2015届江苏苏州园区高三年级联考试卷数学试题(2015.4.24)

开始 输入 m, n 否 是 结束 输出 m 求 m 除以 n 的余数 r mn nr r = 0? 第 6 题图 D A B C G(D)E(D) F(D) y x x y O O 2 -2 -2 2 1-1 -1 1 第 10 题图( 甲) 第 10 题图( 乙) 1 -1 2015届江苏苏州园区高三年级联考试卷(2015.4.24) 数 学 试 题 参考公式：锥体的体积公式： ，其中 为锥体的底面积, 为高.13VShh 一 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 14 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 计 70 分 . 不 需 写 出 解 答 过 程 ， 请 把 答 案 写 在 答 题 纸 的 指 定 位 置 上 ） 1设集合 ，集合 ，则 。2|0Mx*|3,NyNM 2若复数 （其中 为虚数单位） ，则 。izi|2|z 3为 了 解 1000 名 学 生 的 学 习 情 况 ， 现 采 用 系 统 抽 样 的 方 法 从 中 抽 取 容 量 为 40 的 样 本 ， 则 抽 样 中 分 段 的 间 隔 为 。 4有两个不透明的箱子，每个箱子里都装有 3 个完全相同的小球， 球上分别标有数字 1，2 ，3. 甲从其中一个箱子中随机摸出一个球， 乙从另一个箱子中随机摸出一个球，谁摸出的球上标的数字大谁就 获胜（若数字相同则为平局） ，则甲没有获胜的概率为 。 5 “ ”是“抛物线 的准线恰好与双曲线4a2(0)xay2yx 的一条准线重合”的 条件（选填“充分不必要”、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不必要”） 。 6图中的程序框图描述的是“欧几里得辗转相除法”的算法。若输入 ， ，则输375 出 。m 7若变量 满足 ，则 的最小值为 。yx,5402y2yx 8四面体 沿棱 剪开，将面 ，面 和ABCD,BCADBC 面 展开落在平面 上，恰好构成一个边长为 1 的正方形 （如图所示） ，则原四面体的体积为 。EGF 9设函数 在 处取得最值，若数列 是首项与公差均()sin2)(0)fxxnx 为 的等差数列，则 的值为 。41232015()ffff 10奇函数 与偶函数 的图象分别()f()gx 如图甲与图乙所示，设方程 0f 与 的实根个数分别为 ，(0gfx,ab 则 的值为 。ab 11设正实数 满足 ，,y2x 则 的最小值为 。21x 12已知圆 的半径为 ， 是圆上的两O,AB 2 点，且 ， 是圆 的任意3AOBMNO 一条直径，若点 满足 ，则 的最小值为 。C1(1)2ABR CMN 13在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，一条直线 过点 ，且与单xy2,(,6l(0,)m 位圆 恒相切. 若有且只有两个点 满足： ；点 到直线 的距2xyP4ABPl 离为 1，则实数 的取值范围是 。m 14设等差数列 的各项均为整数，其公差 ， ，若无穷数列na0d5a 构成等比数列，则数列 的前 2015 项1235,tna12(5)tn na 中是该等比数列中项的个数为 。 二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤， 请把答案写在答题纸的指定区域内） 15(本小题满分 14 分) 已知函数 的部分图象如图所示.sin()(,|)fxAxBA （1）求函数 的解析式；( （2）若 ，求函数 在区间 上的单调减区间.)3gff(gx0, 16(本小题满分 14 分) 在直三棱柱 中， ， ，点 分别是棱1ABCABC1B,PQR 的中点.1, （1）求证： 平面 ；/RPQ （2）求证：平面 平面 .1 17在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为 ，上顶xOy2:1(0)xyEab32 点为 ，直线 与椭圆 交于 两点，且 的面积为 .B1:2l,CDBx y 3 O 1 52 A B C A1 B1 C1 P Q R 3 （1）求椭圆 的标准方程；E （2）设点 是椭圆 上一点，过点 引直线 ，其倾斜角与直线 的倾斜角互补. 若直线PPml 与椭圆 相交，另一交点为 ，且直线 与 轴分别交于点 ，求证：mQ,xy,MN 为定值。2QMN 18如图所示，某镇有一块空地 ，其中 ， ， . OAB3km3OBk90AB 当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖 ，其中MN 都在边 上，且 ，挖出的泥土堆放在 地带上形成假山，剩下,MN,AB30MN 的 地带开设儿童游乐场. 为安全起见，需在 的一周安装防护网.O AN （1）当 时，求防护网的总长度；32km （2）若要求挖人工湖用地 的面积是堆假山用地 的面积的 倍，试确定OO3 的大小；A （3）为节省投入资金，人工湖 的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使N 的面积最小？最小面积是多少？OMN 19设 ，且 ，数列 的前 项和为 ，已知数列 是首项为 0，公差0a1nanSloganS 为 1 的等差数列. （1）求数列 的通项公式；n （2）设 是给定的正整数， ，数列 满足 .m2nb21,2mnnbam 当 时，求数列 的前 项和 ；0nbT(0) 设数列 满足 ，试求数列 中最大项的值.nc4ncO AB MN x y O B C D l P Q M N m 4 20已知函数 （ ）.21()lnfxkxkR （1）当 时，求函数 在 上的最大值；2k()f,4 （2）若函数 在区间 上不单调，求 的取值范围；()fx,2k （3）当 时，设 ，其中 ，试证明：函数 在k1abab()()fbaxf 区间 上有唯一的零点.（参考公式：若 ，则 ）(,) ()hxfghgx 2015届高三年级联考试卷 数学参考答案 1 2 325 4 5充要 61 7 8102314 9 1014 11 122 13 14794(,2)(, 15解：（1）由图知 ，解得 ， 2 分31AB1A 又 ，所以 ，故 ， 4 分5()22TT2 所以 ，将点 代入，得 ，sinfx(,)1()3kZ 再由 ，得 ，所以 . 6 分|3sin13fx （2）因为 ()()gxf2()2sin()2xcos2inx ， 10 分()6 由 ，解得 ，2kxk51212kxk()Z 又 ，故所求的单调减区间为 . 14 分0,50, 16证明：（1）在直三棱柱 中， 且 ，1ABC1/BC1B 5 而点 分别是棱 的中点，所以 且 ，,PR1,BC1/BPR1B 所以四边形 是平行四边形， 2 分 即 且 ，又 且 ，所以 且 ，1/1/A/PA1R 即四边形 是平行四边形，所以 ， 4 分A1/ 又 平面 ，所以 平面 . 6 分Q/RQ （2）因 ，所以四边形 是正方形，所以 ，1BC1BC11BC 又点 分别是棱 的中点，即 ，所以 . 8 分,P1, /PQ 因 ，点 是棱 的中点，所以 ，A 由直三棱柱 ，知 底面 ，即 ，A11AP 所以 平面 ，即 ， 10 分1 所以 平面 ， 12 分1BCQ 又 平面 ，所以平面 平面 . 14 分P1BC 17解：（1）由 ，得 ， ， 2 分 32cea24ca2b 联立 ，得 ， 224yx(,)D 所以 ，4 分 210()4Caa 又上顶点 到直线 的距离为 ， 0,2Bl5d 所以 的面积为 ，D 211024SCa 解得 ，即椭圆的方程为 . 8 分24a4 xy （2）设 ，则 ，因为直线 与直线 的倾斜角互补，所以 ，1(,)Qxy 21ml 12mlk 所以直线 的方程为 ，m11 ()2yx 令 ，得 ；令 ，得 . 10 分0y1(,0)Mx1 (0,)2Nxy 所以 2222115)4QNyx . 14 分 1()5xy 方法 2：设 ，则 ，因为直线 与直线 的倾斜角互补，0(,)Pxy 2014yml 所以 ， 1mlk 6 所以直线 的方程为 ，m00 1()2yx 令 ，得 ；令 ，得 . 10 分0y0(,)Mx0 1(,)2Nxy 联立 ，消去 ，得 ， 20014()yxx2 20084()()40yxyxy 解得 ， 12 分 (2,Qy 所以 . 14 分 2220014MNxy205()54y 18解：（1）在 中，因为 ， ， ，所以 ，OAB3OB90AB60OAB 在 中， ，3,62M 由余弦定理，得 ， 2 分 所以 ，即 ，所以 ，22OMAOAN30O 所以 为正三角形，所以 的周长为 9，即防护网的总长度为 9 . 4Nkm 分 （2）设 ，因为 ，(06)3OMNOAS 所以 ，即 ， 6 分11sin3sin2OA 6sin 在 中，由 ，得 ， 8ANi60i(603)co32co 分 从而 ，即 ，由 ，36sin2cos1in2210 得 ，所以 ，即 . 10 分2015AOM5 （3）设 ，由（2）知 ，(60)AOM3cosN 又在 中，由 ，得 ， 12 分sini()2in(60) 所以 1730216sin0cosOMNS78(sinco2) ， 14 分i260)43 7 所以当且仅当 ，即 时， 的面积取最小值为 .260915OMN27(3)42km 16 分 19解：（1）由题意得 ，所以 ， 2 分loganS1nSa 当 时， ，又 ，不适合上式，n122()na 1S 所以 . 4 分2,() （2）因为 ，所以 ；又 ，所以 ，a2,n10m201,0,2nnba 则当 时， ；当 时， ，10231nba39201nn 即 ， 6 分 392,nnb 1当 时， 37539212 nnnTb ； 8 分 3792(4)(1)n 2当 时，120k1012n n 39 392019109() ()(4)n . 1 综上所述， 10 分 3922011(),0,2.nnT 因为 ，所以 ， 4213,2mnnbm 4213,2mnncm 1当 时，因为 ，所以1143421421 8nnmnnc （）若 ，则 ，此时 ；01cc （）若 ，则当 时， ；当 时， ，4m,2n10nc 此时 ； 12 分1234mcc 2当 时，因为 ，所以 ；n1212121 ()40n m1m 3当 时，因为 ，所以123nnn c （）若 ，则当 时， ；当 时，341c5 ，此时 ；10nc4562mc （）若 ，则 ，此时 . 14 分m10n12m 从而：A当 时，因为 ，所以 的最大项为 ；12cn1c 8 B当 时，因为 ，且 ，所以 的最大项为 ；2m1234cc140cn40c C当 时，因为 ，而 ，所以此时的最大356157 312c 项为 ；572 c D当 时，因为 ，41234122mmmcccc 而 ，所以此时 的最大项为 . 16 分13m n 13 （说明：本题的结论也可以叙述为： （A）当 或 时， 的最大项为 ；4nc12m c （B）当 或 时， 的最大项为 .）231 20解：（1）当 时， ，则12k21()ln4fxx ，()fx 由 ，得 或 （舍） ， 2 分03xx 列表如下： 12(,23)(23,4) 4()fx 0 5ln16 递减 取极小值 递增 ln2 因为 ，(4)24f(l2)349ln216 所以函数 在 上的最大值为 . 4 分x, 5(f （2）先考虑问题的反面，即若 在区间 上单调，则 对 恒成立或()fx,4)2()0fx1(,4)2 对 恒成立. 6 分()0fx1(,4)2 因为 ，则 对 恒成立或 2kkx2xk(,)x 对 恒成立. 8 分2kx(,) 9 即 对 恒成立或 对 恒成立，21xk(,4)21xk(,4) 所以 或 ，从而所求的 的取值范围是 . 10 分8787 （3）当 时， ，则 ，k2()lnfxx2()fx 所以 ，则 ，因为 ，所以()()fba21x ，20x 故 在区间 上单调递增，从而原命题等价于：要证明 12 分(),a ()0()ab 即证 ，()2fbb 只要证 ， 2ln)(ln)22aba 只