2017年福建省莆田市高考数学一模试卷（理科）含答案解析

2017 年福建省莆田市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知集合 A=x|6x+5 0， B=x|y=x 2） ，则 A B=（ ） A（ 1， 2） B 1， 2） C（ 2， 5 D 2， 5 2设复数 z 满足（ 1 i） z=3+i，则 z=（ ） A 1+2i B 2+2i C 2 i D 1+i 3设 a 为实数，直线 ax+y=1， x+a，则 “a= 1”是 “（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也必要条件 4已知函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f（ x） =2x，则 f（ 2）=（ ） A B 4 C D 4 5我国古代数学著作孙子算经中有如下的问题： “今有方物一束，外周有三十二枚，问积几何？ ”设每层外周枚数为 a，如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为（ ） A 121 B 81 C 74 D 49 6抛掷一枚均匀的硬币 4 次，正面不连续出现的概率是（ ） A B C D 7已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C 2 D 8已知函数 f（ x） = x+）（ 0， ）， A（ ， 0）为 f（ x）图象的对称中心， B， C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若 ，则f（ x）的单调递增区间是（ ） A（ 2k ， 2k+ ）， k Z B（ 2， 2）， k Z C（ 4k ， 4k+ ）， k Z D（ 4， 4）， k Z 9已知双曲线 E： =1（ a 0， b 0），点 F 为 E 的左焦点，点 P 为 P 关于原点的对称点为 Q，且满足 |3|若|b，则 E 的离心率为（ ） A B C 2 D 10在直角梯形 ， A=90， 面积为 2，若 = ， 的值为（ ） A 2 B 2 C 2 D 2 11设 F 为抛物线 C： x 的焦点，过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、 B 两点，线段 垂直平分线交 x 轴于点 M，若 |6，则 |长为（ ） A B C 2 D 3 12定义在 R 上的函数 f（ x）的导函数为 f（ x）， f（ 0） =0 若对任意 x R，都有 f（ x） f（ x） +1，则使得 f（ x） +1 成立的 x 的取值范围为（ ） A（ 0， + ） B（ ， 0） C（ 1， + ） D（ ， 1） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上 . 13（ x+y） 5 的展开式中， 系数为 14若 x， y 满足约束条件 ，则 z=x 2y 的最大值为 15 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 = ，则 的取值范围是 16如图，在菱形 ， M 为 交点， ， ，将 起到 位置，若点 A， B， D， 在球 O 的球面上，且球 O 的表面积为 16，则直线 平面 成角的正弦值为 三、解答题：本大题共 5 小题，满分 60 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（ 12 分）已知数列 前 n 项和 ，其中 k 为常数， （ 1）求 k 的值及数列 通项公式； （ 2）设 ，数列 前 n 项和为 明： 18（ 12 分）某企业有甲乙两个分厂生产某种产品，按规定该产品的某项质量指标值落在 45， 75）的为优质品，从两个分厂生产的产品中个随机抽取 500 件，测量这些产品的该项质量指标值，结果如表： 分组 25， 35， 4， 55） 55， 65） 65， 75） 75， 85，35） 45） 85） 95） 甲厂频数 10 40 115 165 120 45 5 乙厂频数 5 60 110 160 90 70 5 （ 1）根据以上统计数据完成下面 2 2 列联表，并回答是否有 99%的把握认为：“两个分厂生产的产品的质量有差异 ”？ （ 2）求优质品率较高的分厂的 500 件产品质量指标值的样本平均数 （同一组数据用该区间的中点值作代表） （ 3）经计算，甲分厂的 500 件产品质量指标值的样本方差 42，乙分厂的 500件差评质量指标值的样本方差 62，可认为优质品率较高的分厂的产品质量指标值 X 服从正态分布 N（ ， 2），其中 近似为样本平均数 ， 2 近似为样本方差 优质品率较高的厂的抽样数据，能够认为该分厂生产的产品的产品中，质量指标值不低于 产品至少占全部产品的 18%？ 附注： 参考数据： 考公式： P（ 2 x +2） =P（ 3 x +3） = P（ k） h 9（ 12 分）如图，在圆柱 ，矩形 过 截面 圆柱母线， ， ， （ 1）证明： 平面 （ 2）在圆 O 所在的平面上，点 C 关于直线 对称点为 D，求二面角 D B 的余 弦值 20（ 12 分）已知曲线 E： =1（ a b， a 1）上两点 A（ B（ （ 1）若点 A， B 均在直线 y=2x+1 上，且线段 点的横坐标为 ，求 a 的值； （ 2）记 ，若 为坐标原点，试探求 面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由 21（ 12 分）已知函数 f（ x） =23， g（ x） = （ 1）若过点 P（ a， 4）恰有两条直线与曲线 y=f（ x）相切，求 a 的值； （ 2）用 p， q表示 p， q 中的最小值，设函 数 h（ x） =f（ x）， g（ x） （ x 0），若 h（ x）恰有三个零点，求实数 k 的取值范围 选修 4标系与参数方程 22（ 10 分）在直角坐标系 ，圆 C 的方程为（ x 1） 2+（ y 1） 2=2，在以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 （ 1）写出圆 C 的参数方程和直线 l 的普通方程； （ 2）设点 P 为圆 C 上的任一点，求点 P 到直线 l 距离的取值范围 选修 4等式选讲 23已知函数 f（ x） =|x 4|+|x 2| （ 1）求不等式 f（ x） 2 的解 集； （ 2）设 f（ x）的最小值为 M，若 2x+a M 的解集包含 0， 1，求 a 的取值范围 2017 年福建省莆田市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知集合 A=x|6x+5 0， B=x|y=x 2） ，则 A B=（ ） A（ 1， 2） B 1， 2） C（ 2， 5 D 2， 5 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 A 中不等式的解集确定出 A，求出 B 中 x 的范围确定出 B，找出A 与 B 的交集即可 【解答】 解：由 A 中不等式变形得：（ x 1）（ x 5） 0， 解得： 1 x 5，即 A=1， 5， 由 B 中 y=x 2），得到 x 2 0， 解得： x 2，即 B=（ 2， + ）， 则 A B=（ 2， 5， 故选： C 【点评】 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2设复数 z 满足（ 1 i） z=3+i，则 z=（ ） A 1+2i B 2+2i C 2 i D 1+i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则、共轭复数的意 义即可得出 【解答】 解： （ 1 i） z=3+i， （ 1+i）（ 1 i） z=（ 3+i）（ 1+i），化为： 2z=2+4i，即 z=1+2i 故选： A 【点评】 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 3设 a 为实数，直线 ax+y=1， x+a，则 “a= 1”是 “（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据充分必要条件的定义，结合 直线平行的性质及判定分别进行判断即可 【解答】 解： 到： 1=0，解得： a= 1 或 a=1， 所以应是充分不必要条件 故选： A 【点评】 本题考查了充分必要条件，考查直线平行的充要条件，是一道基础题 4已知函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f（ x） =2x，则 f（ 2）=（ ） A B 4 C D 4 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 依题意首先把 x 0 时，函数的解析式求出再把 x= 2 代入函数式得出答案 【解答】 解：设 x 0，因为函数 f（ x）是定义在 R 上 的奇函数， f（ x） = f（ x） = 2（ x） 当 x 0 时，函数的解析式为 f（ x） = 2 x f（ 2） = 2（ 2） = 4 故选 B 【点评】 本题主要考查函数的奇偶性问题此类问题通常先求出函数的解析式 5我国古代数学著作孙子算经中有如下的问题： “今有方物一束，外周有三十二枚，问积几何？ ”设每层外周枚数为 a，如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为（ ） A 121 B 81 C 74 D 49 【考点】 程序框图 【分析】 模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 S， a 的值，当 a=40 时，不满足条件 a 32，退出循环，输出 S 的值为 81，即可得解 【解答】 解：模拟程序的运行，可得 a=1， S=0， n=1 满足条件 a 32，执行循环体， S=1， n=2， a=8 满足条件 a 32，执行循环体， S=9， n=3， a=16 满足条件 a 32，执行循环体， S=25， n=4， a=24 满足条件 a 32，执行循环体， S=49， n=5， a=32 满足条件 a 32，执行循环体， S=81， n=6， a=40 不满足条件 a 32，退出循环，输出 S 的值为 81 故选： B 【点评】 本题考查了求程序框 图运行结果的问题，解题时应模拟程序框图运行过程，总结规律，得出结论，属于基础题 6抛掷一枚均匀的硬币 4 次，正面不连续出现的概率是（ ） A B C D 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【分析】 先求出基本事件总数 n=24=16，再求出正面不连续出现包含的基本事件个数 m=1+ =8，由此能求出抛掷一枚均匀的硬币 4 次，正面不连续出现的概率 【解答】 解：抛掷一枚均匀的硬币 4 次， 基本事件总数 n=24=16， 正面不连续出现包含的基本事件个数 m=1+ =8， 抛掷一枚均匀的硬币 4 次， 正面不连续出现的概率： p= = 故选： B 【点评】 本题考查概率的求法，以及化简整理的运算能力，属于基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用 7已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C 2 D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 如图所示，该几何体为：多面体 底面 底面 矩形 等腰直角三角形， ， 接几何体的体积 V=B 即可得出 【解答】 解：如图所示，该几何体为：多面体 底面 底面 矩形 等腰直角三角形， ， 连接 几何体的体积 V=B + = 故选： B 【点评】 本题考查了三棱锥的三视图与体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 8已知函数 f（ x） = x+）（ 0， ）， A（ ， 0）为 f（ x）图象的对称中心， B， C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若 ，则f（ x）的单调递增区间是（ ） A（ 2k ， 2k+ ）， k Z B（ 2， 2）， k Z C（ 4k ， 4k+ ）， k Z D（ 4， 4）， k Z 【考点】 正弦函数的单调性 【分析】 由题意可得 + =42，求得 的值，再根据对称中心求得 的值，可得函数 f（ x）的解析式，利用正弦函数的单调性，求得 f（ x）的单调递增区间 【解答】 解：函数 f（ x） = x+）（ 0， ）， A（ ， 0）为 f（ x）图象的对称中心， B， C 是该图象上相邻的最高点和最低 点，若 ， + =42，即 12+ =16，求得 = 再根据 +=k Z，可得 = ， f（ x） = x ） 令 2 x 2，求得 4 x 4， 故 f（ x）的单调递增区间为（ 4， 4）， k Z， 故选： D 【点评】 本题主要考查正弦函数的周期性、最值以及单调性，属于中档题 9已知双曲线 E： =1（ a 0， b 0），点 F 为 E 的左焦点，点 P 为 P 关于原点的对称点为 Q，且满足 |3|若|b，则 E 的离心率为（ ） A B C 2 D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由题意可知：四边形 平行四边，利用双曲线的定义及性质，求得 0，在 ，利用勾股定理即可求得 a 和 b 的关系，根据双曲线的离心率公式即可求得离心率 e 【解答】 解：由题意可知：双曲线的右焦点 P 关于原点的对称点为 Q， 则丨 =丨 ， 四边形 平行四边， 则丨 =丨 ，丨 =丨 ， 由 |3|根据椭圆的定义 丨 丨 =2a， 丨 =a， |b，丨 =c， 0， 在 ，丨 =2b，丨 =3a，丨 =a， 则（ 2b） 2+ 3a） 2，整理得： 则双曲线的离心率 e= = = ， 故选 B 【点评】 本题考查双曲线的简单几何性质简单几何性质，考查数形结合思想，属于中档题 10在直角梯形 ， A=90， 面积为 2，若 = ， 的值为（ ） A 2 B 2 C 2 D 2 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 如图建立平面直角坐标系，设 AD=m，则 ，由 ， m 即可 【解答】 解：如图建立平面直角坐标系，设 AD=m，则 ， A（ 0， ）， D（ m， ）， C（ 2m， 0） ， ， =（ ） ， m= ， ， 则 的值为 +02 = 2 故选： A 【点评】 本题考查了，向量的坐标运算，属于基础题 11设 F 为抛物线 C： x 的焦点，过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、 B 两点，线段 垂直平分线交 x 轴于点 M，若 |6，则 |长为（ ） A B C 2 D 3 【考点】 直线与抛物线的位置关系 【分析】 先根据抛物线方程求出 p 的值，再由抛物线的性质求出 垂直平分线方程，可得到答案 【解答】 解： 抛物线 x， p=2， 设经过点 F 的直线 y=k（ x 1）与抛物线相交于 A、 B 两点， A（ B（ x2， 直线 y=k（ x 1）代入 x，整理可得 2） x+， x1+ 利用抛物线定义， 点横坐标为 x1+ p=6 2=4 点横坐标为2 2+ =4， k= 点纵坐标为 k， 垂直平分线方程为 y k= （ x 2）， 令 y=0，可得 x=4， |3 故选： D 【点评】 本题主要考查了抛物线的性质属中档题解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用，确定 垂直平分线方程是关键 12定义在 R 上的函数 f（ x）的导函数为 f（ x）， f（ 0） =0 若对任意 x R，都有 f（ x） f（ x） +1，则使得 f（ x） +1 成立的 x 的取值范围为（ ） A（ 0， + ） B（ ， 0） C（ 1， + ） D（ ， 1） 【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用 【分析】 构造函数： g（ x） = ， g（ 0） = = 1对任意 x R，都有 f（ x） f（ x） +1，可得 g（ x） = 0，函数 g（ x）在 R 单调递减，利用其单调性即可得出 【解答】 解：构造函数： g（ x） = ， g（ 0） = = 1 对任意 x R，都有 f（ x） f（ x） +1， g（ x） = = 0， 函数 g（ x）在 R 单调递减， 由 f（ x） +1 化为： g（ x） = 1=g（ 0）， x 0 使得 f（ x） +1 成立的 x 的取值范围为（ 0， + ） 故选： A 【点评】 本题考查了构造函数法、利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上 . 13（ 2x 1）（ x+y） 5 的展开式中， 系数为 20 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 把（ x+y） 5 按照二项式定理展开，可得（ x 2y）（ x+y） 5 的展开式中系数 【解答】 解：根据根据（ x+y） 5 =（ 可得（ 2x 1）（ x+y） 5 的展开式中， 系数为 2 =20， 故答案为： 20 【点评】 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题 14若 x， y 满足约束条件 ，则 z=x 2y 的最大值为 2 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， 化目标函数 z=x 2y 为 ， 由图可知，当直线 过点 A（ 2， 0）时，直线在 y 轴上的截距最小， z 有最大值为 2 故答案为： 2 【点评】 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 15 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 = ，则 的取值范围是 （ 1， 2 【考点】 余弦定理 【分析】 由已知整理可得： b2+a2=余弦定理可得 ，结合范围 A （ 0， ），可求 A，由三角形内角和定理可求 C= B，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得 =2B+ ），由 B （ 0， ），利用正弦函数的性质可求 B+ ） （ ， 1，即可得解 【解答】 解： = ，可得：（ a b+c）（ a+b c） = 整理可得： b2+a2= 由余弦定理可得： = = ， A （ 0， ）， A= ，可得： C= B， = = = =2B+ ）， B （ 0， ）， B+ （ ， ），可得： B+ ） （ ， 1， =2B+ ） （ 1， 2 故答案为：（ 1， 2 【点评】 本题主要考查了余弦定理，三角形内角和定理，正弦定 理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 16如图，在菱形 ， M 为 交点， ， ，将 起到 位置，若点 A， B， D， 在球 O 的球面上，且球 O 的表面积为 16，则直线 平面 成角的正弦值为 【考点】 直线与平面所成的角 【分析】 求出球半径为，根据图形找出直线 平面 成角，解三角形即可 【解答】 解：如图所示，设 O 为球心， E、 F 分别为 外接圆圆心， 则有 面 面 菱形 ， ， 等边 ，故 E、 F 分别为 中心 球 O 的表面积为 16， 球半径为 2 在直角 ， ， ， ， 面 其补角）就是直线 平面 成角 2 = ， ， 直线 平 面 成角的正弦值为 ， 故答案为： 【点评】 本题考查了棱锥与外接球的关系，找出线面角是解题关键属于中档题 三、解答题：本大题共 5 小题，满分 60 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（ 12 分）（ 2017莆田一模）已知数列 前 n 项和 ，其中 k 为常数， 等比数列 （ 1）求 k 的值及数列 通项公式； （ 2）设 ，数列 前 n 项和为 明： 【考点】 数列的求和 【分析】 （ 1）由已知数列的前 n 项和求得 n 1=2n+k 1（ n 2），再求得首项，验证首项成立可得数列通项公式，结合 等比数列求得 k，则通项公式可求； （ 2）把（ 1）中求得的通项公式代入 ，整理后利用裂项相消法求得数列 前 n 项和为 缩可得 【解答】 （ 1）解：由 ，有 n 1=2n+k 1（ n 2）， 又 1=k+1， n+k 1 等比数列， ， 即（ 2 4+k 1） 2=（ 2 1+k 1）（ 2 13+k 1），解得 k=2 n 1； （ 2）证明： = Tn=b1+ + = 【点评】 本题考查数列递推式，考查了由数列的前 n 项和求数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的前 n 项和，属中档题 18（ 12 分）（ 2017莆田一模）某企业有甲乙两个分厂生产某种产品，按规定该产品的某项质量指标值落在 45， 75）的为优质品，从两个分厂生产的产品中个随机抽取 500 件，测量这些产品的该项质量指标值，结果如表： 分组 25，35） 35，45） 4， 55） 55， 65） 65， 75） 75，85） 85，95） 甲厂频数 10 40 115 165 120 45 5 乙厂频数 5 60 110 160 90 70 5 （ 1）根据以上统计数据完成下面 2 2 列联表，并回答是否有 99%的把握认为：“两个分厂生产的产品的质量有差异 ”？ （ 2）求优质品率较高的分厂的 500 件产品质量指标值的样本平均数 （同一组数据用该区间的中点值作代表） （ 3）经计算，甲分厂的 500 件产品质量指标值的样本方差 42，乙分厂的 500件差评质量指标值的样本方差 62，可认为优质品率较高的分厂的产品质量指标值 X 服从正态分布 N（ ， 2），其中 近似为样本平均数 ， 2 近似为样本方差 优质品率较高的厂的抽样数据，能够认为该分厂生产的产品的产品中，质量指标值不低于 产品至少占全部产品的 18%？ 附注： 参考数据： 考公式： P（ 2 x +2） =P（ 3 x +3） = P（ k） h 考点】 独立性检验 【分析】 （ 1）根据统计数据填写 2 2 列联表，计算 照临界值表 得出结论； （ 2）计算甲厂、乙厂优秀率，得出甲厂优秀品率高，计算甲厂的平均值； （ 3）根据（ 2）知甲厂产品的质量指标值 X N（ 60， 142），计算对应的概率值即可 【解答】 解：（ 1）由以上统计数据填写 2 2 列联表，如下； 甲 厂 乙 厂 合计 优质品 400 360 760 非优质品 100 140 240 合计 500 500 1000 计算 对照临界值表得出，有 99%的把握认为： “两个分厂生产的产品的质量有差异 ”； （ 2）计算甲厂优秀率为 =厂优秀率为 =以甲厂的优秀品率高， 计算甲厂数据的平均值为： = （ 30 10+40 40+50 115+60 165+70 120+80 45+90 5） =60， （ 3）根据（ 2）知， =60， 2=142，且甲厂产品的质量指标值 X 服从正态分布 XN（ 60， 142）， 又 = P（ 60 X 60+=P（ X P（ X = = = 故不能够认为该分厂生产的产品的产品中，质量 指标值不低于 产品至少占全部产品的 18% 【点评】 本题主要考查了独立性检验与正态分布的特点及概率求解问题，也考查了推理与运算能力 19（ 12 分）（ 2017莆田一模）如图，在圆柱 ，矩形 过 圆柱 母线， ， ， （ 1）证明： 平面 （ 2）在圆 O 所在的平面上，点 C 关于直线 对称点为 D，求二面角 D B 的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）连结 ，推导出四边形 平行四边形，从而 此能证明 平面 （ 2）以点 C 为坐标原点，分别以 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 D B 的二面角的余弦值 【解答】 证明：（ 1）连结 ， 四边形 平行四边形， M 为 中点， 在 ， O 为 中点， 又 面 面 平面 解：（ 2）如图， 圆 O 的直径， 平面 又 0， ， ， ， ， 以点 C 为坐标原点，分别以 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， 则 C（ 0， 0， 0）， A（ 1， 0， 0）， B（ 0， ， 0）， 0， 0， 3）， O（ ， 0）， 0， ）， 在圆 O 上， C， D 关于直线 称， 正三角形，且 ， ， 0，过点 D 作 x 轴， y 轴 ，垂足分别为 P，Q， 则 D ， D D（ ， 0）， =（ ， 0）， 设平面 一个法向量 =（ x， y， z）， 则 ，取 y= ，得 =（ 1， ， 1）， 平面 一个法向量 =（ 1， 0， 0）， 设二面角 D B 的二面角为 ， 则 = 故二面角 D B 的余弦值为 【点评】 本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及二面角、空间向量等基础知识；考查学生的空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力；考查了化归与转化 及数形结合的数学思想 20（ 12 分）（ 2017莆田一模）已知曲线 E： =1（ a b， a 1）上两点A（ B（ （ 1）若点 A， B 均在直线 y=2x+1 上，且线段 点的横坐标为 ，求 a 的值； （ 2）记 ，若 为坐标原点，试探求 面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由 【考点】 直线与椭圆的位置关系 【分析】 （ 1）利用点差法求得直线的斜率公式， k= =2，根据中点坐标公式，即可求得 a 的值； （ 2）设直线 y=kx+m 代入椭圆方程，利用韦达 定理及由向量数量积的坐标运算，根据弦长公式，点到直线的距离公式，根据三角的面积公式即可求得 面积为定值 【解答】 解：（ 1）由题意可知： ， ， 两式相减得： +（ y1+ =0， 由 = 由 A， B 在直线 y=2x+1，则 k= =2， A， B 中点横坐标为 ，则中点的纵坐标为 ， =2 ， 解得： ，又 a 0， 则 a= ， （ 2）直线 方程为 y=kx+m， 则 ，（ 1+1） =0， 0，即（ 22 41）（ 1+ 0，则 1+ 由韦达定理可知：则 x1+ ， ， 由 m n，则 =0， ， 从而（ 1+x1+， 代入并整理得 2+ 由原点 O 到直线 距离 d= ， 则 面积 S= d丨 = 丨 ， = 丨 m 丨 ， = 丨 m 丨 ， = ， = = ， 从而可得 面积 ，为定值 【点评】 本题考查椭圆的标 准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆位置关系，考查韦达定理，弦长公式，点到直线的距离公式，考查向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题 21（ 12 分）（ 2017莆田一模）已知函数 f（ x） =23， g（ x） = （ 1）若过点 P（ a， 4）恰有两条直线与曲线 y=f（ x）相切，求 a 的值； （ 2）用 p， q表示 p， q 中的最小值，设函数 h（ x） =f（ x）， g（ x） （ x 0），若 h（ x）恰有三个零点，求实数 k 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的极值；根的存在性 及根的个数判断；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ 1）求导，利用导数求得 f（ x）在 Q 的切线方程，构造辅助函数，利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可求得 a 的值； （ 2）根据函数定义，求 h（ x），根据函数的单调性及函数零点的判断，采用分类讨论法，求得函数 h（ x）零点的个数，即可求得 h（ x）恰有三个零点时，实数 k 的取值范围 【解答】 解：（ 1）设切点 Q（ t， f（ t），由直线 f（ x） =23，求导，f（ x） =66x， 则 f（ x）在 Q 点的切线的斜率 k=66t， 则切线方程为 y f（ t） =（ 66t）（ x t）， 由切线过点 P（ a， 4），则 4 f（ t） =（ 66t）（ a t）， 整理得： 4 3+6a） 5=0， 又由曲线恰有两条切线，即方程恰有两个不同的解， 令 H（ t） =4 3+6a） 5，求导 H（ t） =126（ 6+12a） t+6a， 令 H（ t） =0，解得： t= ， t=2， 当 a= 时， H（ t） 0，函数 H（ t）在 R 上单调递增，没有两个零点，不符合题意， 当 a 时，且 t （ ， ） （ a， + ）时， H（ t） 0， 当 t （ ， a）时， H（ t） 0， H（ t）在（ ， ），（ a， + ）单调递增，在（ ， a）单调递减； 要使 H（ t）在 R 上有两个零点，则 ，或 ， 由 H（ ） = a+3a 5= （ a ）， H（ a） =4 3+6a） 5=（ a+1）（ 25a+5）， =（ a+1） 2（ a ） 2+ ， 或 ， 则 a= ， 当 a 时，同理可知： 或 ，则 a= 1， 综上可知： a= 1 或 a= ； （ 2） f（ x） =23=（ x 1） 2（ 2x+1）， f（ x）在（ 0， + ）上只有一个零点 x=1， g（ x） =k ， 当 k 0 时， g（ x） 0，则 g（ x）在（ 0， + ）上单调递减， g（ x）在（ 0， + ）上至多只有一个零点， 故 k 0 不符合题意； 当 k 0， g（ x） =k =0，解得： x= ， 当 x （ 0， ）时， g（ x） 0，当 x （ ， + ）时， g（ x） 0， g（ x）在（ 0， ）上单调递减，在（ ， + ）上单调递增； g（ x）有最小值 g（ ） =2+ 当 k= 时， g（ ） =0， g（ x）只有一个零点，不满足题意； 当 k 时， g（ ） 0， g（ x）在（ 0， + ）上无零点，不满足题意； 当 k 时， g（ ） 0， 由 g（ ） g（ 1） =（ 2+ k+1） 0， g（ x）在（ 1， ）上有一个零点，设为 若 g（ ） g（ ） 0， g（ x）在（ ， + ）上有一个零点，设为 易证 （ 下面证明： g（ ） 0， 令 F（ x） = x 2）， 求导 F（ x） =2x， F（ x） =2 2 0， F（ x）在（ 2， + ）上单调递增； F（ x） F（