数学概念自主学习的探索双曲线的定义与标准方程的教学实录

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 数学概念自主学习的探索双曲线的 定义与标准方程的教学实录 国际上杰出的未来学家阿尔温 托夫勒曾经有一句名言：“未来的文盲 不再是目不识丁的人，而是没有学会如 何学习的人.” 培养学生的自主学习能力， 让学生终身受益，已成为当务之急.本文 就双曲线的定义与标准方程谈如何对数 学概念进行自主学习. 中国论文网 /9/view-13002702.htm 一、以旧带新，启迪思维（2 分 钟） 复习：（1）椭圆的定义是什么？ 定义中哪些字非常关键？ （2）椭圆的标准方程是什么？ a，b，c 是何种关系？ -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 （3）如何判断焦点位置？ 设计意图：双曲线与椭圆有着密 切的联系.为了学生更好地学习双曲线的 定义与方程，先复习椭圆定义及其与定 义密切相关的参数变化，既检测了学生 对前面相关知识的掌握情况，同时又为 双曲线概念的学习打下良好的基础. 二、设障立疑，激发动机（1 分 钟） 提出问题：平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差等于常数的点的轨 迹是什么？教师动画演示. 设计意图：单刀直入，开门见山 提出问题，激发学生的学习兴趣，同时 教给学生“由此及彼 ”发现问题的一种方 法. 三、阅读思疑，得窥门径（14 分 钟） 1.布置任务：双曲线及其标准方 程. 2.阅读教材：P5255 的教材“探 究”之前. -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 3.阅读时间：14 分钟. 4.思考问题：大屏幕打出问题. （一）关于双曲线的定义 1.双曲线的定义是什么？它是怎 样得来的？ 2.为什么叫“ 双” 曲线？为什么定 义中要加绝对值？不加绝对值行吗？你 认为双曲线的定义中有哪些要注意的问 题？ 3.怎样记忆定义比较通顺？采用 什么方法来记忆能保持记忆的长久和理 解的深刻？ 设计意图：打破看懂教材，会做 些题就是自主学习的旧观念.通过学习， 一方面，学生要清楚所学知识的来龙去 脉，弄清知识间的内在联系，明确学习 的必要性；另一方面，还要熟记定义， 深化对定义的理解.培养学生类比能力、 辨析能力、记忆能力，l 现问题、分 析问题的能力，以及思维的深刻性与敏 捷性. 【自我检测】 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 设计意图：加深学生对定义的理 解，体验收获的喜悦. （二）关于双曲线的标准方程 1.怎样“ 建系” 来推导方程？为什 么这样建系？怎样化简方程？你能在三 分钟之内推导出双曲线的标准方程吗？ 2.为什么叫双曲线的标准方程？ 双曲线的标准方程有几种？它们有什么 特点？你想怎样记忆方程？怎样比较这 些类型的方程？如何根据双曲线的标准 方程来判断焦点的位置？方程中的 a，b，c 之有何关系？ 3.双曲线还有其他类型的方程吗？ 方程的简单与烦琐取决于谁？ 4.如何区别椭圆和双曲线的标准 方程？ 5.求双曲线的标准方程有几种方 法？ 设计意图：（1）通过建系的分 析与思考渗透并提炼数学的对称美、和 谐美、简洁美；培养学生发现问题、分 析解决问题的能力以及树立求简意识. -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 （2）通过方程的推导培养学生 由此及彼的合情推理，提高运算能力， 丰富解题经验与技巧. （3）通过对椭圆与双曲线定义 与标准方程的剖析，有助于学生克服椭 圆学习中的思维定式，同时培养学生的 辨析能力以及思维的深刻性. 【自我检测】 设计意图：（1）强化标准方程 的特点，熟悉标准方程的形式及 a，b，c 间的关系，能区别椭圆和双曲 线的方程. （2）能熟练准确求双曲线的标 准方程、对于待定系数法能区别对待， 感受双曲线统一的标准方程 mx2+ny2=1（mn0 ）解决问题的优势 . （3）在运用中巩固和加深对双 曲线的定义及其标准方程的理解，培养 能力，让学生在“ 练” 的过程中通过反思、 感悟，优化知识结构. （4）自主学习不是花拳绣腿， 要把自主学习落到实处，要向课堂要效 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 率.题型要全，难度适中，重点突出，难 点分散，反馈及时.学生要练有所得，且 得之深刻，真正做到当堂消化，当堂理 解，扎扎实实练好基本功. 三、解惑释疑，洞达事理（15 分 钟） 现代课程理论认为，课程是一种 对话，交流、体验和发展.既然是对话， 那么，教师和学生之间应当具备民主的、 平等的沟通，共同筑起探讨的平台，教 师是组织者、引导者、旁观者，从中， 教师学会了倾听，学生学会了怀疑、学 会了批判，因而得到了发展；既然是交 流，必定是教师与学生的互动，在互动 中，学生的主体意识被唤醒，人人学有 价值的数学，人人都能获得必要的数学， 不同的人在数学学习中得到不同的发展. 学生的潜能被激发，新的思想在交流中 产生，从而加深对数学概念的理解和认 识，提高学生自主学习能力. （一）关于双曲线的定义 1.双曲线定义的由来：类比（椭 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 圆）的结果，实践（试验）的产物. 2.因为双曲线是由对称的两部分 曲线组成的，所以称之为双曲线.定义见 教材. 注意事项： （1）定义中必须加绝对值，没 有绝对值就不能成“ 双” 了，只能表示双 曲线的一支.只有加绝对值才和谐、对称， 才完美. （2）常数小于两个定点间的距 离.（直观记忆法：三角形两边之差小于 第三边） 特殊地，当这个“ 常数 ”=|F1F2|时 点的轨迹是两条射线. 当这个“ 常数” 大于 |F1F2|时的点 的轨迹是不存在. 3.语言表述：平面内到两个定点 的距离之差的绝对值等于常数的点的轨 迹叫作双曲线. 其中，常数小于两个定点间的距 离. 说明：教学中发现，学生即使记 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 8 住定义，绝大多数学生也都是不假思考 照本宣科地按照教材的写法记忆，导致 表述混乱，重点不突出.针对这一情况教 师需用适宜的方法对学生加以引导，使 他们深刻理解数学概念. 记忆方法：对比记忆.椭圆是距离 之和，双曲线是距离之差（要加绝对值） . 学生提出的问题：定义中的“常 数”可以为零吗？不可以，是正数. （二）关于双曲线的标准方程 1.怎样建系：取过焦点 F1，F2 的直线为一个坐标轴，线段 F1F2 的垂 直平分线为一个坐标轴. 2.怎样化简方程：两次平方. 3.由于是以双曲线的对称轴为坐 标轴建系，此时得到的方程最简单，所 以称为标准方程. 说明：关于建系与方程的推导做 一个微课. 4.双曲线标准方程的特点： 双曲线的标准方程的结构是平方 “差”等于 1，而椭圆的标准方程结构是 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 9 平方“和”等于 1. 标准方程有两种：它们之间的关 系是 x，y 互换即可.a2=c2-b2. 如何根据方程判断焦点位置？先 化为标准方程，然后椭圆看大小，所以 双曲线看正负. 记忆方法：口诀记忆.椭圆看大小， 双曲线看正负. 双曲线还有其他类型的方程，这 样的方程有繁有简.如，只以一条对称轴 为坐标轴，不以对称轴为坐标轴.而方程 的繁简取决于坐标系的建立. （三）椭圆与双曲线的比较 1.椭圆与双曲线的定义与标准方 程的异同： 椭圆的定义：“ 和”；方程：平方 “和”=1； 双曲线的定义：“ 差 ”；方程：平 方“差”=1. 2.两种方程中参数 a，b，c 之间 的关系： 椭圆中 a2=b2+c2，双曲线中 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 10 a2=c2-b2. 3.焦点位置的确定：椭圆看大小， 双曲线看正负. 设计说明：由于双曲线与椭圆内 容极其相似，所以在课堂上应及时进行 比较以加深学生对知识的理解和掌握. 学生提出的问题：（1）方程的 化简有没有把范围扩大的可能？ （2）方程的推导方法直接平方 可以吗？用换元的方法行吗？这样的问 题通过微课帮学生解决. （四）怎样求双曲线的标准方程 1.直接法：教材 P55 练习题 （1）. 2.待定系数法：教材 P55 练习题 （2）. 3.定义法：教材 P55 例 1 和教材 P55 练习题（ 3）. 设计意图：（1）会用定义求双 曲线的方程，培养学生思维的深刻性. （2）弄清求双曲线的标准方程 的基本方法：待定系数法.关键是先定形 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 11 后定量.（若焦点不定，则要注意分类讨 论） 四、反思总结，融会贯通（5 分 钟） 先由两名学生总结，再师生合作 一起完善总结. （一）知识总结 1.双曲线的有关概念. 2.双曲线标准方程，如何由方程 判定其焦点所在坐标轴. （二）方法 1.研究方法：观察、比较、概括、 归纳、类比、分析. 2.学习方法：类比. 3.解题方法：（1）定义法（用定 义解题） ；（2）标准方程的求法：直接 法、待定系数法、定义法. （三）数学思维策略 数形迁移、由此及彼. （四）数学思想 数形结合、等价转化. 设计意图：通过画龙点睛，提纲 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 12 挈领的小结，对所学知识进行提炼升华， 形成学生自