2016-2017学年高中数学 全册北师大版选修4-5_9

1 【课堂新坐标】2016-2017 学年高中数学 第 2 章 几个重要的不等 式 学业分层测评 12 数学归纳法 北师大版选修 4-5 (建议用时：45 分钟) 学业达标 一、选择题 1某个与正整数 n 有关的命题，如果当 n k(kN ，且 k1)时命题成立，则一定 可推得当 n k1 时，该命题也成立现已知 n5 时，该命题不成立，那么应有( ) A当 n4 时该命题成立 B当 n6 时该命题成立 C当 n4 时该命题不成立 D当 n6 时该命题不成立 【解析】 当 n4 时命题成立，由递推关系知， n5 时命题成立，与题中条件矛盾 所以 n4 时，该命题不成立 【答案】 C 2已知数列 an中， a11，当 n2 时， an2 an1 1，依次计算 a2， a3， a4后，猜 想 an的一个表达式是( ) A n21 B( n1) 21 C2 n1 D2 n1 1 【解析】 由 a11，当 n2 时， an2 an1 1 得 a22 a112113， a32 a212317， a42 a3127115. 猜想 an2 n1. 【答案】 C 3用数学归纳法证明“ n3( n1) 3( n2) 3(nN )能被 9 整除” ，要利用归纳法假 设证 n k1 时的情况，只需展开( ) A( k3) 3 B( k2) 3 C( k1) 3 D( k1) 3( k2) 3 【解析】 假设 n k 时，原式 k3( k1) 3( k2) 3能被 9 整除，当 n k1 时， (k1) 3( k2) 3( k3) 3为了能用上面的归纳假设 ，只需将( k3) 3展开，让其出现 2 k3，且展开式中除 k3以外的各项和也能被 3 整除 【答案】 A 4记凸 k 边形的内角和为 f(k)，则凸 k1 边形的内角和 f(k1) f(k)( ) A. B 2 C2 D 32 【解析】 n k 到 n k1 时，内角和增加 . 【答案】 B 5用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时， xn yn能被 x y 整除”的第二步是( ) A假设 n2 k1 时正确，再推 n2 k3 时正确(其中 kN ) B假设 n2 k1 时正确，再推 n2 k1 时正确(其中 kN ) C假设 n k 时正确，再推 n k1 时正确(其中 kN ) D假设 n k(k1)时正确，再推 n k2 时正确(其中 kN ) 【解析】 n 为正奇数， n2 k1( kN ) 即假设 n2 k1 时正确，再推 n2 k1 时正确 【答案】 B 二、填空题 6探索表达式 A( n1)( n1)！( n2)( n2)！22！11！( n1 且 nN )的结果时，第一步 n_时， A_. 【解析】 第一步 n2 时， A(21)(21)！1. 【答案】 2 1 7用数学归纳法证明“122 22 n1 2 n1( nN )”的过程中，第二步假设 n k 时等式成立，则当 n k1 时应得到_. 【导学号：94910037】 【解析】 n k 时， 命题为“122 22 k1 2 k1” ， n k1 时为使用归纳假设，应写成 122 22 k1 2 k2 k12 k， 又考虑到目的，最终应为 2k1 1. 【答案】 122 22 k1 2 k2 k1 1 8在数列 an中， a1 ，且 Sn n(2n1) an.通过求 a2， a3， a4，猜想 an的表达式是 13 _ 【解析】 a2 S2 S12(221) a2 ， 13 a2 ，同理 a3 ， a4 . 135 157 179 3 归纳知 an . 1 2n 1 2n 1 【答案】 an 1 2n 1 2n 1 三、解答题 9证明：1 22 23 24 2(2 n1) 2(2 n)2 n(2n1)( nN ) 【证明】 (1)当 n1 时，左边 122 23，右边1(211)3，等式成 立 (2)假设 n k 时，等式成立，就是 122 23 24 2(2 k1) 2(2 k)2 k(2k1) 当 n k1 时， 122 23 24 2(2 k1) 2(2 k)2(2 k1) 2(2 k2) 2 k(2k1)(2 k1) 2(2 k2) 2 k(2k1)(4 k3) (2 k25 k3)( k1)2( k1)1， 所以 n k1 时等式也成立 综合(1)(2)可知，等式对任何 nN 都成立 10已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Sn， an的等差中项为 1. (1)写出 a1， a2， a3； (2)猜想 an的表达式，并用数学归纳法证明 【解】 (1)由题意 Sn an2，可得 a11， a2 ， a3 . 12 14 (2)猜想 an .( 12)n-1 下面用数学归纳法证明： 当 n1 时， a11， 1，等式成立( 12)n-1 (12)0 假设当 n k 时，等式成立，即 ak ，( 12)k-1 则当 n k1 时，由 Sk1 ak1 2， Sk ak2， 得( Sk1 Sk) ak1 ak0，即 2ak1 ak， 所以 ak1 ak ， 12 12 (12)k-1 (12)(k+1)-1 即当 n k1 时，等式成立 由可知，对 nN ， an .( 12)n-1 能力提升 4 (1) (2) (3) 图 231 1如图 231 所示的是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑 点间的“短线”表示化学键，按图中结构第 n 个图的化学键个数为( ) A6 n 个 B(4 n2)个 C(5 n1)个 D(5 n1)个 【解析】 图(1)有 6 个化学键，图(2)有 11 个化学键，图(3)有 16 个化学键，可 猜想第 n 个图有 5n1 个化学键 【答案】 D 2若不等式 7 ， 15 19m25 709 79 m 的最小值为 8. 【答案】 A 3用数学归纳法证明“ nN ， n(n1)(2 n1)能被 6 整除”时，某同学证法如下： (1)n1 时，1236 能被 6 整除， n1 时，命题成立 (2)假设 n k 时成立，即 k(k1)(2 k1)能被 6 整除，那么 n k1 时， (k1)( k2)(2 k3)( k1)( k2) k( k3) k(k1)( k2)( k1)( k2) 5 (k3) k， k1， k2 和 k1， k2， k3 分别是三个连续自然数， 其积能被 6 整除故 n k1 时命题成立 综合(1)，(2)，对一切 nN ， n(n1)(2 n1)能被 6 整除 这种证明不是数学归纳法，主要原因是_ 【答案】 没用上归纳假设 4已知点的序列 An(xn,0)， nN ，其中 x10， x2 a(a0)， A3是线段 A1A2的中点， A4是线段 A2A3的中点， ， An是线段 An2 An1 的中点，. (1)写出 xn与 xn1 ， xn2 之间的关系式( n3)； (2)设 an xn1 xn，计算 a1， a2， a3，由此推测数列 an的通项公式，并加以证明 【解】 (1)当 n3 时， xn . xn 1 xn 22 (2)a1 x2 x1 a， a2 x3 x2 x2 x2 x12 (x2 x1) a， 12 12 a3 x4 x3 x3 x3 x22 (x3 x2) a， 12 12( 12a) 14 由此推测 an a(nN )( 12)n-1 用数学归纳法证明： 当 n1 时， a1 x2 x1 a a，公式成立，( 12)0 假设当 n k(k1