2017年广西南宁市高考数学一模试卷（理科）含答案解析

2017 年广西南宁市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 A=x|x 0， B=x| 3 x 4，则 A B 等于（ ） A（ 5， 0） B（ 3， 0） C（ 0， 4） D（ 5， 4） 2已知复数 z 满足 = （ a R），若 z 的虚部为 3，则 z 的实部为（ ） A 1 B 1 C 3 D 5 3某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取 40 个检测，如图是根据抽样检测后零件的质量（单位：克）绘制的频率分布直方图，样本数据分 8 组，分别为 80，82）， 82， 84）， 84， 86）， 86， 88）， 88， 90）， 90， 92）， 92， 94）， 94，96，则样本的中位数在（ ） A第 3 组 B第 4 组 C第 5 组 D第 6 组 4已知数列 足： = ，且 ，则 于（ ） A B 23 C 12 D 11 5已知角 的终边过点（ 2 1， a），若 则实数a 等于（ ） A B C D 6执行如图的程序框图，若输入 k 的值为 3，则输出 S 的值为（ ） A 10 B 15 C 18 D 21 7已知非零向量 、 满足 | |=| +2 |，且 与 的夹角的余弦值为 ，则等于（ ） A B C D 2 8如果实数 x， y 满足约束条件 ，则 z=3x+2y+ 的最大值为（ ） A 7 B 8 C 9 D 11 9如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A 12 B 15 C 18 D 21 10已知函数 f（ x） = 设 m n 1，且 f（ m） =f（ n），则mf（ m）的最小值为（ ） A 4 B 2 C D 2 11已知双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的左焦点为 F（ c， 0）， M、 上， O 是坐标原点，若四边形 平行四边形，且四边形 双曲线 C 的离心率为（ ） A B 2 C 2 D 2 12已知函数 f（ x） = 6x 3， g（ x） =212x+9， m 2，若 m， 2）， （ 0， + ），使得 f（ =g（ 立，则 m 的最小值为（ ） A 5 B 4 C 2 D 3 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13（ +3）（ ） 5 的展开式中的常数项为 14已知抛物线 C： p 0）的焦点为 F，点 M（ 2 ）是抛物线 C 上一点，圆 M 与 y 轴相切且与线段 交于点 A，若 =2，则 p= 15我国古代数学著作九章算术有如下问题： “今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤斩末一尺，重二斤问次一尺各重几何？ ”意思是： “现有一根金杖，长 5 尺，一头粗，一头细在粗的一端截下 1 尺，重 4 斤；在细的一端截下 1尺，重 2 斤；问依次每一尺各重多少斤？ ”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重 量为 M，现将该金杖截成长度相等的 10 段，记第 i 段的重量为 i=1， 2， ，10），且 48M，则 i= 16在长方体 ，底面 边长为 3 的正方形， ， 1一点，若二面角 A E 的正切值为 3，则三棱锥 A 接球的表面积为 三、解答题 17在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 （ 1）求 的值； （ 2）若角 C 为锐角， c= ， ， 求 面积 18某中学是走读中学，为了让学生更有效率利用下午放学后的时间，学校在本学期第一次月考后设立了多间自习室，以便让学生在自习室自主学习、完成作业，同时每天派老师轮流值班在本学期第二次月考后，高一某班数学老师统计了两次考试该班数学成绩优良人数和非优良人数，得到如下 2 2 列联表： 非优良 优良 总计 未设立自习室 25 15 40 设立自习室 10 30 40 总计 35 45 80 （ 1）能否在在犯错误的概率不超过 前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效； （ 2）设从该 班第一次月考的所有学生的数学成绩中任取 2 个，取到优良成绩的个数为 X，从该班第二次月考的所有学生的数学成绩中任取 2 个，取到优良成绩的个数为 Y，求 X 与 Y 的期望并比较大小，请解释所得结论的实际意义 下面的临界值表供参考： P（ 参考公式： ，其中 n=a+b+c+d） 19如图，在四棱锥 A ， 底面 60， （ 1）若 F 是 中点，求证： 平面 （ 2）若 E，求 平面 成角的正弦值 20已知 c， 0）、 c、 0）分别是椭圆 G： + =1（ 0 b a 3）的左、右焦点，点 P（ 2， ）是椭圆 G 上一点，且 | |a （ 1）求椭圆 G 的方程； （ 2）设直线 l 与椭圆 G 相交于 A、 B 两点，若 ，其中 O 为坐标原点，判断 O 到直线 l 的距离是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由 21已知函数 f（ x） =x a R） （ 1）讨论函数 f（ x）在定义域内的极值点的个数； （ 2）设 g（ x） = ，若不等式 f（ x） g（ x）对任意 x 1， e恒成立，求a 的取值范围 请考生在第 22、 23 题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分 .选修4标系与参数方程 22已知曲线 C 的极坐标方程为 =4极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线 l 的参数方程为 （ t 为参数） （ 1）求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程； （ 2）设曲线 C 与直线 l 相交于 P， Q 两点， 以 一条边作曲线 C 的内接矩形，求该矩形的面积 选修 4等式选讲 23设实数 x， y 满足 x+ =1 （ 1）若 |7 y| 2x+3，求 x 的取值范围； （ 2）若 x 0， y 0，求证： 2017 年广西南宁市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 A=x|x 0， B=x| 3 x 4，则 A B 等于（ ） A（ 5， 0） B（ 3， 0） C（ 0， 4） D（ 5， 4） 【考点】 交集及其 运算 【分析】 求出关于 A 的解集，从而求出 A 与 B 的交集 【解答】 解： A=x|x 0=x|x 5 或 x 0， B=x| 3 x 4， A B=x|0 x 4， 故选： C 2已知复数 z 满足 = （ a R），若 z 的虚部为 3，则 z 的实部为（ ） A 1 B 1 C 3 D 5 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由 z 的虚部为 3 求得 a 值，则答案可求 【解答】 解： = ， =（ 2+ 1 i） =2+a+（ a 2） i， a 2= 3，即 a= 1 实部为 2+a=2 1=1 故选： B 3某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取 40 个检测，如图是根据抽样检测后零件的质量（单位：克）绘制的频率分布直方图，样本数据分 8 组，分别为 80，82）， 82， 84）， 84， 86）， 86， 88）， 88， 90）， 90， 92）， 92， 94）， 94，96，则样本的中位数在（ ） A第 3 组 B第 4 组 C第 5 组 D第 6 组 【考点】 频率分布直方图 【分析】 根据频率分布直方图求出前 4 组的频数为 22，且第 四组的频数 8，即可得到答案 【解答】 解：由图可得，前第四组的频率为（ 2= 则其频数为 40 2，且第四组的频数为 40 2=8， 故中位数落在第 4 组， 故选： B 4已知数列 足： = ，且 ，则 于（ ） A B 23 C 12 D 11 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 数列 足： = ，可得 +1=2（ ），利用等比数列的通项公式即可得出 【解答】 解： 数列 足： = ， +1=2（ ），即数列 是等比数列，公比为 2 则 =22（ ） =12，解得 1 故选： D 5已知角 的终边过点（ 2 1， a），若 则实数a 等于（ ） A B C D 【考点】 任意角的三角函数的定义 【分析】 利用二倍角公式化简，再利用正弦函数的定义，建立方程，即可得出结论 【解答】 解： 2 1= ， 2 ， 角 的终边过点（ 2 1， a）， = ， a= ， 故选 B 6执行如图的程序框图，若输入 k 的值为 3，则输出 S 的值为（ ） A 10 B 15 C 18 D 21 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 n， S 的值，当 n=5， S=15时，不满足条件 S 5，退出循环，输出 S 的值为 15，即可得解 【解答】 解：模拟程序的运行，可得 k=3， n=1， S=1 满足条件 S 行循环体， n=2， S=3 满足条件 S 行循环体， n=3， S=6 满足条件 S 行循环体， n=4， S=10 满足条件 S 行循环体， n=5， S=15 此时，不满足条件 S 5，退出循环，输出 S 的值为 15 故选： B 7已知非零向量 、 满足 | |=| +2 |，且 与 的夹角的余弦值为 ，则等于（ ） A B C D 2 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由向量的平方即为模的平方可得 = 2，再由向量的夹角公式：， = ，化简即可得到所求值 【解答】 解：非零向量 、 满足 | |=| +2 |， 即有（ ） 2=（ +2 ） 2， 即为 2+ 2 2 = 2+4 +4 2， 化为 = 2， 由 与 的夹角的余弦值为 ， 可得 ， = = = ， 化简可得 =2 故选： D 8如果实数 x， y 满足约束条件 ，则 z=3x+2y+ 的最大值为（ ） A 7 B 8 C 9 D 11 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移直线，得到最优解，求出斜率的最值，即可求 z 的最大值 【解答】 解：作出不等式对应的平 面区域（阴影部分）， 由 u=3x+2y，平移直线 u=3x+2y，由图象可知当直线 u=3x+2y 经过点 A 时，直线u=3x+2y 的截距最大，此时 u 最大 而且 也恰好是 连线时，取得最大值， 由 ，解得 A（ 1， 2） 此时 z 的最大值为 z=3 1+2 2+ =9， 故选： C 9如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A 12 B 15 C 18 D 21 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 由已知中的三视图可得：该几何体是一个长宽高分别为 4， 3， 3 的长方体，切去一半得到的，进 而得到答案 【解答】 解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个长宽高分别为 4， 3， 3的长方体， 切去一半得到的，其直观图如下所示： 其体积为： 4 3 3=18， 故选： C 10已知函数 f（ x） = 设 m n 1，且 f（ m） =f（ n），则mf（ m）的最小值为（ ） A 4 B 2 C D 2 【考点】 函数的最值及其几何意义；分段函数的应用 【分析】 做出 f（ x）的图象，根据图象判断 m 的范围，利用基本不等式得出最小值 【解答】 解：做出 f（ x）的函数图象如图所示： f（ m） =f（ n）， m n 1， 1 m 4， m） =m（ 1+ ） =m+ 2 当且仅当 m= 时取等号 故选： D 11已知双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的左焦点为 F（ c， 0）， M、 上， O 是坐标原点，若四边形 平行四边形，且四边形 双曲线 C 的离心率为（ ） A B 2 C 2 D 2 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设 M（ 0，由四边形 平行四边形，四边形 ，丨 = b，代入双曲线方程，由离心率公式，即可求得双曲线 C 的离心率 【解答】 解：双曲线 C： =1（ a 0， b 0）焦点在 x 轴上， 设 M（ 0，由四边形 平行四边形， ， 四边形 面积为 丨 c= 丨 = b， M（ ， b）， 代入双曲线可得： =1，整理得： ， 由 e= ， 2，由 e 1，解得： e=2 ， 故选 D 12已知函数 f（ x） = 6x 3， g（ x） =212x+9， m 2，若 m， 2）， （ 0， + ），使得 f（ =g（ 立，则 m 的最小值为（ ） A 5 B 4 C 2 D 3 【考点】 函数的最值及其几何意义 【分析】 利用导数先求出函数 g（ x）的最小值，再根据函数 f（ x）的图象和性质，即可求出 m 的最小值 【解答】 解： g（ x） =212x+9， g（ x） =6x 12=6（ x+2）（ x 1）， 则当 0 x 1 时， g（ x） 0，函数 g（ x）递减， 当 x 1 时， g（ x） 0，函数 g（ x）递增， g（ x） g（ 1） =2， f（ x） = 6x 3=（ x+3） 2+6 6， 作函数 y=f（ x）的图象，如图所示， 当 f（ x） =2 时，方程两根分别为 5 和 1， 则 m 的最小值为 5， 故选： A 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13（ +3）（ ） 5 的展开式中的常数项为 40 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 把（ ） 5 按照二项式定理展开，可得（ +3）（ ） 5 的展开式中的常数项 【解答】 解：（ +3）（ ） 5 =（ +3）（ 2x+ 4 8x 2+ 16 32x 5）， 故展开式中的常数项为 4=40， 故答案为： 40 14已知抛物线 C： p 0）的焦点为 F，点 M（ 2 ）是抛物线 C 上一点，圆 M 与 y 轴相切且与线段 交于点 A，若 =2，则 p= 2 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 设 M 到准线的距离为 |则 |利用 =2，得 x0=p，即可得出结论 【解答】 解：设 M 到准线的距离为 |则 | =2， x0=p， 2， p 0， p=2 故答案为 2 15我国古代数学著作九章算术有如下问题： “今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤斩末一尺，重二斤问次一尺各重几何？ ”意思是： “现有一根金杖，长 5 尺，一头粗，一头细在粗的一端截下 1 尺，重 4 斤；在细的一端截下 1尺，重 2 斤；问依次每一尺各重多少斤？ ”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为 M，现将该金杖截成长度相等的 10 段，记第 i 段的重量为 i=1， 2， ，10），且 48M，则 i= 6 【考点】 等差数列的通项公式 【分析】 由题意知由细到粗每段的重量成等差数 列，记为 设公差为 d，由条件和等差数列的通项公式列出方程组，求出 d 值，由等差数列的前 n 项和公式求出该金杖的总重量 M，代入已知的式子化简求出 i 的值 【解答】 解：由题意知由细到粗每段的重量成等差数列， 记为 设公差为 d， 则 ，解得 ， d= ， 所以该金杖的总重量 M= =15， 因为 48M，所以 48 +（ i 1） =25， 即 39+6i=75，解得 i=6， 故答案为： 6 16在长方体 ，底面 边长为 3 的正方形， ， 1一点，若二面角 A E 的正切值为 3，则三棱锥 A 接球的表面积为 35 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 如图所示，求出三棱锥 A 接球的直径为 ，问题得以解决 【解答】 解：过点 E 作 F，过 F 作 G，连接 则 二面角 A E 的平面角， ， =3， ， ， 则 = ， 则三棱锥 A 接球的直径为 = ， 则其表面积为 35， 故答案为： 35 三、解答题 17在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 （ 1）求 的值； （ 2）若角 C 为锐角， c= ， ，求 面积 【考点】 正弦定理 【分析】 （ 1）根据余弦公式求出 据正弦定理求出 的值即可； （ 2）求出 值，得到 = 以及 = =2，求出 a， b 的值，求出三角形的面积即可 【解答】 解：（ 1） =3 =4， =2； （ 2）若角 C 为锐角， ， 0， = ， = ， = ， 由（ 1）得， = =2 ， 联立 得： b= ， a=2 ， S= 2 =2 18某中学是走读中学，为了让学生更有效率利用下午放学后的时间，学校在本学期第一次月考后设立了多间自习室，以便让学生在自习室自主学习、完成作业，同时每天派老师轮流值班在本学期第二次月考后，高一某班数学老师统计了两次考试该班数学成绩优良人数和非优良人数，得到如下 2 2 列 联表： 非优良 优良 总计 未设立自习室 25 15 40 设立自习室 10 30 40 总计 35 45 80 （ 1）能否在在犯错误的概率不超过 前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效； （ 2）设从该班第一次月考的所有学生的数学成绩中任取 2 个，取到优良成绩的个数为 X，从该班第二次月考的所有学生的数学成绩中任取 2 个，取到优良成绩的个数为 Y，求 X 与 Y 的期望并比较大小，请解释所得结论的实际意义 下面的临界值表供参考： P（ 参考公式： ，其中 n=a+b+c+d） 【考点】 独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差 【分析】 （ 1）求出 临界值比较，即可得出能在犯错误的概率不超过 （ 2）求出期望，即可得出结论 【解答】 解：（ 1）由题意， = 能在犯错误的概率不超过 前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效； （ 2） X 的取值为 0， 1， 2，则 P（ X=0） = = ， P（ X=1） = = ， P（ X=2） = = ， E（ X） =0 = Y 的取值为 0， 1， 2，则： P（ Y=0） = = ， P（ Y=1） = = ， P（ Y=2） = = ， E（ Y） = = 也即 实际含义即表明设立自习室有效 19如图，在四棱锥 A ， 底面 60， （ 1）若 F 是 中点，求证： 平面 （ 2）若 E，求 平面 成角的正弦值 【考点】 直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）取 点 G，连结 面 平面 可得 平面 （ 2）以点 D 为原点，建立如图所示的直角坐标系 D A（ 0， 0， ）， E（ 0， ， 0）， B（ 2， 0， 0）， C（ ， ， 0）求出平面 法向量即可 【解答】 证明：（ 1）取 点 G，连结 F 是 中点， E E、 G 到直线 距离相等，则 面 平面 平面 解：（ 2）以点 D 为原点，建立如图所示的直角坐标系 D ，则 ，取 点 C，则 ， E，则 A（ 0， 0， ）， E（ 0， ， 0）， B（ 2， 0， 0）， C（ ， ， 0） ， 设平面 法向量 ， ， 令 y=1，则 ， |= 平面 成角的正弦值为： 20已知 c， 0）、 c、 0）分别是椭圆 G： + =1（ 0 b a 3）的左、右焦点，点 P（ 2， ）是椭圆 G 上一点，且 | |a （ 1）求椭圆 G 的方程； （ 2）设直线 l 与椭圆 G 相交于 A、 B 两点，若 ，其中 O 为坐标原点，判断 O 到直线 l 的距离是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）根据椭圆的定义，求得丨 = a=3|根据点到直线的距离公式，即可求得 c 的值，则求得 a 的值， b2=，即可求得椭圆方程； （ 2）当直线 l x 轴，将直线 x=m 代入椭圆方程，求得 A 和 B 点坐标，由向量数量积的坐标运算，即可求得 m 的值，求得 O 到直线 l 的距离；当直线 斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算，点到直线的距离公式，即可求得 O 到直线 l 的距离为定值 【解答】 解：（ 1）由椭圆的定义可知： |2a由 | |a 丨 = a=3| 则 =3 ，化简得： 5c+6=0， 由 c a 3， c=2， 则丨 =3 = a，则 a=2 ， b2=， 椭圆的标准方程为： ； （ 2）由题意可知，直线 l 不过原点，设 A（ B（ ， 当直线 l x 轴，直线 l 的方程 x=m，（ m 0），且 2 m 2 ， 则 x1=m， ， x2=m， ， 由 ， ，即 4 ） =0， 解得： m= ， 故直线 l 的方程为 x= ， 原点 O 到直线 l 的距离 d= ， 当直线 斜率存在时，设直线 方程为 y=kx+n， 则 ，消去 y 整理得：（ 1+28=0， x1+ ， ， 则 n）（ n） =x1+， 由 ， ，故 + =0， 整理得： 388=0，即 3， 则原点 O 到直线 l 的距离 d= ， ） 2= = ， 将 代入 ，则 = ， d= ， 综上可知：点 O 到直线 l 的距离为定值 21已知函数 f（ x） =x a R） （ 1）讨论函数 f（ x）在定义域内的极值点的个数； （ 2）设 g（ x） = ，若不等式 f（ x） g（ x）对任意 x 1， e恒成立，求a 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函 数的极值 【分析】 （ 1）先求导，再分类讨论，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值点的个数； （ 2）由题意，只要求出函数 f（ x） 0 即可，利用导数和函数的最值的关系，进行分类讨论，即可得到 a 的范围 【解答】 解：（ 1） f（ x） =x x 0）， f（ x） =1 = ， a 0 时， f（ x） 0， f（ x）递增， f（ x）无极值； a 0 时，令 f（ x） 0，解得： x a，令 f（ x） 0，解得： 0 x a， f（ x）在（ 0， a）递减，在（ a， + ）递增， f（ x）有 1 个极小值点； （ 2）若不等式 f（ x） g（ x）对任意 x 1， e恒成立， 令 h（ x） =f（ x） g（ x），即 h（ x） 最小值 0 在 1， e恒成立， 则 h（ x） =x （ a R）， h（ x） =1 = ， 当 1+a 0，即 a 1 时，在 1， e上为增函数， f（ x） f（ 1） =1+1+a 0， 解得： a 2，即 2 a 1， 当 a 1 时 当 1+a e 时，即 a e 1 时， f（ x）在 1， e上单调递减， f（ x） f（ e） =e+ a 0，解得 a ， e 1， e 1 a ； 当 0 1+a 1，即 1 a 0， f（ x）在 1， e上