2006年4月北京市丰台区高三统一练习数学(理)试题

2006 年 4 月北京市丰台区高三统一练习 数学（理）试题 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷 1 至 2 页，第 卷 3 至 9 页，共 150 分。考试时间 120 分钟。 第卷（选择题 共 40 分） 注意事项： 1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。 一、选择题 ：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分。在每个小题列出的四个选项中， 选出符合题目要求的一项。 (1) 复数 等于2)i1( (A) 2i (B) 2i (C) 2 (D) 2 (2) 已知全集 U=R,集合 ,x,yB,x,logyA0.5 B)(ACU则 (A) (B)1，4 (C) (1,4) (D) ， 4( )1， (3) 设二项式 的展开式的各项系数的和为 m, 其二项式系数之和为 k，若n)(3x m+k=1056,则 n 等于 (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (4)已知函数 的导数为 ，若 0 (D) 不能确定 x (5)已知双曲线 的离心率为 2，点 A(a , 0) , B(0 , b), 若原点到直0)b ,1(ayax2 线 AB 的距离为 ，则该双曲线两准线间的距离等于3 - 2 - (A) (B) (C) 2 (D) 12141 (6) 设 是的 最 大 值则满 足 下 列 条 件式 中 变 量 z0,2y4x,1yx,yz (A)10 (B) 0 (C) 3 (D) 4 (7)下面有四个命题： “直线 a,b 为异面直线”的充分非必要条件是“直线 a,b 不相交”; “直线 a 垂直于平面 内无数条直线”的充要条件是“直线 a 垂直于平面 ” ； “直线 a 垂直于直线 b”的充分非必要条件是“直线 a 垂直于直线 b 在平面 内的射 影” ； “直线 a 平行于平面 ”的必要非充分条件是“直线 a 平行于平面 内的一条直线” 。 其中不正确的命题的个数是 (A)1 (B)2 (C) 3 (D)4 (8)下面函数中，图像经过平移或翻折后不能与函数 图像重合的是xlogy21 (A) (B)x2y (8)l21 (C) (D)log4 4yx 第卷（ 共 110 分） 注意事项：1用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。 2答卷前将密封线内的项目填写清楚。 三 题 号 一 二 15 16 17 18 19 20 总分 分 数 - - 3 - 二、填空题 ：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。把答案填在题 中横线上 (9) 等比数列 ：1，2，4，其前 n 项和为 ，n=1,2,3,，则 nbnSnSblim 。 (10) 如图为一几何体的的展开图，其中 ABCD 是边长 为 6 的正方形，SD=PD6， CR=SC，AQ=AP，点 S, D,A,Q 及 P,D,C,R 共线，沿图中虚线将它们折叠起来， 使 P，Q，R， S 四点重合，则需要 个这样的 几何体，可以拼成一个棱长为 6 的正方体。 (11) 已知向量 =(4,2), 向量 =(1,1)，则向量 在向量 上的射影长为 。 a b b a (12) 已知圆 M： 过点 A（1，0）作ABC ，使其满足条件：,17y34xy2 直线 AB 经过圆心 M，BAC30，且 B、C 两点均在圆 M 上，则直线 AC 的方程为 。 (13) 已知函数 ，则 f(x)是 （填“奇”或“偶” ）函数，不等式2f(x) 的解集是 .0xf() (14)袋中有 8 个大小相同的球，其中有 5 个红球，3 个白球，每次从中任意抽取一个且抽取 后不放回，先后抽取 3 次，则抽到红球比抽到白球次数多的概率为 。 三、解答题 ：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 (15) （本小题共 13 分） 设函数 的部分图象如右图所示。0)R,(x )4 sin(x)f （）求 f (x)的表达式； （）若 ，求 tanx 的值。)2,4(x,12)4sin(x) f 得分 评卷人 得分 评卷人 1 - 4 - (16)（本小题共 14 分） 在四棱锥 PABCD 中，侧面 PCD 是正三角形，且与底面 ABCD 垂 直，已知底面 ABCD 是面积为 2 的菱形，ADC60，M 是 PB 的3 中点。 （）求证 PACD ； （）求二面角 PAB D 的度数； （）求证平面 PAB平面 CDM。 得分 评卷人 - - 5 - (17) （本小题共 13 分） 高三学生尚大学想买一本新出版的数学高考指导丛书，他家附近有 4 个书店，他打算由近到远依次去书店看看是否有这本书，要是有就买一 本.如果每个书店有这本书的概率为 0.6，并且互相独立，设他在买到这本书之前已经去过 的书店的个数为 . ()求尚大学到第一个书店就买到这本书的概率； ()求 的概率分布； ()求 的数学期望，并据此说明尚大学他能否在这 4 个书店中买到这本书 .得分 评卷人 - 6 - (18) （本小题共 14 分） 函数 f (x) 对一切实数 x ,y 均有 成立，且 f (1)1)2yx(f)yf( 0。 （）求 f (0)的值； （）当 时，f (x) 2 恒成立，试求实数 a 的取值范围。)21(,xxloga得分 评卷人 - - 7 - (19) （本小题共 14 分） 在平面直角坐标系中，已知三个点列 ， ， ，其中nABnC ，满足向量 与向量 共线，1,0)(nC ),b(B),a (nAn 1 且点列 在斜率为 6 的直线上，n=1,2,3,。nB （）证明数列 是等差数列；nb （）试用 ；2)(a ,an1表 示与 （）设 两项中至少有一项是数列 的最小项，试求实数 a76 ,b ,与在na 的取值范围. (20) （本小题共 12 分） 四边形 ABCD 是梯形， 0， 与 共线，A，B 是两个定 AB AD AB CD 点，其坐标分别为（1，0） ， （1，0） ，C、D 是两个动点，且满足 。BCD （）求动点 C 的轨迹 E 的方程； 得分 评卷人 1 得分 评卷人 - 8 - （）设直线 BC 与动点 C 的轨迹 E 的另一交点为 P，过点 B 且垂直于 BC 的直线交动点 C 的轨迹 E 于 M，N 两点，求四边形 CMPN 面积的最小值。 2006 年 4 月北京市丰台区高三统一练习 数学（理）试题答案 一、选择题 ：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B B C D D C D 二、填空题 ：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 (9) (10) 3 (11) (12)215 01y3x1或 (13)偶 (14) 0x1x或 75 三、解答题 ：本大题共 6 小题，共 80 分。 (15) （本小题共 13 分） 设函数 的部分图象如右图所示。 （）求 f (x)的表达0)R,(x )4 sin(x) f 式；（）若 ，求 tanx 的值。2,(,12 解：（）设周期为 T 4834得 所以 3 分) xsin(2) f （） ,41)cos(2x4sin(2x)4sin(4(x 9 分5 , , ,21cosx 21) sin 又 13 分3216tan41t)64tan(15tax (16)（本小题共 14 分） - - 9 - 在四棱锥 PABCD 中，侧面 PCD 是正三角形，且与底面 ABCD 垂直，已知底面 ABCD 是面积为 2 的菱形，ADC60，M 是 PB 的中点。3 （）求证 PACD ；（）求二面角 PABD 的度数； （）求证平面 PAB平面 CDM。 解：（）取 CD 的中点 E，连 PE,AE 因为PCD 为正三角形 所以 PECD 又底面 ABCD侧面 PCD，因为 PE底面 ABCD 3 分 ADC60，ADAC， ADC 为正三角形， 所以 AECD 由三垂线定理 PAC D 5 分 （）因为 CDAB ，由（）可得 AEAB， PAAB PAE 是二面角 PABD 的平面角 7 分 因为菱形 ABCD 是面积 S=AB2sin60=2 ，AB 2， PAE45即二面角3 PAB D 为 45 9 分 （）取 PA 的中点 N，连 MN,DN ，则 MNABCD 所以 M、N、D、C 四点共面， 又 因为 ADPD PAND 又 PACD PA 平面 CDM 12 分 所以 平面 PAB平面 CDM 14 分 (17) （本小题共 13 分） 高三学生尚大学想买一本新出版的数学高考指导丛书，他家附近有 4 个书店，他打算由 近到远依次去书店看看是否有这本书，要是有就买一本.如果每个书店有这本书的概率为 0.6，并且互相独立，设他在买到这本书之前已经去过的书店的个数为 . ()求尚大学到第一个书店就买到这本书的概率；() 求 的概率分布；( )求 的数学期 望，并据此说明尚大学他能否在这 4 个书店中买到这本书. 解：() 3 分0.6)P( () ， .0 0.246.1)P( ， 962 9 分0.64.43)P( () E = = 12 分0612930.64.2 由 E =0.624 的意义可知，在买到书之前去过了 0.624 个书店，到第二个书店一般就能够 买到这本书 13 分 (18) （本小题共 14 分） 0 1 2 3P 0.6 0.24 0.096 0.064 - 10 - 函数 f (x) 对一切实数 x ,y 均有 成立，且 f (1)0。1)2yx(f)yf( （）求 f (0)的值； （）当 时，f (x) 2 恒成立，试求实数 a 的取值范围。)21(0,xloga 解：（）令 x=1 , y=0, 3 分2f(0)12(f0)( （）令 y=0, 可得 5 分xf)2 f (x)2 即 又 ，所以 ，xloga loga)2(0,0x2 当 a1 时， , 说明 a1 不合题意. 7 分0 ，即 h(x)0 恒成立1)a,02x( logxh()a2设 因为 恒成立9 分0(x)h, ln1 时 ，当， 所以 h(x)是增函数， 有 11 分2log43)2h(xa 只需 恒成立，解得 所求为 14 分021log43a 334 (19) （本小题共 14 分） 在平面直角坐标系中，已知三个点列 ， ， ，其中nABnC ，满足向量 与向量 共线，且点列 在斜1,0)(nC ),b(B),a (nAn 1 nB 率为 6 的直线上，n=1,2,3,。 （）证明数列 是等差数列；（）试用nb ；（）设 两项中至少有一项是数列2)(nab ,a1表 示与 761a , ,a与在 的最小项，试求实数 a 的取值范围.n 解：（）点列 在斜率为 6 的直线上，有 nB 6b 6n1)(bn1 故数列 是公差为 6 的等差数列。 3 分nb （）由向量 与向量 共线，得 即为1AnCn1nCBAk 5 分nn1n ab )(0b)(a - - 11 - 而 62)1(n)(nba bba)(aa1 1n211n32n 8 分ba9312n （）由已知和（）可得 9 分2)(n a69)(a3n2 设 是开口方向向上的抛物线fx )x(af(x) 2，二 次 函 数 又 两项中至少有一项是数列 的最小项，则对称轴为76a与在 na69ax 在区间 内，即 14 分215, 3624 15692 (20) （本小题共 12 分） 四边形 ABCD 是梯形， 0， 与 共线，A，B 是两个定点，其坐标分别 AB AD AB CD 为（1，0） ， （1，0） ，C、D 是两个动点，且满足 。 （）求动点 C 的轨迹 E 的方程； （）设直线 BC 与动点 C 的轨迹 E 的另一交点为 P，过点 B 且垂直于 BC 的直线交动点 C 的轨迹 E 于 M，N 两点，求四边形 CMPN 面积的最小值。 解：（）由 0， 与 共线可知 AB AD AB CD 四边形 ABCD 是直角梯形，且 CDDA，又 ，BC所以 动点 C 的轨迹为以 B 为焦点， DA 为准线，对称轴为 x 轴的抛物线。设动点 C 的轨迹 E 的 方程 ，则 p= =2 0)2px(yA 所以动点 C 的轨迹 E 的方程是 3 分