2009(上)《数理统计》考试题(a卷)及参考解答

2009(上)数理统计考试题(A 卷)及参考解答 一、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1，设总体 和 相互独立，且都服从正态分布 ，而 和 是分XY2(0,3)N129(,)X 129(,)Y 别来自 和 的样本，则 服从的分布是 _ .1922XUY 解： (9)t 2，设 与 都是总体未知参数 的估计，且 比 有效，则 与 的期望与方差满足_ .121212 解： 12(), ()ED 3， “两个总体相等性检验”的方法有_ 与_ _. 解：秩和检验、游程总数检验 4，单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是_ . 解：正态性、方差齐性、独立性 5，多元线性回归模型 中， 的最小二乘估计是 _ .YX = 解： 1 =() 二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1，设 为来自总体 的一个样本， 为样本均值， 为样本方差，则12(,)(2nX (0,1)NX2S _D_ . （A） ； （B） ；(0,)nN: 2()nS: （C） ； （D） .1tS 12(,)niiFnX 2，若总体 ，其中 已知，当置信度 保持不变时，如果样本容量 增大，则2(,)XN:2 的置信区间_B_ . （A）长度变大； （B）长度变小； （C）长度不变； （D）前述都有可能. 3，在假设检验中，分别用 ， 表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量 一定时， n 下列说法中正确的是_C_ . （A） 减小时 也减小； （B） 增大时 也增大； （C） 其中一个减小，另一个会增大； （D） （A）和（B）同时成立., 4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设 为总离差平方和， 为误差平方和， 为效应平方TSeSAS 2 和，则总有_A_ . （A） ； （B） ；TeAS 2(1)ASr: （C） ； （D） 与 相互独立./(1)(,)erFrnn: e 5，在一元回归分析中，判定系数定义为 ，则_B_ .2TSR回 （A） 接近 0 时回归效果显著； （B） 接近 1 时回归效果显著；2R 2R （C） 接近 时回归效果显著； （D）前述都不对. 三、 （本题 10 分）设总体 、 ， 和 分21(,)XN:2(,)Y:112(,)nX 2(,)nY 别是来自 和 的样本，且两个样本相互独立， 和 分别是它们的样本均值和样本方差，XYX、 YS、 证明 ，1212()()()nYtnS: 其中 . 2221()(1)XYnS 证明：易知 ， 211(,)Nn: 12()()(0,1)XYUNn: 由定理可知 ， 211()()XSn:22(1)(1)YS: 由独立性和 分布的可加性可得2 221 12()()()XYnSVn: 由 与 得独立性和 分布的定义可得UVt 12 1212()()()/()nYUtVnS 四、 （本题 10 分）已知总体 的概率密度函数为 其中未知参数 , X, 0(), xef其 它 0 为取自总体的一个样本，求 的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计量12(,)nX 3 解：（1） ，用 代替，所以1 01() xvEXxfded1niivX niiX1 （2） ，所以该估计量是无偏估计1()() niiEXE 五、 （本题 10 分）设总体 的概率密度函数为 ，其中未知参数 ，(;)1,01fxx1 是来自总体 的一个样本，试求参数 的极大似然估计12(,)nX 解： 1 () ,01) niixxL其 它 当 时， ，令 ，得01ix1ln()l()lniix1l()ln0iidLx 1lniix 六、 （本题 10 分）设总体 的密度函数为 未知参数 ，Xe,0;(;),xf 0 为总体的一个样本，证明 是 的一个 UMVUE12(,)nX 1 证明：由指数分布的总体满足正则条件可得 ， 221()ln(;)IEfxE 的的无偏估计方差的 C-R 下界为1 2212()1nIn 另一方面 ， ，()1EX21Var()Xn 即 得方差达到 C-R 下界，故 是 的 UMVUEX 4 七、 （本题 10 分）合格苹果的重量标准差应小于 0.005 公斤在一批苹果中随机取 9 个苹果称重, 得 其样本标准差为 公斤, 试问：（1）在显著性水平 下, 可否认为该批苹果重量标准差达07.S 05. 到要求? （2）如果调整显著性水平 ，结果会怎样？0.25 参考数据: , , , 23.9)(205.91.6)(.3.17)8(205.507.1)8(205. 解：（1） ，则应有： 220:.,nSH ，2 20.50.58.,(8)1.7P 具体计算得： 所以拒绝假设 ，即认为苹果重量标准差指标未达到2280.71.6.7,5 0H 要求 （2）新设 由 则接受假设，20:.,H 2220.58.7.3, 15.687.3,0 即可以认为苹果重量标准差指标达到要求 八、 （本题 10 分）已知两个总体 与 独立， ， ， 未知，XY21(,)2(,)Y211, , 和 分别是来自 和 的样本，求 的置信度为 的置信区间.112(,)nX 2(,)nY 12 解：设 分别表示总体 的样本方差，由抽样分布定理可知2, XYSY， ， ， 211()()XnSn:22(1)(1)YSn: 由 分布的定义可得F 2112122 12()()(,)XXYYSFFnnS: 对于置信度 ，查 分布表找 和 使得1/212(,)n1/22(,) ， / /1PFFn 即 ， 22211/ /1(,)(