2012-2013(1)概率论与数理统计解答

111 一. 填空题：（每题 3 分，共 15 分） 1. 设 A、B 为两事件，P （A）= 0.7，P（B）= 0.6， ，则 = 0.25 .AB()P 2. 若随机变量 X 在0，1上服从均匀分布，Y = 2X +1 的概率密度为： 3 若随机变量（X，Y）的联合概率密度为 ，则 C = (23),0(,)xycefxy其 他 6 。 4. 若随机变量 X 服从参数为 2 指数分布 X e（2） ，则 = 1 .2()EX 5. 若随机变量 X 的数学期望与方差分别为 EX = 1，DX = 1，且 ，根据4P 切比雪夫不等式， 应满足 。30 二. 选择题：（每题 3 分，共 15 分） 1. 设 A、B、C 为三事件，则 表示 . DA、B、C 至多发生一个ABC 2.设随机变量 X 的密度函数为 ，则使 P（X a）= P（X a）成 3014,()xfx其 他 立，a 为 A 142 3. 若随机变量（X，Y）的概率密度为 ，则 X 与 Y 的随机 21/,1(,)0xyfxy， 其 它 变量 C不独立同分布 4设随机变量 X 在 ， 上服从均匀分布，且 EX=3，DX=4/3，则参数 ， 的值为.ab ab B = 1， = 5a 5.若 是取自总体 的一个样本， 已知， 未知，则以下是统计12,n 2(,)N 量的是 A 21()/niiX ,13()20Yyfy其 它 三.判断题：（每题 2 分，共 10 分） 1. 若 A 与 B 互斥，则 。 （ 对 P（ A） =0 ） 2. 若 是连续变量 X 的分布函数，则 。 （ 错 ()Fx ()1Fxd ） 3. 若（X，Y）的联合概率函数与边缘概率函数之间存在关系式 ，(,)()iXiYjPxyxPyj ，则 X 与 Y 独立。 （ 对 1,2ij、 ） 4. 若随机变量 X 与 Y 独立，则有 。 （ 错 ()DXY ） 5. 若 是取自总体 X 的简单随机样本，则 与 同分布。 （ 对 12,n 1X2 ） 四| 计算题：（每题 10 分，共 60 分） 1. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有 90%的可能考试及格，不努力学习的 学生有 90%的可能考试不及格 .据调查，学生中有 80%的人是努力学习的，试问： （1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？ 【解】设 A=被调查学生是努力学习的，则 =被调查学生是不努力学习的. 由题意知A P（A ）=0.8，P（ ）=0.2，又设 B=被调查学生考试及格.由题意知 P（B|A） =0.9，P （ | ）=0.9，故由贝叶斯公式知B （1） ()()() ()PAB 0.210.2789.3 即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占 2.702% (2) ()()() ()PAPABB 0.8140.372.9 即考试不及格的学生中努力学习的学生占 30.77%. 2. 从五个数 1，2，3，4，5 中任取 3 个数 ，求：（1）随机变量123x， ， 的概率分布；（2）随机变量 X 的分布函数；（3） 。13maxX， ， 4PX 解：（1）X 的可能值是 3， 4，5. 易知213512435()0,6()0.CPXC 因此，所求的概率分布为 X 3 4 5 P（x i） 0.1 0.3 0.6 （2）根据 得()()iixFp （注意区间分段） 0,3.14(),5xx （3）故所求的概率为 4340.1.PXPX 3. 设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= .,0,1,1他xy 求条件概率密度 fYX （yx ） ，f XY （x y）. 题 3 图 【解】 ()(,)dXfxfy 1d2,01,0,. xyx其 他 1d,10,()(,)0,.yY xyfyfx其 他 所以 （注意区间分段）| 1,|1,(,)()20.YXXyxfxyfy其 他 | , ,1(,)(),1,0.XYYyxfxyf 其 他 4. 设随机变量 X 的概率密度为 1(),2xfe 求随机变量 X 的数学期望 EX 与方差 DX。 解：由题设可得 ()102xEfde （偶函数在对称区间上的数学期望均为 0）22002001()()()2xxxxxEXfdededdee22()DXE 5设总体 X 的概率密度为 1,0()xf其 他 其中 0，如果取得的样本观测值为 ，求参数 的最大似然估计值。12,nx 解：由于总体 X 的概率密度为 1,0()xf其 他 故似然函数为 1()niiLx 取对数，得 11ln()l()ln(1)l.ni ii iiixx 对 求导数，并让它等于零，得似然方程 1ln()ln0iidLx 由此解得 的最大似然估计值为 .1lniix 6某工厂正常情况下生产的电子元件的使用寿命 ，从该工厂生产的一2(160,8)XN 批电子元件中抽取 9 个，测得它们使用寿命的平均值为 1540（小时） ，如果使用寿命的标 准差 不变，能否认为该工厂生产的这批电子元件使用寿命的均值 =1600（小时）？ （附：检验水平 ）0.50.250.50.25,164,9,(),().31utt 解： 提出待检假设： 01:;:6HH 选取统计量： 0(0,)/8/