220x y 令 2z ，则 ( 1, 0, 2)u . 7 分 则 | | 1 0s i | | |A E u，所以 1x 所以在线段 存在中点 E ， 使得直线 平面 成角的正弦值为 1010 8 分 （ ）设平面 法向量 ( , , )v x y z ，则 ,v C M v C D 11 02220x y 令 1z ，则 1y ，所以 (0, 1, 1)v . 10 分 所以 10c o | | 所以 二面角 A 的平面角的余弦值为 105 . 12 分 20. （ ） 解：由抛物线 2: ( 0 )C y n x n在第一象限内的点 (2, )2得 52 42n，所以 2n ，故抛物线方程为 2 2， (2,2)P . 2 分 所以曲线 C 在第一象限的图像对应的函数解析式为 2，则 12y x. 4 分 故曲线 C 在 点 P 处的切线斜率 11222k ，切线方程为： 12 ( 2 )2 令 0y 得 2x ，所以点 ( 2,0)Q 5 分 故线段 2 6 分 （ ） 解：由题意知1 :2，因为2以 0m 设2 :l x my b，令 2x ，得 2，故 2( 2, ) . 7 分 设1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x y， 由2 2x my 消去 x 得： 2 2 2 0y m y b 则1 2 1 22 , 2y y m y y b . 9 分 直线 斜率为112122 222， 同理直线 斜率为22 2y , 直线 斜率为 224 . 10 分 因为 直线 ,E 斜率依次成等差数列 所以122y +22 2y =2224 即 222 2 2b m . 11 分 因为2 ，所以 2b 所以 2 2 2m b m ，即 2b 故2 :2l x ，即22,0) 12 分 21. （ ） 解 函数 ()0, ) . 1 分 因为 2 2 l nf x x a x a x 所以 2 2 ( ) ( 1 )2 ( 2 ) 2( ) 2 ( 2 ) x a x af x x ax x x ， . 3 分 因 2a ， 12a由 ( ) 0，即 2 ( ) ( 1 )2 0得 01x或 2， 由 ( ) 0得 12； 所以 函数 ()间是 (0,1), ( , )2a ，单调递减区间为 (1, )2a； . 5 分 （ ） 解 法一 ：当 4a 时， 2 2 6 4() 所以在点 P 处的切线方程为200 0 0 0 002 6 4( ) ( ) 6 4 l x x x x x 7 分 令 ( ) ( ) ( )x f x g x 则220 0 0 0 004( ) 6 4 l n ( 2 6 ) ( ) ( 6 4 l n )x x x x x x x x x 易知0( ) 0x ； 又 0044( ) 2 6 ( 2 6 )x x 0 022 ( ) (1 )xx =0 则0 02x x x x或 9 分 当002x时，002 ，令 ( ) 0x ，则0 02 ，所以函数 ()x 在0 02( , )x x 上单调递减，所以当0 02( , )时， 0( ) ( ) 0，从而有0 02( , )时，0()0 ； 当0 2x 时，002 ，令 ( ) 0x ，则002 ，所以 ()x 在002( , )单调递减，所以当002( , )时， 0( ) ( ) 0，从而有002( , )时，0()0 ； 所以当0 ( 0 , 2 ) ( 2 , )x 时，函数 ()y f x 不存在 “类对称点 ”。 11 分 当0 2x 时， 22( ) ( 2 )，所以 ()x 在 (0, ) 上是增函数， 当0，0( ) ( ) 0，0()0 当0，0( ) ( ) 0，0()0 故0()0 恒成立 所以当0 2x 时，函数 ()y f x 存在 “类对称点 ”。 . 12 分 （ ） 解法二 当 4a 时， 2 2 6 4() 所以在点 P 处的切线方程为200 0 0 0 002 6 4( ) ( ) 6 4 l x x x x x 若 函数 2 2 l nf x x a x a x 存在 “类对称点 ” 00( , ( )P x 时， ( ) ( )f x g x ，当0 ( ) ( )f x g x 恒成立 . 当00 时 ( ) ( )f x g x 恒成立， 等价于 22200 0 0 0 002 6 46 4 l n ( ) 6 4 l x x x x x x 恒成立 即 2 2 30 0 0 0 0 0 0( 2 4 ) 4 l n 4 4 l n 0x x x x x x x x x x 令 2 2 30 0 0 0 0 0 0( ) ( 2 4 ) 4 l n 4 4 l nx x x x x x x x x x x 而0( ) 0x 2 2 0000 2 ( 2 ) ( )4( ) 2 ( 2 4 ) x x x x x x 要使 ( ) 0x 在00 恒