2017年湖南省长沙市四县联考高考数学模拟试卷（理科）含答案解析

2017 年湖南省长沙市四县联考高考数学模拟试卷（理科）（ 3月份） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知全集 U 为实数集，集合 A=x|2x 3 0， B=x|y=1 x） ，则 A （ （ ） A x|1 x 3 B x|x 3 C x|x 1 D x| 1 x 1 2 i 是虚数单位，若复数 z 满足 1+i，则复数 z 的实部与虚部的和是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 3已知 m， n 为不同的直线， ， 为不同的平面，给出下列命题： ； ； ； 其中的正确命题序号是（ ） A B C D 4如图，在一个棱长为 2 的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则 “鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到 ”的概率是（ ） A 1 B C D 1 5已知点 A（ 3， 0），过抛物线 x 上一点 P 的直线与直线 x= 1 垂直相交于点 B，若 |则点 P 的横坐标为（ ） A 1 B C 2 D 6某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（ ） A 4 B C D 20 7函数 f（ x） = 的图象可能是（ ） A B C D 8执行如图所示的程序框图，如果输入的 N 是 10，那么输出的 S 是（ ） A 2 B 1 C 1 D 2 1 9中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则例如周髀算经和易经里对二十四节气的晷（ 长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则 是按照等差数列的规律计算得出的下表为周髀算经对二十四节气晷影长的记录，其中 表示 115 寸 1 分（ 1 寸 =10 分） 节气 冬至 小寒 （大雪） 大寒 （小雪） 立春 （立冬） 雨水 （霜降） 惊蛰 （寒露） 春分 （秋分） 清明 （白露） 谷雨 （处暑） 立夏 （立秋） 小满 （大暑） 芒种 （小暑） 夏至 晷影长 （寸） 135 125 知易经中记录的冬至晷影长 为 ，夏至晷影长为 ，那么易经中所记录的惊蛰的晷影长应为（ ） A B C D 10设 双曲线 =1（ a 0， b 0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点 P，使（ + ） =0（ O 为坐标原点），且 2| |=3| |，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 11已知集合 M=（ x， y） |y=f（ x） ，若对于任意实数对（ M，存在（ M，使 成立，则称集合 M 是 “垂直对点集 ”，给出下列四个集合： M=（ x， y） |y= ； M=（ x， y） |y=； =（ x， y） |y=2x 2； M=（ x， y） |y=其中是 “垂直对点集 ”的序号是（ ） A B C D 12定义在（ 1， + ）上的函数 f（ x）满足下列两个条件：（ 1）对任意的 x（ 1， + ）恒有 f（ 2x） =2f（ x）成立； （ 2）当 x （ 1， 2时， f（ x） =2 x；记函数 g（ x） =f（ x） k（ x 1），若函数 g（ x）恰有两个零点，则实 数 k 的取值范围是（ ） A 1， 2） B C D 二、填空题 13若两个非零向量 满足 ，则向量 与 的夹角是 14已知（ ） 5 的展开式中含 x 的项的系数为 30，则实数 a= 15我们可以利用数列 递推公式 （ n N+），求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数，则 16实数 x、 y 满足 ，若 z=ax+y 的最大值为 3a+9，最小值为 3a 3，则 a 的取值范围是 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17（ 12 分） 在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且满足 = （ ）求角 A 的大小； （ ）若 a=2 ，求 积的最大值 18（ 12 分）如图，在四棱锥 P ，底面 菱形， 0，Q 是 中点 （ 1）若 D，求证：平面 平面 （ 2）若平面 平面 D=，点 M 在线段 且满足二面角 M C 的大小 19（ 12 分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇 2016 年 618 期间，某购物平台的销售业绩 高达 516 亿人民币与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系现从评价系统中选出 200 次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为 服务的好评率为 中对商品和服务都做出好评的交易为 80 次 （ ）先完成关于商品和服务评价的 2 2 列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过 前提下，认为商品好评与服务好评有关？ （ ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的 3 次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量 X： 求对商品和服务全好评的次数 X 的分布列； 求 X 的数学 期望和方差 附临界值表： P（ k） k 2 的观测值： k= （其中 n=a+b+c+d） 关于商品和服务评价的 2 2 列联表： 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 a=80 b= 对商品不满意 c= d=10 合计 n=200 20（ 12 分）已知椭圆的长轴 长为 6，离心率为 ， 椭圆的右焦点 （ ）求椭圆的标准方程； （ ）点 M 在圆 x2+ 上，且 M 在第一象限，过 M 作圆 x2+ 的切线交椭圆于 P， Q 两点，判断 周长是否为定值并说明理由 21（ 12 分）已知函数 f（ x） = 的图象为曲线 C，函数 g（ x） = ax+b 的图象为直线 l （ 1）当 a=2， b= 3 时，求 F（ x） =f（ x） g（ x）的最大值； （ 2）设直线 l 与曲线 C 的交点的横坐标分别为 证：（ x1+x2）g（ x1+ 2 请考生在 22、 23 题 中任选一题作答【选修 4标系与参数方程】 22（ 10 分）在直角坐标系 ，圆 C 的方程为（ x+6） 2+5 （ ）以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程； （ ）直线 l 的参数方程是 （ t 为参数）， l 与 C 交与 A， B 两点，| ，求 l 的斜率 【选修 4等式选讲】 23设函数 f（ x） =|x a| 2|x 1| （ ）当 a=3 时，解不等式 f（ x） 1； （ ）若 f（ x） |2x 5| 0 对任意的 x 1， 2恒成立，求实数 a 的取值范围 2017 年湖南省长沙市四县联考高考数学模拟试卷（理科）（ 3 月份） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知全集 U 为实数集，集合 A=x|2x 3 0， B=x|y=1 x） ，则 A （ （ ） A x|1 x 3 B x|x 3 C x|x 1 D x| 1 x 1 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 解不等式求出集合 A，求函数定义域得出集合 B，再根据交集与补集的定义写出 A （ 【解答】 解：全集 U=R，集合 A=x|2x 3 0=x| 1 x 3， B=x|y=1 x） =x|1 x 0=x|x 1， 则 x|x 1， 所以 A （ =x|1 x 3 故选： A 【点评】 本题考查了集合的基本运算与不等式和函数定义域的应用问题，是基础题目 2 i 是虚数单位，若复数 z 满足 1+i，则复数 z 的实部与虚部的和是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 【考点】 复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的乘法求出复数 z，然后求解结果即可 【解答】 解 ：复数 z 满足 1+i， 可得 z= = =1+i 复数 z 的实部与虚部的和是： 1+1=2 故选： C 【点评】 本题考查复数的基本运算以及基本概念，考查计算能力 3已知 m， n 为不同的直线， ， 为不同的平面，给出下列命题： ； ； ； 其中的正确命题序号是（ ） A B C D 【考点】 命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系 【分析】 由线面垂直及线线垂直的几何特征可判断 的真假；由线面垂直的性质定理可判断 的真假；根据线面垂直的性质定理及面面 平行的判定方法可判断 的真假；由面面平行的性质及几何特征可判断 的真假，进而得到答案 【解答】 解： 或 n，故 错误； 由线面垂直的性质定理可得 ，故 正确； 根据线面垂直的性质定理及面面平行的判定方法可得 ，故 正确； 由面面平行的性质及几何特征可得 或 m， n 异面，故 错误； 故选 A 【点评】 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线线关系，线面关系及面面关系的判定，性质，及几何特征是解答本题的关键 4如图，在一个棱长为 2 的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆 锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则 “鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到 ”的概率是（ ） A 1 B C D 1 【考点】 几何概型 【分析】 由题意，直接看顶部形状，及正方形内切一个圆，正方形面积为 4，圆为 ，即可求出 “鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到 ”的概率 【解答】 解：由题意，正方形的面积为 22=4圆的面积为 所以 “鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到 ”的概率是 1 ， 故选： A 【点评】 本题考查概率的计算 ，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 5已知点 A（ 3， 0），过抛物线 x 上一点 P 的直线与直线 x= 1 垂直相交于点 B，若 |则点 P 的横坐标为（ ） A 1 B C 2 D 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 利用抛物线的定义，结合 |即可求出点 P 的横坐标 【解答】 解：由题意，可知 F（ 1， 0）， 过抛物线 x 上一点 P 的直线与直线 x= 1 垂直相交于点 B， | | | P 的横坐标为 2， 故选： C 【点评】 本题考查抛物线的定义与性质，考查学生的计算能力，比较基础 6某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（ ） A 4 B C D 20 【考点】 球内接多面体；球的体积和表面积 【分析】 由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为 2 的正三角形，侧棱长是 2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的表面积 【解答】 解：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为 2 的正三角形，侧棱长是 2， 三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径， r= = ，球的表面积 4 = 故选： B 【点评】 本题考查了由三视图求三棱柱的外接球的表面积，利用棱柱的几何特征求外接球的半径是解题的关键 7函数 f（ x） = 的图象可能是（ ） A B C D 【考点】 函数的图象 【分析】 由函数的解析式，可求出函数的定义域，可排除 B， D 答案；分析 x（ 2， 1）时，函数值的符号，进而可以确定函数图象的位置后可可排除 【解答 】 解：若使函数 的解析式有意义 则 ，即 即函数 的定义域为（ 2， 1） （ 1， + ） 可排除 B， D 答案 当 x （ 2， 1）时， 0， x+2） 0 则 0 可排除 C 答案 故选 A 【点评】 本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握函数定义域的求法及函数值符号的判定是解答的关键 8执行如图所示的程序框图，如果输入的 N 是 10，那么输出的 S 是（ ） A 2 B 1 C 1 D 2 1 【考点】 程序框图 【分析】 模 拟 执 行 程 序 框 图 可 知 程 序 框 图 的 功 能 是 求 ，S= + + + + + 的值，用裂项法即可得解 【解答】 解：模拟执行程序框图，可得 N=10， S=0， k=1 S= ， 满足条件 k 10， k=2， S= + ， 满足条件 k 10， k=3， S= + + ， 满足条件 k 10， k=10，S= + + + + + = + += 1， 不满足条件 k 10，退出循环，输出 S 的值为 1 故选： C 【点评】 本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了数列的求和，属于基本知识的考查 9中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则例如周髀算经和易经里对二十四节气的晷（ 长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的下表为周髀算经对二十四节气晷影长的记录，其中 表示 115 寸 1 分（ 1 寸 =10 分） 节气 冬至 小寒 （大雪） 大寒 （小雪） 立春 （立冬） 雨水 （霜降） 惊蛰 （寒露） 春分 （秋分） 清明 （白露） 谷雨 （处暑） 立夏 （立秋） 小满 （大暑） 芒种 （小暑） 夏至 晷影长 （寸） 135 125 知易经中记录的冬至晷影长为 ，夏至晷影长为 ，那么易经中所记录的惊蛰的晷影长应为（ ） A B C D 【考点】 函数与方程的综合运用 【分析】 设晷影长为等差数列 公差为 d， 用等差数列的通项公式即可得出 【解答】 解：设晷影长为等差数列 公差为 d， 则 2d=得 d= 5= 易经中所记录的惊蛰的晷影长是 故选： C 【点评】 本题考查了函数的性质、等差数列的通项公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 10设 双曲线 =1（ a 0， b 0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点 P，使（ + ） =0（ O 为坐标原点），且 2| |=3| |，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由向量减法法则和数量积的运算性质，可得 = =c，从而得 到 以为 边的直角三角形由此结合 ，运用勾股定理算出 c， c，再根据双曲线的定义得到 2可得到该双曲线的离心率 【解答】 解： = ， 得 =0，所以 = =c ，边 的中线等于 |一半，可得 ， 设 ， ，（ 0） 得（ 3） 2+（ 2） 2=4得 = c c， c 由双曲线的定义，得 2a=| |= c 双曲线的离心率为 e= = 故选 A 【点评】 本题给出双曲线上一点 P 满足 直角，且两 直角边之比为 ，求双曲线的离心率，着重考查了向量的运算和双曲线的定义与简单几何性质等知识，属于中档题 11已知集合 M=（ x， y） |y=f（ x） ，若对于任意实数对（ M，存在（ M，使 成立，则称集合 M 是 “垂直对点集 ”，给出下列四个集合： M=（ x， y） |y= ； M=（ x， y） |y=； =（ x， y） |y=2x 2； M=（ x， y） |y=其中是 “垂直对点集 ”的序号是（ ） A B C D 【考点】 集合的表示法 【分析】 利用数形结合的方法解决，根据题意，若集合 M=（ x， y） |y=f（ x） 是 “垂直对点集 ”，就是在函数图象上任取一点 A，得直线 原点与 直的直线 与函数图象相交即可 【解答】 解：由题意，若集合 M=（ x， y） |y=f（ x） 满足： 对于任意 A（ M，存在 B（ M，使得 成立， 因此 所以，若 M 是 “垂直对点集 ”， 那么在 M 图象上任取一点 A，过原点与直线 直的直线 与函数图象相交于点 B 对于 ： M=（ x， y） |y= ，其图象是过一、二象限，且关于 y 轴对称， 所以对于图象上的点 A，在图象上存在点 B，使得 以 符合题意； 对于 ： M=（ x， y） |y=，画出函数图象， 在图象上任取一点 A，连 原点作直线 垂线 因为 y= 的图象沿 x 轴向左向右无限延展，且与 x 轴相切， 因此直线 会与 y= 的图象相交 所以 M=（ x， y） |y=是 “垂直对点集 ”，故 符合题意； 对于 ： M=（ x， y） |y=2x 2，其图象过点（ 0， 1）， 且向右向上无限延展，向左向下无限延展， 所以，据图可知，在图象上任取一点 A，连 过原点作 垂线 与 y=2 的图象相交，即一定存在点 B，使得 立， 故 M=（ x， y） |y=2x 2是 “垂直对点集 ”故 符合题意； 对于 ： M=x， y） |y=对于函数 y= 过原点做出其图象的切线 点 T 在第一象限）， 则过切点 T 做 垂线，则垂线必不过原点， 所以对切点 T，不存在点 M，使得 所以 M=（ x， y） |y=是 “垂直对点集 ”；故 不符合题意 故选： D 【点评】 本题考查 “垂直对点集 ”的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用 12定义在（ 1， + ）上的函数 f（ x）满足下列两个条件：（ 1）对任意的 x（ 1， + ）恒有 f（ 2x） =2f（ x）成立； （ 2）当 x （ 1， 2时， f（ x） =2 x；记函数 g（ x） =f（ x） k（ x 1），若函数 g（ x）恰有两个零点，则实数 k 的取值范围是（ ） A 1， 2） B C D 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 根据题中的条件得到函数 的解析式为： f（ x） = x+2b， x （ b， 2b，又因为 f（ x） =k（ x 1）的函数图象是过定点（ 1， 0）的直线，再结合函数的图象根据题意求出参数的范围即可 【解答】 解：因为对任意的 x （ 1， + ）恒有 f（ 2x） =2f（ x）成立，且当 x （ 1， 2时， f（ x） =2 x 所以 f（ x） = x+2b， x （ b， 2b 由题意得 f（ x） =k（ x 1）的函数图象是过定点（ 1， 0）的直线， 如图所示红色的直线与线段 交即可（可以与 B 点重合但不能与 A 点重合） 所以可得 k 的范围为 故选 C 【点评】 解决此类问 题的关键是熟悉求函数解析式的方法以及函数的图象与函数的性质，数形结合思想是高中数学的一个重要数学思想，是解决数学问题的必备的解题工具 二、填空题 13若两个非零向量 满足 ，则向量 与 的夹角是 120 【考点】 数量积表示两个向量的夹角 【分析】 将已知等式 平方得到 的模的关系及 ，然后利用向量的数量积公式求出 的夹角 【解答】 解： = = ， （ + ） （ ） = 2| |2， 设 的夹角为 0， 180 =120 故答案为 120 【点评】 求两个向量的夹角，一般利用向量的数量积公式来求出夹角的余弦，进一步求出夹角，但一定注意向量夹角的范围为 0， 180 14已知（ ） 5 的展开式中含 x 的项的系数为 30，则实数 a= 6 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 根据二项式展开式的通项公式，列出方程即可求出 r 与 a 的值 【解答】 解：（ ） 5 展开式的通项公式为： = =（ a） r ， 令 = ，解得 r=1； 所以展开式中含 x 项的系数为： （ a） =30， 解得 a= 6 故答案为： 6 【点 评】 本题考查了二项式展开式的通项公式与应用问题，是基础题目 15我们可以利用数列 递推公式 （ n N+），求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数，则 66 【考点】 数列递推式 【分析】 借助于递推公式知道奇数项的值为其项数，而偶数项的值由对应的值来决定，写出数列前几项，即可得到所求值 【解答】 解：由题得：这个数列各项的值分别为 1， 1， 3， 1， 5， 3， 7， 1， 9，5， 11， 3 5=5=5=5=1+65=66 故答案为： 66 【点评】 本题是对数列递推公式应用的考查，解题时要认真审题，仔细观察，注意寻找规律，避免不必要的错误 16实数 x、 y 满足 ，若 z=ax+y 的最大值为 3a+9，最小值为 3a 3，则 a 的取值范围是 1， 1 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可 【解答】 解：由 z=ax+y 得 y= ax+z，直线 y= ax+z 是斜率为 a， y 轴上的截距为 z 的直线， 作出不等式组 对应的平面区域如图： 则 A（ 3， 9）， B（ 3， 3）， C（ 3， 3）， z=ax+y 的最大值为 3a+9，最小值为 3a 3， 可知目标函数经过 A 取得最大值，经过 C 取得最小值， 若 a=0，则 y=z，此时 z=ax+y 经过 A 取得最大值，经过 C 取得最小值，满足条件， 若 a 0，则目标函数斜率 k= a 0， 要使目标函数在 A 处取得最大值，在 C 处取得最小值， 则目标函数的斜率满足 a 1， 即 a 1，可得 a （ 0， 1 若 a 0，则目标函数斜率 k= a 0， 要使目标函数在 A 处取得最大值，在 C 处取得最小值，可得 a 1 a 0，综上 a 1， 1 故答案为： 1， 1 【点评】 本题主要考查线性规划的应用，根据条件确定 A， B 是最优解是解决本题的关键注意要进行分类讨论，是中档题 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17（ 12 分）（ 2017长沙模拟）在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b，c，且满足 = （ ）求角 A 的大小； （ ）若 a=2 ，求 积的最大值 【考点】 正弦定理；余弦定理 【分析】 （ I）把条件中所给的既有角又有边的等式利用正弦定理变化成只有角的形式，整理逆用两角和的正弦公式， 根据三角形内角的关系，得到结果 （ 用余弦定理写成关于角 A 的表示式，整理出两个边的积的范围，表示出三角形的面积，得到面积的最大值 【解答】 解：（ ） ， 所以（ 2c b） a正弦定理，得（ 2 整理得 2 2A+B） = 在 ， 0 ， （ ）由余弦定理 ， b2+20=220 20，当且仅当 b=c 时取 “=” 三角形的面积 三角形面积的最大值为 【点评】 本题考查正弦定理和余弦定理，本题解题的关键是角和边的灵活互化，两个定理的灵活应用和两角和的公式的正用和逆用 18（ 12 分）（ 2017长沙模拟）如图，在四棱锥 P ，底面 菱形， 0， Q 是 中点 （ 1）若 D，求证：平面 平面 （ 2）若平面 平面 D=，点 M 在线段 且满足二面角 M C 的大小 【考点】 二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）推导出 而 平面 此能证明平面 平面 （ 2）以 Q 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 M C 的大小 【解答】 证明：（ 1） 在四棱锥 P ，底面 菱形， 0， Q 是 中点 D， D= ， 平面 平面 平面 平面 解：（ 2） 平面 平面 D=，点 M 在线段 且满足 以 Q 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， Q（ 0， 0， 0）， B（ 0， ， 0）， P（ 0， 0， ）， C（ 2， ， 0）， M（， ， ）， =（ 0， ， 0）， =（ ， ， ）， 设平面 法向量 =（ x， y， z）， 则 ，取 z=1，得 =（ ）， 平面 法向量 =（ 0， 0， 1）， 设二面角 M C 的平面角为 ， 则 = ， =60， 二面角 M C 的大小为 60 【点评】 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养 19（ 12 分）（ 2017长沙模拟）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇 2016年 618 期间，某购物平台的销售业绩高达 516 亿人民币与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系现从评价系统中选出 200 次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为 服务的好评率为 中对商品和服务都做出好评的交易为 80 次 （ ） 先完成关于商品和服务评价的 2 2 列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过 前提下，认为商品好评与服务好评有关？ （ ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的 3 次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量 X： 求对商品和服务全好评的次数 X 的分布列； 求 X 的数学期望和方差 附临界值表： P（ k） k 2 的观测值： k= （其中 n=a+b+c+d） 关于商品和服务评价的 2 2 列联表： 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 a=80 b= 40 120 对商品不满意 c= 70 d=10 80 合计 150 50 n=200 【考点】 独立性检验的应用 【分析】 （ ）由已知列出关于商品和服务评价的 2 2 列联表，代入公式求得值，对应数表得答案； （ ） 每次购物时，对商品和服务全好评的概率为 X 的取值可以是 0，1， 2， 3， X B（ 3， 求出 相应的概率，可得对商品和服务全好评的次数X 的分布列（概率用组合数算式表示）； 利用二项分布的数学期望和方差求 X 的数学期望和方差 【解答】 解：（ 1）由题意可得关于商品和服务评价的 2 2 列联表如下： 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 80 40 120 对商品不满意 70 10 80 合计 150 50 200 2 分 4 分 故能在犯错误的概率不超过 前提下，认为商品好评与服务好评有关 5分 （ 2） 每次购物时，对商品和服务都好评的概率 为 X 的取值可以是 0，1， 2， 3 其中 P（ X=0） =； P（ X=1） =； 7 分 P（ X=2） =； P（ X=3） = 9 分 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 10 分 由于 X B（ 3， 则 E（ X） =3 D（ X） =3 2分 【点评】 本小题主要考查统计与概率的相关知识，对考生的对数据处理的能力有很高要求，是中档题 20（ 12 分） （ 2017长沙模拟）已知椭圆的长轴长为 6，离心率为 ， 椭圆的右焦点 （ ）求椭圆的标准方程； （ ）点 M 在圆 x2+ 上，且 M 在第一象限，过 M 作圆 x2+ 的切线交椭圆于 P， Q 两点，判断 周长是否为定值并说明理由 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）由题意可知： 2a=6， ，求得 a 和 c 的值，由 b2=得 b，写出椭圆方程； （ ）设 P（ Q（ 分别求出 | |结合相切的条件可得 |=| | ，可得 ， 同理|3，即可证明； 【解答】 解：（ I）根据已知，设椭圆的标准方程为 ， 2a=6， a=3， ， c=1； b2=， （ 周长是定值， 设 P（ Q（ 则 ， ， 0 3， ，（ 7 分） 在圆中， M 是切点， ，（ 11 分） ， 同理 |3，（ 13 分） |3+3=6， 因此 周长是定值 6 （ 14 分） 【点评】 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相 交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、直线与圆相切性质、勾股定理、三角形的周长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 21（ 12 分）（ 2017长沙模拟）已知函数 f（ x） = 的图象为曲线 C，函数 g（ x） = ax+b 的图象为直线 l （ 1）当 a=2， b= 3 时，求 F（ x） =f（ x） g（ x）的最大值； （ 2）设直线 l 与曲线 C 的交点的横坐标分别为 证：（ x1+x2）g（ x1+ 2 【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用；分析法和综合法 【分析】 （ 1） 由 a=2， b= 3，知 ， x （ 0，1）， F（ x） 0， F（ x）单调递增， x （ 1， + ）， F（ x） 0， F（ x）单调递减，由此能求出 F（ x） =f（ x） g（ x）的最大值 （ 2）设 证（ x1+g（ x1+ 2，只需证 ，由此入手，能够证明（ x1+g（ x1+ 2 【解答】 解：（ 1） ， ， x （ 0， 1）， F（ x） 0， F（ x）单调递增， x （ 1， + ）， F（ x） 0， F（ x）单调递减， F（ x） （ 1） =2 （ 2 ）不妨设 要证（ x1+ g （ x1+ 2 ，只需证， ， ， ，即 ， ， 令 ， x （ + ）只需证， ，