2003年宁波市至诚杯初二数学竞赛试卷

2003 年宁波市至诚杯初二数学竞赛试卷第 l 试 1 2003 年宁波市至诚杯初二数学竞赛试卷第 2 试 5 2004 年宁波市舜水杯初二数学竞赛试卷第 1 试 8 2004 年宁波市舜水杯初二数学竞赛试卷第 2 试 13 2003 年宁波市至诚杯初二数学竞赛试卷第 l 试 (考试时间：2003 年 12 月 14 日 9:30 一一 11:00) 填空题（共 30 题，满分 100 分，其中 120 题每题 3 分，2130 题每题 4 分） 1. 计算 _.20452031 2. 如图,长方形 ABCD 内的每个圆的面积是 9，那么长方形 ABCD 的面积是_. 3. 如图，射线 AD 是BAC 的角平分线，已知 ACD 度数是 那么要使 AB/CD，ADC 的度数必须是_. 4.若 ， 则 AB+2BA2223,3yxByx (A+B)化简后的结果为_（用含 、 的代数式表示） . 5.如图，一个长方体盒子，一只蚂蚁由 A 出发，在盒子的表 面上爬到点 C1，已知 AB=7cm，BC=CC 1=5 cm ，则这只蚂蚁爬 行的最短路程是_. 6.甲、乙、丙三种货物，若购甲 3 件，乙 7 件，丙 1 件，共 需 325 元，若购甲 4 件，乙 10 件，丙 1 件共需 410 元，那么 购甲、乙、丙各 1 件共需_元. 7.如图，要把角钢(左图)变成 1400的钢架(右图)，则需在角钢(左图)上截去的缺口的度 数是_度 8.已知 化简,0ba _22)4()1( 。 9.如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为 2 和 8， 图中阴影部分的面积为_。 A B C D A B C D A1 B1 C1 D1 A B CD 140 10.投寄平信，每封信质量不超过 20g 时邮费为 0.80 元,超过 20g 而不超过 40g 时付邮费 1.60 元,依此类推,每增加 20g 需增加邮费 0.80 元(信的质量在 100g 以内).如果某人所寄 一封信的质量为 72.5g,那么他应付邮费_元. 11.如图,把 纸片沿 DE 折叠,当点 A 落在四边形 BCDE 内ABC 部时,则A 与1+2 之间有一种数量关系始终保持不变，请 找一找这个规律，你发现的规律是_. 12.有一个正方体,A,B,C 的对面分别是 三个字母,如图zyx 所示,将这个正方体从现有位置依此翻到第 1,2,12 格,这 时顶上的字母是_. 13.至诚学校初一年级数学竞赛,得 100 分的有 2 人,9099 分的有 9 人, 8089 分的有 17 人, 7079 分的有 28 人, 6069 分的有 36 人, 5059 分的有 7 人, 还有 1 人得 48 分,则总平 均成绩介于_分(最小值)与_分 (最大值)之间. 14.大于 1000 的某数,若加上 79 成为一个整数的平方;若加上 204,又得到另一个整数的平 方,则原来这个数为_. 15.一列火车长 300 米,从车头进入隧道到车尾开出隧道,需要时间 1 分,车身完全在隧道 里的时间为 30 秒,则隧道的长度为_米. 16.计算: )20413)(20431()20431)(2031( _. 17.现有 8 根木棒,它们分别是 1,2,3,4,5,6,7,8,若从 8 根木棒 中抽取 3 根拼三角形,要求三角形的最长边为 8,另两边之差大于 2(以上单位:厘米),那么可以拼成不同三角形的种数为_种. 18.如图,五边形 ABCDE 中, ,09AEDBC ,则这个五边形 ABCDE 的面积等1AECDB 于_. 19.如图,竖式加法题中的四个字“至、诚、数、学”各表示 19 的不同 数字,那么“至”字不可能是数字_. 20.如图,每一个圆的面积是 28,A 与 B,B 与 C,C 与 A 的重合部分面积分别 为 6,8,5,三个圆 的总覆盖面积为 70,那么阴影部分的 面积为 _. 21.如图,在正方 形 ABCD 中,E 是 BC 的中点,DEF 的 面积等于 2,则此 B C （ 第 12题 ） A 12 3 4 5 6 7 8910 11 12 A B C D E （ 第 11题 ） 1 2 AB C D E （ 第 18题 ） 至 诚诚 至+ 数 学 数 （ 第 19题 ） A B C （ 第 20题 ） 正方形 的面积等于_.ABCD 22.把自然数 1,2,3,4, 随意放置在一个圆周上,据统计,在所n2 有相邻的三个数中, 三个数全为奇数的有 组, 三个数中恰有两a 个为奇数的有 组, 三个数中恰有一个为奇数的有 组, 三个数bc 都为偶数的有 组,如果 那么 的值为d,0dadb _. 23.ABC 中, 以 C 为中心将 旋转,90ACBAB 角到 (旋转过程中保持 的形状大小不变)B 点恰落在 上,如图,则旋A11 转角 的大小为_. （ 第 24题 ） A 1 B 1 A B C （ 第 23题 ） 24.我市某区在中心广场要建造一个花圃，花圃分为 4 个部分(如图)，现要求同一个区域 内种同一种颜色的花，要求相邻部分不能栽种相同颜色的花，则不同的栽种方法共有 _种 25.某次数学竞赛中，只有 20 个选择题，对每个选择题做对得 8 分，做错扣 5 分，不做 记零分,已知 A 在这次考试中的得分是 13 的整数倍，则 A 在这次考试中没有做的题的个 数为_ 26.规定：用m表示大于 m 的最小整数，例如2.5=3，5=6，1.3=1 等；用m 表示不大于 m 的最大整数，例如3.2=3，4=4，1.5= 2，若整数 满足关系yx, 式: 则 _.,20,2033yxyx yx 27.学生甲、乙、丙三人竞选学校的学生会主席，选举时收到有效选票 1500 张，统计其 中 1000 张选票的结果是：甲 350 张，乙 370 张，丙 280 张，则甲在剩下的 500 张选票中 至少再得_票,才能保证以得票最多当选该校的学生会主席. 28.如图,有一颗棋子放在图中的 1 号位置上,现按顺时针方向,第一次 跳一步到 2 号位置上,第二次跳两步跳到 4 号位置上, 第三次跳三步 又跳到了 1 号位置上, 第四次跳四步一直进行下去,那么第 2003 次跳 2003 步就跳到了_号位置上. 29.数学上，为了简便，把 1 到 n 的连续 n 个自然数的乘积记作： （ 第 28题 ） 1 2 3 4 5 6 B C D E（ 第 21题 ） A F n!，即 n!=123(n1)n,将上述 n 个自然数的和记作 即 nk1, 则 的值等于_.nk n1,32 20314!ii 30.由红点与蓝点组成的 16 行与 16 列的正方形点阵中，相邻同色两点用与点同色的线段 连结，相邻异色两点均用黄色的线段连结已知共有 133 个红点，其中 32 个点在方阵的 边界上，2 个点在方阵的角上若共有 196 条黄色线段，试问应有_条蓝色线段. 2003 年宁波市至诚杯初二数学竞赛试卷答案 1 2 3 4 5 6 12 108 900 212 xy149155 7 8 9 10 11 12 40 3 2 3.2 A21x 13 14 15 16 17 18 68.88，77.6 1 3765 900 20414 1 19 20 21 22 23 24 1、2、9 61 12 3 284 25 26 27 28 29 30 20 或 7 572 261 1 1 134 2003 年宁波市至诚杯初二数学竞赛试卷第 2 试 (考试时间：2003 年 12 月 28 日 9:30 一一 11:30) 一、选择题（每小题 6 分，共 30 分） 1如图，三个图形的周长相等，则（ ） （A）c填空） 。 18、如图，ABC 中，ADBC 于 D，E、F、G 分别是ABC 三边的中点， 那么DEF 经哪些运动可成为GFE？答： 。 19、如图，用七支完全相同的新铅笔，排成一个菱形 ABCD 和一个等 边三角形 AEF，使得点 E 在 BC 上，F 在 CD 上，那么菱形的C 的度 数是 度。 20、将 8 张同样大小的正方形纸，如图所示叠放在一张桌上，只有 标号为 1 的那张纸能被全部看到，其余的 7 张纸都只能看到一部分。 你认为按顺序自上而下叠放的纸的标号应该是 1， 。 21、下列各个随机事件，若按它们出现的机会大小从小到大的顺序， 用11，8x+9y+10z=100 若 x+y+z1 3，则 8x+9y+10z813100， 故 x+y+z=12 可得 x=9，y=2，z=1 271 解：N=19202122909192 的各位数字之和为 (2+3+8)+7(0+l+2+9)+(9+0+9+1+9+2+1+9)=390=3130 其不能被 9 整除，所以 k=1 2823 解：k 个自然数中，以 7 为模，可能的形式有 7k，7k+1，7k+2，7k+3，7k+4，7k+5，7k+6 七种其中最多有一个是 7 七形式，8 个是 7k+1 形式，7 个是 7 后+2 形式，7 个是 7 七3 形式所以最多一共有 2 3 个 29on 是示：由题意得 x1+2X2=26k1+16 3X2=2k2+l6 x3+2x4=26k3+23 3x4=26k4+l5 由此分析可得 X3=l3 ，x l=14 301/4，1/4，0，1/4，1/4，0 提示：a=|bc| a=bc，则 b=a，c=0， 或 a=c-b，则 a=c，b=O 2004 年宁波市舜水杯初二数学竞赛试卷第 2 试 (考试时间：2 O 0 4 年 1 2 月 2 6 日 9：3 0-1 1：3 O) 一、选择题(每小题 6 分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的) 1四个壮小伙子正好同五个胖姑娘力量甲衡，两个胖姑娘和一个壮小伙子同两个瘦姑娘 势均力敌。那么当左边是两个瘦姑娘和三个胖姑娘，右边是一个胖姑娘和四个壮小伙子 时，会发生的结果是 ( ) A左边赢； B右边赢； C恰好平衡； D无法判断 2设四个自然数 a,b,c,d 满中条件 1ab，两边一比较，可得 A左边 2解：a+b+c+d=ad+bc,(a-1)(d-1)+(b-1)(c-1)=2,分类讨论得 a=1，b=2，c=3，4d2 004m=12004，n=24， =2008，取 D。 。 6nm 3解：得分总和应为 n(n-1)的形式，正确的是 240(1 61 5)，取 C。 4解： 满足程度 5解：顺次连结 B1B2，B 2B3，BnB 1，则正 n 角星分成内部一个正 n 边形，边上 n 个一样的三角形。正 n 角星的所有内角的和为(n-2)1 8 O+n1 8 O=(2n-2)1 80。又是 n 个相等的角A 1和 n 个相等的 360-B 1(B 1为锐角)，有(2n-2)1 80=nA 1+n(360一B 1)，n(B 1A 1)=2180，n=3 6。 取 C。 二、填空题：每小题 6 分，共 30 分 6.解：DAE=70，ADE 是等腰三角形。有ADE=5 5。 7.解：点 A 在数轴的负方向的-1/4 处，线段 AB 的“长度“为 5/4 单位。 8.解：余姚舜水中学=宁ll1111，宁宁宁宁宁宁=宁1 5 8737，宁=6 9.解：作 B 关于直线 AC 的对称点 B1，过 E 作B 的垂线，垂足 N。 10解：9，6，5，K，3，Q，8，10，A，2，7，J，4。 三、解答题：每小题 20 分，共 60 分 11解：如图，将三角形 AOB 绕点 A 逆时针旋转 60到三角形 AOC 的位置。 在三角形 AOO中，OAO=60，AO=AO ，所以三角形 AOO为等边三角形，OO =OA。又 OB=OC，所以三角形 OOC 为以 OA、OB、OC 为三边的三角形。由此可以求出 COO=115-60=55， OOC=60， OCO=65 12解：设在点 D 处；若在点 P 处新开设了一个分厂，那么现在该车站应该设 D，E 之间 的的任何一点处。 (各 5 分) 理由：将公路看成直线 (5 分) 1 3解：(1) 纸片的边长 n 2 3 4 5 n 使用的纸片张数 11 10 9 8 12-n+1 (2) S 1=34，S 2=11O，所以 S1：S 2=17：55； S 1=(纸牌张数-1)(2n-1)+n 2=25n-n2-l2 25n-n2-12=72，n 225n+84=0，经试验可得 n=4。 2004 年宁波舜水杯 初二数学竞赛试卷卷模拟试题 参考答案部分 填空题（共 25 题，满分 100） 1、有一只手表每小时比准确时间慢 3 分钟, 若在清晨 4:30 与 准确时间对准, 则当天 上午手表指示的时间是 10:50, 准确时间应该是 11:10 。 设标准时间经过了 x 小时，则 3x=(4.5+x- ) 60 得 x=6 小时 40 分5106 2、 将正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作(见下图).按上边 规则完成五次操作以后，剪去所得小正方形的左下角. 问:当展开这张正方形纸片 后，一共有 256 个小孔 3、已知关于 x 的整系数的二次三项式 ax2+bx+c,当 x 分别取 1，3，6，8 时，某同学算得 这个二次三项式的值分别为 1，5，25，50，经过验算，只有一个结果是错误的，这个 错误的结果是 25 。 (由 36a+6b+c=25 知 c 为奇数，由 64a+8b+c=50 知 c 为偶数，则两式中必有一错) 4、 下表记录了某次钓鱼比赛中,钓到 n 条鱼的选手数: n 0 1 2 3 13 14 15 钓到 n 条鱼的人数 9 5 7 23 5 2 1 已知：（1）冠军钓到了 15 条鱼; (2)钓到 3 条或更多条鱼的所有选手平均钓到 6 条鱼; (3)钓到 12 条或更少鱼的所有选手平均钓到 5 条鱼;则参加钓鱼比赛的所有选手共钓到 943 条鱼。 （设所有选手共 x 人，6（x-9-5-7）+19=5(x-5-2-1)+13 5+14 2+15 ） 5、如图，在一个正方体的两个面上画了两条对角线 AB，AC，那么这两条 对角线的夹角等于 60 度。 6、一个木制的立方体，棱长为 n（n 是大于 2 的整数） ，表面涂上黑色，用刀片平行于立 方体的各面，将它切成 个棱长为 1 的小立方体，若恰有一个面涂黑色的小立方体3 的个数等于没有一个面涂黑色的小立方体的个数，则 n 8 . ( 列方程 6（n-2） 2=(n-2)3得 n=8 ) 7、把 8 张不同的扑克牌交替的分发成左右两叠：左一张，右一张，左一张，右一张， ；然后把左边一叠放在右边一叠上面，称为一次操作。重复进行这个过程，为了使 扑克牌恢复到最初的次序，至少要进行操作的次数是 3 。 8、一台大型计算机中排列着 500 个外形相同的同一种元件，其中有一只元件已损坏，为 了找出这一元件，检验员将这些元件按 1500 的顺序编号，第一次先从中取出单数序 号的元件，发现其中没有坏元件，他将剩下的元件在原来的位置上又按 1250 编号。 （原来的 2 号变成 1 号，原来的 4 号变成 2 号）又从中取出单数序号的元件进行检查， 仍没有发现如此下去，检查到最后一个元件，才是坏元件。则这只元件的最初编号是 256 。 9、已知 , 则 0132x1324x10 (倒数法，将所求的算式取倒数，即 x2+1/x2+3,已知 x+1/x=3, x2+1/x2=7) 10、一个长方体的长、宽、高分别为 9cm, 6cm, 5cm，先从这个长方体上尽可能大的切下 一个正方体，再从剩余部分上又尽可能大的切下一个正方 体，最后再从第二次剩余部分上又尽可能大的切下一个正 方体，那么经过三次切割后剩余部分的体积为 73 cm3. （第一次切下 53，第二次切下 43, 第三次切下 23） 11、如图所示八角星中,A+B+C+D+E+F+H+G=_360_度。 （180x8-所求=360x3） 12、电影胶片绕在盘上，空盘的盘心直径为 60mm, 现有厚度为 0.15mm 的胶片，它紧紧的 缠绕在盘上，共 600 圈，那么这盘胶片的总长度约为 256 米（3.14） 。 (圆环的面积等于胶片的总长度乘以厚度) 13、如图，三角形 ABC 的面积为 1，BDDC=21，E 为 AC 的 中点，AD 与 BE 相交于 P，那么四边形 PDCE 的面积为 730 （如图可知 4x=3y, 4x+x+x+y+2y=1,得 x=1/10） 14 、A，B，C，D 四个盒子中分别放有 6，5，4，3 个球，第 一个小朋友找到放球最少的盒子，从其它的盒子中各取 1 个球放入这个盒子中，然后第 二个小朋友又找到一个放球最少的盒子，从其它的盒子中各取 1 个球放入这个盒子中， 如此进行下去，当第 2004 个小朋友放完后，A，B，C，D 四个盒子中的球数依次是 6, 5, 4, 3 。 （6，5，4，35，4，3，64，3，6，53，6，5，46，5，4，3周期为 4） 15、在一个乘法幻方中，每一行之积，每一列之积，对角线上数的积都相 等。如果在右图的空格中填上正整数，构成一个乘法幻方。那么 x 的值 是_2_。 (设每一行之积，每一列之积，以及对角线上的数的积都为 a,则各处空 格内填的数如图所示，可列方程 )24x 16、在一个立方体的八个顶点分别写上数字 1,2，3,，8，使得六个面的顶点上的数字 分别为 1，2，6，7,1，4，6，8, 1，2，5，8 2，3，5，7,3，4，6，7和3，4，5，8 写有数字_5_的顶点与写有数字 6 的顶点距离最远。 （与 6 在同一面上的数字有 1，2，3，4，7，8） 17、选取四个正整数 a,b,c,d ,且 abcd，使得 是一个整数，那么dcba 11 符合要求的 a,b,c,d 共有 7 种选取方式。 (2,3,7,42); (2,3,8,24); (2,3,9,18); (2,3,10,15); (2,4,5,20); (2,4,6,12); (1,2,3,6) 18、如图，已知梯形 ABCD，ADBC，B+C=90， EF=10，E，F 分别是 AD，BC 的中点，则 BCAD_20_（如图添加平行线， 直角三角形斜边 的中线等于斜边的 一半） 19、如图，正方形 ABCD 的边长为 1，P 为 AB 上的点，Q 为 AD 上的点