2017年湖北省襄阳高考第三次模拟数学试卷（理）含答案解析

2016年湖北省襄阳高 考 第三次模拟数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 且只有一项符合题目要求 . 1计算 +（ 2 i） 2 等于（ ） A 4 5i B 3 4i C 5 4i D 4 3i 2已知命题 p： x R， 1，则 p 是（ ） A x R， 1 B x R， 1 C x R， 1 D x R， 1 3若 ） ） m，且 为第三 象限角，则 值为（ ） A B C D 4已知 等差数列， 0，其前 10 项和 0，则其公差 d=（ ） A B C D 5已知直线 m、 l 与平面 、 、 满足 =l， l ， m ， m ，则下列命题一定正确的是（ ） A 且 l m B 且 m C m 且 l m D 且 6海面上有 A， B， C 三个灯塔， |10n A 望 C 和 B 成 60视角，从B 望 C 和 A 成 75视角，则 |（ ） n n 示海里， 1n 582m） A 10 B C 5 D 5 7曲线 y= 在点（ 4， 的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A B 4 2 已知点 P 是圆 x2+ 上的动点，点 A， B， C 是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且 =0，则 | |的最小值为（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 9已知函数 f（ x） =（ 2 a）（ x 1） 2g（ x） =x（ a R， e 为自然对数的底数），若对任意给定的 （ 0， e，在（ 0， e上总存在两个不同的 i=1，2），使得 f（ =g（ 立，则 a 的取值范围是（ ） A（ ， B（ ， C（ ， 2） D ， ） 10设 别为双曲线 的左右顶点，若双曲线上存在点 M 使得两直线斜率 ，则双曲线 C 的离心率的取值范围为（ ） A B C D（ 0， 3） 11设正实数 x， y， z 满足 3z=0则当 取得最大值时， 的最大值为（ ） A 0 B 1 C D 3 12已知函数 f（ x） = ） | |，则使得 f（ x+1） f（ 2x 1）的 ） A（ 0， 2） B（ ， 0） C（ ， 0） （ 2， + ） D（ 2， + ） 二填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13已知实数 x， y 满足 z=x+a 1）的最大值为 3，则实数 a= 14定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（ x） =f（ 2 x），当 x 1 时，有 x） f（ x）成立；若 1 m 2， a=f（ 2m）， b=f（ 2）， c=f（ 则 a， b， c 大小关系为 15已知抛物线 C： x 与点 M（ 1， 2），过 C 的焦点，且斜率为 k 的直线与C 交于 A， B 两点，若 =0，则 k= 16大学生村官王善良落实政府 “精准扶贫 ”，帮助贫困户张三用 9 万元购进一部节能环保汽车，用于出租，假设第一年需运营费用 2 万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加 2 万元，该车每年的运营收入均为 11 万元，若该车使用了 n（ n N*）年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于 三解答题：（本大题共 5 小题，请写出必要的文字说明和解答过程，共 70 分） 17设数列 足 ， a2+4，且对任意 n N*，函数 f（ x） = +an）x 满足 f（ 1） =0 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 ，记数列 前 n 项和为 证 18如图，某广场中间有一块边长为 2 百米的菱形状绿化区 中 百米的扇形， 管理部门欲在该地从 M 到 D 修建一条小路：在弧 上选一点 P（异于 M、 N 两点），过点 P 修建与 行的小路 ：点 P 选择在何处时，才能使得修建的小路 与 总长最小？并说明理由 19如图，在三棱锥 P ，平面 平面 D，E 分别为 点 （ ）求证： 平面 （ ）求证： 平面 （ ）试问在线段 是否存在点 F，使得过三点 D， E， F 的平面内的任一条直线都与平面 行？若存在，指出点 F 的位置并证明；若不存在，请说明理由 20椭圆 的左右焦点分别为 离心率为 ，点 P 为椭圆上一动点， 切圆面积的最大值为 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）设椭圆的左顶点为 右焦点 直线 l 与椭圆相交于 A， B 两点，连结 延长交直线 x=4 分别于 P， Q 两点，以 直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由 21已知函数 f（ x） =1+ 中 0 m 1 （ 1）当 m=1 时，求证： 1 x 0 时， f（ x） ； （ 2）试讨论函数 y=f（ x）的零点个数 选修 4标系与参数方程 22已知圆 E 的极坐标方程为 =4极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中（ ， ）， 0， 0， 2） （ 1）直线 l 过原点，且它的倾斜角 = ，求 l 与圆 E 的交点 A 的极坐标（点 （ 2）直线 m 过线段 点 M，且直线 m 交圆 E 于 B、 C 两点，求 | |的最大值 选修 4等式选讲 23已知 f（ x） =|x 1|+|x+a|， g（ a） =a 2 （ 1）若 a=3，解关于 x 的不等式 f（ x） g（ a） +2； （ 2）当 x a， 1时恒有 f（ x） g（ a），求实数 a 的取值范围 2016年湖北省襄阳高三第三次模拟数学试卷（理科） 参考答案 与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 且只有一项符合题目要求 . 1计算 +（ 2 i） 2 等于（ ） A 4 5i B 3 4i C 5 4i D 4 3i 【考点】 复数代数形式的混合运算 【分析】 同乘分母共轭复数，（ 2 i） 2 去括号，化简即可 【解答】 解： +（ 2 i） 2 = i（ 1+i） +4 1 4i =4 5i， 故选： A 2已知命题 p： x R， 1，则 p 是（ ） A x R， 1 B x R， 1 C x R， 1 D x R， 1 【考点】 命题的否定 【分析】 根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可 【解答】 解：命题是全称命题，则命题的否定是 x R， 1， 故选： D 3若 ） ） m，且 为第三象限角，则 值为（ ） A B C D 【考点】 两角和与差的正弦函数；同角三角函数基本关系的运用 【分析】 由两角和与差的三角函数公式可得 m，结合角 的象限，再由同角三角函数的 基本关系可得 【解答】 解： ） ） m， ） = m，即 m， 又 为第三象限角， 0， 由同角三角函数的基本关系可得： = 故选 B 4已知 等差数列， 0，其前 10 项和 0，则其公差 d=（ ） A B C D 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式，结合已知条件列出关于 a1，d 的方程组，解方程即可 【解答】 解：设 公差为 d，首项为 题意得 ，解得 ， 故选 D 5已知直线 m、 l 与平面 、 、 满足 =l， l ， m ， m ，则下列命题一定正确的是（ ） A 且 l m B 且 m C m 且 l m D 且 【考点】 平面的基本性质及推论 【分析】 由 m ， m ，知 ，由 =l，知 l ，故 l m 【解答】 解： m ， m ， ， =l， l ， l m， 故 A 一定正确 故选 A 6海面上有 A， B， C 三个灯塔， |10n A 望 C 和 B 成 60视角，从B 望 C 和 A 成 75视角，则 |（ ） n n 示海里， 1n 582m） A 10 B C 5 D 5 【考点】 解三角形的实际应用 【分析】 ， |10n A=60， B=75， C=45，利用正弦定理，即可求得结论 【解答】 解：由题意， ， |10n A=60， B=75， C=45 由正弦定理可得 = ， |5 n 故选： D 7曲线 y= 在点（ 4， 的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A B 4 2 考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 利用导数求曲线上点切线方程，求直线与 x 轴，与 y 轴的交点，然后求切线与坐标轴所围三角形的面积 【解答】 解： 曲线 y= ， y= ，切线过点（ 4， f（ x） |x=4= 切线方程为： y x 4）， 令 y=0，得 x=2，与 x 轴的交点为：（ 2， 0）， 令 x=0， y= y 轴的交点为 ：（ 0， 曲线 y= 在点（ 4， 的切线与坐标轴所围三角形的面积 s= 2 | 故选 D 8已知点 P 是圆 x2+ 上的动点，点 A， B， C 是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且 =0，则 | |的最小值为（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 【考点】 平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系 【分析】 由题意画出图形，把 用向量 与 表示，然后利用向量模的运算性质求得 | |的最小值 【解答】 解： =0 0， 接圆直径， 如图，设坐标原点为 O， 则 = = ， P 是圆 x2+ 上的动点， ， | |= 当 与 共线时，取得最小值 5 故选： B 9已知函数 f（ x） =（ 2 a）（ x 1） 2g（ x） =x（ a R， e 为自然对数的底数），若对任意给定的 （ 0， e，在（ 0， e上总存在两个不同的 i=1，2），使得 f（ =g（ 立，则 a 的取值范围是（ ） A（ ， B（ ， C（ ， 2） D ， ） 【考点】 利用导数求闭区间上函 数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 根据若对任意给定的 （ 0， e，在区间（ 0， e上总存在两个不同的i=1， 2），使得 f（ =g（ 立，得到函数 f（ x）在区间（ 0， e上不单调，从而求得 a 的取值范围 【解答】 解： g（ x） =（ 1 x） x， g（ x）在（ 0， 1）上单调递增，在（ 1， e上单调递减， 又因为 g（ 0） =0， g（ 1） =1， g（ e） =e 0， g（ x）在（ 0， e上的值域为（ 0， 1 ， 当 时， f（ x） =0， f（ x）在 处取得最小值 ， 由题 意知， f（ x）在（ 0， e上不单调，所以 ，解得 ， 所以对任意给定的 （ 0， e，在（ 0， e上总存在两个不同的 i=1， 2），使得 f（ =g（ 立， 当且仅当 a 满足条件 且 f（ e） 1 因为 f（ 1） =0，所以 恒成立，由 f（ e） 1 解得 综上所述， a 的取值范围是 故选： A 10设 别为双曲线 的左右顶点，若双曲线上存在点 M 使得两直线斜率 ，则双曲线 C 的离心率的取值范围为（ ） A B C D（ 0， 3） 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由题意可 得 a， 0）， a， 0），设 M（ m， n），代入双曲线的方程，运用直线的斜率公式，化简整理可得 2 a， b， c 的关系和离心率公式，计算即可得到所求范围 【解答】 解：由题意可得 a， 0）， a， 0）， 设 M（ m， n），可得 =1， 即有 = ， 由题意 ， 即为 2， 即有 2，即 2 2 3 c a，即有 e= ， 由 e 1，可得 1 e 故选： B 11设正实数 x， y， z 满足 3z=0则当 取得最大值时， 的最大值为（ ） A 0 B 1 C D 3 【考点】 基本不等式 【分析】 依题意，当 取得最大值时 x=2y，代入所求关系式 f（ y） = + ，利用配方法即可求得其最大值 【解答】 解： 3z=0， z=3 x， y， z 均为正实数， = = =1（当且仅当 x=2y 时取 “=”）， =1，此时， x=2y z=3 2y） 2 3 2y y+4 + = + = +1 1，当且仅当 y=1 时取得 “=”，满足题意 的最大值为 1 故选 B 12已知函数 f（ x） = ） | |，则使得 f（ x+1） f（ 2x 1）的 ） A（ 0， 2） B（ ， 0） C（ ， 0） （ 2， + ） D（ 2， + ） 【考点】 对数函数的图象与性质 【分析】 根据函数的单调性和奇偶性将问题转化为 |x+1| |2x 1|，解出即可 【解答】 解： x 0 时， f（ x） = ） 是减函数， x 0 时， f（ x） = ） + 是增函数， 且 f（ x） =f（ x）是偶 函数， 若 f（ x+1） f（ 2x 1）， 则 |x+1| |2x 1|，解得： 0 x 2， 故选： A 二填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13已知实数 x， y 满足 z=x+a 1）的最大值为 3，则实数 a= 2 【考点】 简单线性规划 【分析】 画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，从而求出 z=a+1=3，解出即可 【解答】 解：画出满足条件的平面区域，如图示： ， 由 ，解得 A（ 1， 1）， a 1， 1 0， z=x+化为： y= x+ ， 结合图象直线过 A（ 1， 1）时， z 最大， z 的最大值是 z=a+1=3，解得： a=2， 故答案为： 2 14定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（ x） =f（ 2 x），当 x 1 时，有 x） f（ x）成立；若 1 m 2， a=f（ 2m）， b=f（ 2）， c=f（ 则 a， b， c 大小关系为 a b c 【考点】 利用导数研究函数的单调性；导数的运算 【分析】 函数 f（ x）在定义域 R 内可导， f（ x） =f（ 2 x），知函数 f（ x）的图象关于 x=1 对称再根据函数的单调性比较大小即可 【解答】 解： f（ x） =f（ 2 x）， 令 x=x+1，则 f（ x+1） =f2（ x+1） =f（ x+1）， 函数 f（ x）的图象关于 x=1 对称； 令 g（ x） = ，则 g（ x） = ， 当 x 1 时， x） f（ x）成立， 即 x） f（ x） 0 成立； x 1 时， g（ x） 0， g（ x）递增， 1 m 2， 2 2m 4， 0 1， a b c， 故答案为： a b c 15已知抛物线 C： x 与点 M（ 1， 2），过 C 的焦点，且斜率为 k 的直线与C 交于 A， B 两点，若 =0，则 k= 1 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 设直线 率为 k，得出 方程，联立方程组，由根与系数的关系得出 A， B 两点的坐标的关系，令 1 列方程解出 k 【解答】 解：抛物线的焦点为 F（ 1， 0）， 直线 方程为 y=k 联立方程组 ，消元得： 2） x+， 设 A（ B（ 则 x1+=2+ y1+y2=k（ x1+ 2k= ， 4 =0， 1 即 = 1， 2（ y1+4+x1+=0， 4 +4+1+2+ +1=0，解得 k=1 故答案为： 1 16大学生村官王善良落实政府 “精准扶贫 ”，帮助贫困户张三用 9 万元购进一部节能环保汽车，用于出租，假设第一年需运营费用 2 万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加 2 万元，该车每年的运营收入均为 11 万元，若该车使用了 n（ n N*）年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于 3 【考点】 函数解析式的求解及常用方法 【分析】 根据题意建立等差数列模型， 利用等差数列的性质以及求和公式即可得到结论 【解答】 解：设该汽车第 n 年的营运费为 元，则数列 以 2 为首项，2 为公差的等差数列，则 n， 则该汽车使用了 n 年的营运费用总和为 Tn=n2+n， 设第 n 年的盈利总额为 1n（ n2+n） 9= 0n 9， 年平均盈利额 P=10（ n+ ） 当 n=3 时，年平均盈利额取得最大值 4， 故答案为： 3 三解答题：（本大题共 5 小题，请写出必要的文字说明和解答过程，共 70 分） 17设数列 足 ， a2+4，且对任意 n N*，函数 f（ x） = +an）x 满足 f（ 1） =0 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 ，记数列 前 n 项和为 证 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）求出函数的导数，由条件可得 2=+等差数列的性质可得数列 等差数列，设公差为 d，运用等差数列的通项公式，可得 d=2，即可得到通项公式； （ 2）由 = （ ），运用裂项相消求和，由不等式的性质，即可得证 【解答】 （ 1）解：函数 f（ x） = +x 的导数为 f（ x） =2x（ + 由 f（ 1） =0，可得 2=+ 由等差数列的性质可得数列 等差数列，设公差为 d， 则 ， a2+d=14， 解得 d=2， 即有 an=（ n 1） =2n （ 2）证明： = = （ ）， 则 （ 1 + + ） = （ 1 ） 则 18如图，某广场中间有一块边长为 2 百米的菱形状绿化区 中 百米 的扇形， 管理部门欲在该地从 M 到 D 修建一条小路：在弧 上选一点 P（异于 M、 N 两点），过点 P 修建与 行的小路 ：点 P 选择在何处时，才能使得修建的小路 与 总长最小？并说明理由 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 连接 P 作 足为 Q 作 足为 ， ，则总路径长 f（ ） = +4 0 ），求导，可得函数的最小值点 【解答】 解：连接 P 作 足为 过 Q 作 足为 设 ， 若 ，在 ， 若 ，则 若 ，则 ） = 在 ， P1= 所以总路径长 f（ ） = +4 0 ）， 令 f（ ） =0， 当 时， f（ ） 0 当 时， f（ ） 0 所以当 时，总路径最短 答：当 ，总路径最短 19如图，在三棱锥 P ，平面 平面 D，E 分别为 点 （ ）求证： 平面 （ ）求证： 平面 （ ）试问在线段 是否存在点 F，使得过三点 D， E， F 的平面内的任一条直线都与平面 行？若存在，指出点 F 的位置并证明；若不存在，请说 明理由 【考点】 直线与平面平行的性质；直线与平面平行的判定 【分析】 （ ）证明以 平面 需证明 （ ）证明 平面 据线面垂直的判定定理，只需证明 C； （ ）当点 F 是线段 点时，证明平面 平面 得平面 的任一条直线都与平面 行 【解答】 解：（ ）证明：因为点 E 是 点，点 D 为 中点，所以 又因为 面 所以 平面 （ ）证明：因为平面 面 面 平面 C，又 平面 A 所以 面 因为 平面 所以 又因为 ， 所以 面 （ ）解：当点 F 是线段 点时，过点 D， E， F 的平面内的任一条直线都与平面 行 取 点 F，连 由（ ）可知 平面 因为点 E 是 点 ，点 F 为 中点， 所以 又因为 面 平面 所以 平面 又因为 ， 所以平面 平面 所以平面 的任一条直线都与平面 行 故当点 F 是线段 点时，过点 D， E， F 所在平面内的任一条直线都与平面 20椭圆 的左右焦点分别为 离心率为 ，点 P 为椭圆上一动点， 切圆面积的最大值为 （ 1）求椭圆的方 程； （ 2）设椭圆的左顶点为 右焦点 直线 l 与椭圆相交于 A， B 两点，连结 延长交直线 x=4 分别于 P， Q 两点，以 直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题 【分析】 （ 1）设 c=t，则 a=2t， ，推导出点 P 为短轴端点，从而得到 t=1，由此能求出椭圆的方程 （ 2）设直线 方程为 x=，联立 ，得（ 3） 9=0，由此利用韦达定理、向量知识、直线方程、圆的性质、椭圆性质，结合已知条件能推导出以 直径的圆恒过定点（ 1， 0）和（ 7， 0） 【解答】 （本小题满分 12 分） 解：（ 1） 椭圆的离心率为 ，不妨设 c=t， a=2t，即 ，其中 t 0， 又 切圆面积取最大值 时，半径取最大值为 ， ， 为定值， 也取得最大值，即点 P 为短轴端点， ， ，解得 t=1， 椭圆的方程为 （ 2）设直线 方程为 x=， A（ B（ 联立 ，得（ 3） 9=0， 则 ， ， 直线 方程为 ， 直线 方程为 ， 则 ， ， 假设 直径的圆是否恒过定点 M（ m， n）， 则 ， ， ， 即 ， 即 ， ，即 69+ 4 m） 2=0， 若 直径的圆是否恒过定点 M（ m， n），即不论 t 为何值时， 恒成立， n=0， m=1 或 m=7 以 直径的圆恒过定点（ 1， 0）和（ 7， 0） 21已知函数 f（ x） =1+ 中 0 m 1 （ 1）当 m=1 时，求证： 1 x 0 时， f（ x） ； （ 2）试讨论函数 y=f（ x）的零点个数 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 【分析 】 （ 1）将 m=1 代入函数表达式，通过讨论函数的单调性证明结论即可； （ 2）求出 f（ x）的导数，通过讨论 m 的范围确定函数的零点即可 【解答】 证明：（ 1） m=1 时，令 g（ x） =f（ x） ，（ 1 x 0），则 g（ x）= ， 当 1 x 0 时， 0， 1+x 0， g（ x） 0， g（ x）递增， g（ x） g（ 0） =0，故 f（ x） ； 解：（ 2） f（ x） = ， ， 令 f（ x） =0，解得： 或 x2=m ， （ i） m=1 时， x1=，由 得 f（ x） = ， x 1 时， 1+x 0， 0， f（ x） 0， f（ x）递增， 1 x 0 时， f（ x） f（ 0） =0， x 0 时， f（ x） f（ 0） =0， 故函数 y=f（ x）在 x 1 上有且只有 1 个零点 x=0； （ 0 m 1 时， m 0，且 m ， 由 得： x （ ， m 时， 1+0， 0， x（ m ） 0， 此时， f（ x） 0，同理得： x （ m ， 0时， f（ x） 0， x 0 时， f（ x） 0， f（ x）在（ ， m ，（ 0， + ）递增，在（ m ， 0递减， 故 m x 0 时， f（ x） f（ 0） =0， x 0 时， f（ x） f（ 0） =0， f（ x）在（ m ， + ）有且只有 1 个零点 x=0， 又 f（ m ） =（ ）， 构造函数 （ t） =（ t ）， 0 t 1， 则 （ t） = ，易知： t （ 0， 1）， （ t） 0， y=（ t）在（ 0， 1）递减， （ t） （ 1） =0， 由 0 m 1 得： 0 1， f（ m ） （ ） 0 ， 构造函数 k（ x） =x+1（ x 0），则 k（ x） = ， 0 x 1 时， k（ x） 0， x 1 时， k（ x） 0， k（ x）在（ 0， 1递增，在（ 1， + ）递减， k（ x） k（ 1） =0， 1 +1， 则 m ， x 时， m（ 1+ 1 ， 而 +1 ， 由 得 f（ x） =1+ 1+ +1=0 ， 又函数 f（ x）在（ ， m 递增， m ， 由 和函数零点定理得： （ ， ），使得 f（ =0， 综上 0 x 1 时，函数 f（ x）有 2 个零点， m=1 时， f（ x）有 1 个零点 选修 4标系与参数方程 22已知圆 E 的极坐标方程为 =4极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中（ ， ）， 0， 0， 2） （ 1）直线 l 过原点，且它的倾斜角