2010-2016【长沙中考数学试题及答案】

1 B O A CA C B 第 8 题图 2010 年长沙市初中毕业学业水平考试试卷 数 学 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项。本 题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分） 14 的平方根是 A B2 C2 D2 2 2函数 的自变量 x 的取值范围是1yx Ax1 Bx 1 Cx -1 Dx1 3一个几何体的主视图、左视图、俯视图的图形完全相同，它可能是 A三棱锥 B长方体 C球体 D三棱柱 4下列事件是必然事件的是 A通常加热到 100，水沸腾； B抛一枚硬币，正面朝上； C明天会下雨； D经过城市中某一有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯. 5下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是 A3、4、5 B6、8、 10 C 、2、 D5、12、133 6已知O 1、O 2 的半径分别是 、 ，若两圆相交，则圆心距 O1O2 可能取的值是1r4 A2 B4 C6 D8 7下列计算正确的是 A B2a2()a C D33 8如图，在O 中，OAAB，OCAB，则下列结论错误的是 A弦 AB 的长等于圆内接正六边形的边长 B弦 AC 的长等于圆内接正十二边形的边长 C DBAC=30 二、填空题（本题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分） 93 的相反数是 10截止到 2010 年 5 月 31 日，上海世博园共接待 8 000 000 人，用科学记数法表示 是 人 11如图，O 为直线 AB 上一点， COB=2630，则1= 度 12实数 a、b 在数轴上位置如图所示，则| a | 、| b |的大小关系是 a o b C BA OOA C 1 y xB 11 2 3 3 1 2 O 第 13 题图第 12 题图第 11 题图 2 13已知反比例函数 的图象如图，则 m 的取值范围是 1yx 14已知扇形的面积为 ，半径等于 6，则它的圆心角等于 度2 15等腰梯 形 的 上 底 是 4cm， 下 底 是 10 cm， 一 个 底 角 是 ， 则 等 腰 梯 形 的 腰长60 是 cm 162010 年 4 月 14 日青海省玉树县发生 7.1 级大地震后，湘江中学九年级（1）班 的 60 名同学踊跃捐款有 15 人每人捐 30 元、14 人每人捐 100 元、10 人每人 捐 70 元、21 人每人捐 50 元在这次每人捐款的数值中，中位数是 . 三、解答题（本题共 6 个小题，每小题 6 分，共 36 分） 17计算： 1 023tan0(21)A 18先化简，再求值： 其中 . 2291()33xxA 19为 了 缓 解 长 沙 市 区 内 一 些 主 要 路 段 交 通 拥 挤 的 现 状，交警队在一些主要 路口设立了交通路况显示牌（如图）已知立杆 AB 高度是 3m，从侧面 D 点 测 得 显 示 牌 顶 端 C 点 和 底 端 B 点 的 仰 角 分 别 是 60和 45求路况显 示牌 BC 的高度 第 19 题图 3 20有四张完全一样的空白纸片，在每张纸片的一个面上分别写上 1、2、3、4某同学把这四张纸片写有 字的一面朝下，先洗匀随机抽出一张，放回洗匀后，再随机抽出一张求抽出的两张纸片上的数字之 积小于 6 的概率（用树状图或列表法求解） 21ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示 A、 B、 C 三点在格点上 （1）作出ABC 关于 轴对称的A 1B1C1，并写出点 C1 的坐标；y （2）作出ABC 关于原点 O 对称的A 2B2C2，并写出点 C2 的坐标 22在正方形 ABCD 中，AC 为对角线，E 为 AC 上一点，连接 EB、ED （1）求证：BECDEC； （2）延长 BE 交 AD 于 F，当BED=120时，求EFD 的度数 四、解答题（本题共 2 个小题，每小题 8 分，共 16 分） 23长沙市某楼盘准备以每平方米 5000 元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购 房者持币观望为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米 4050 元的 均价开盘销售 （1）求平均每次下调的百分率； （2）某人准备以开盘均价购买一套 100 平方米的房子开发商还给予以下两种优惠方案以供选择： 打 9.8 折销售；不打折，送两年物业管理费物业管理费是每平方米每月 1.5 元请问哪种方案更 优惠？ 24已知：AB 是 的弦，D 是 的中点，过 B 作 AB 的垂线交 AD 的延长线于 COAA （1）求证：ADDC； E B DA C FA F D E B C 第 22 题图 B E C D A O B E C 第 24 题图 第 21 题图 y x 4 （2）过 D 作O 的切线交 BC 于 E，若 DEEC ，求 sinC 五、解答题（本题共 2 个小题，每小题 10 分，共 20 分） 25已知：二次函数 的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，b），2yax 其中 且 、 为实数0ab （1）求一次函数的表达式（用含 b 的式子表示）； （2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点； （3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为 x1、x 2，求| x1x 2 |的范围 26如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的两边分别在 x 轴和 y 轴上， cm， OC=8cm，现82OA 有两动点 P、Q 分别从 O、C 同时出发，P 在线段 OA 上沿 OA 方向以每秒 cm 的速度匀速运动，Q 在线段 CO 上沿 CO 方向以每秒 1 cm 的速度匀速运动设运动时间为 t 秒 （1）用 t 的式子表示OPQ 的面积 S； （2）求证：四边形 OPBQ 的面积是一个定值，并求出这个定值； （3）当OPQ 与PAB 和QPB 相似时，抛物线 经过 B、 P 两点，过线段 BP 上一动214yxbc 点 M 作 轴的平行线交抛物线于 N，当线段 MN 的长取最大值时，求直线 MN 把四边形 OPBQ 分成y 两部分的面积之比 B AP x C Q O y 第 26 题图 5 2010 年长沙市初中毕业学业水平考试试卷 数学参考答案及评分标准 一、选择题（本题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分）请将你认为正确的选项的代号填在答题卡上 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 C C C A C B C D 二、填空题（本题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分） 93 10810 6 111535 12|a|b| 13mb0，a+ b=2 2a1 令函数 在 11 时，Y 随 X 的增大而减小 8如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在原正方体的表面上，与汉字“美“相对的 面上的汉字是 A我 B爱 C长 D沙 9谢老师对班上某次数学模拟考试成绩进行统计，绘制了如图所示的统计图，根据图中给出的信息，这 次考试成绩达到 A 等级的人数占总人数的 10 A6 B10 C20 D25 10如图，等腰梯形 ABCD 中，ADBC，B=45， AD=2，BC=4，则梯形的面积为 A3 B4 C6 D8 二、填空题(本题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分) 11分解因式： =_。2ab 12反比例函数 的图象经过点 A( ，3)，则 的值为_。kyx2k 13如图，CD 是ABC 的外角ACE 的平分线，ABCD，ACE=100，则A=_。 14化简：_。 15在某批次的 l00 件产品中，有 3 件是不合格产品，从中任意抽取一件检验，则抽到不合格产品的概率 是_。 16菱形的两条对角线的长分别是 6cm 和 8cm，则菱形的周长是_cm 17已知 ，则 的值是_。3ab8ab 18如图，P 是O 的直径 AB 延长线上的一点，PC 与O 相切于点 C，若P=-20， 则A=_。 三、解答题(本题共 2 个小题，每小题 6 分，共 12 分) 19已知 ，求 的值。091(2)abc， ， abc 20解不等式 ，并写出它的正整数解。2()63xx 11 四、解答题(本题共 2 个小题，每小题 8 分，共 16 分) 21“珍惜能源从我做起，节约用电人人有责”为了解某小区居民节约用电情况，物业公司随机抽取了 今年某一天本小区 l0 户居民的日用电量，数据如下： 用户序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 日用电量(度) 4.4 4.0 5.0 5.6 3.4 4.8 3.4 5.2 4.0 4.2 （1）求这组数据的极差和平均数； （2）已知去年同一天这 10 户居民的平均日用电量为 7.8 度，请你估计，这天与去年同日相比，该小区 200 户居民这一天共节约了多少度电? 22如图，在O 中，直径 AB 与弦 CD 相交于点 P，CAB=40，APD=65。 （1）求B 的大小： （2）已知圆心 0 到 BD 的距离为 3，求 AD 的长。 五、解答题（本题共 2 个小题，每小题 9 分，共 18 分） 23某工程队承包了某标段全长 1755 米的过江隧道施工任务，甲、乙两个班组分别从东、西两端同时掘 进已知甲组比乙组平均每天多掘进 06 米，经过 5 天施工，两组共掘进了 45 米 （1）求甲、乙两个班组平均每天各掘进多少米? 12 （2）为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天能比原来多掘进 02 米， 乙组平均每天能比原来多掘进 03 米按此旄工进度，能够比原来少用多少天完成任务? 24如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成 37角的楼梯 AD、 BE 和一段水平平台 DE 构成。已知天桥高度 BC4.8 米，引桥水平跨度 AC=8 米。 （1）求水平平台 DE 的长度； （2）若与地面垂直的平台立枉 MN 的高度为 3 米，求两段楼梯 AD 与 BE 的长度之比。 (参考数据：取 sin37=0.60，cos37=0.80，tan37=0.75 六、解答题（本题共 2 个小题，每小题 10 分，共 20 分） 25使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点。例如，对于函数 ，令 y=0，可得 x=1，我们1yx 就说 1 是函数 的零点。1yx 己知函数 ( m 为常数)。23 （1）当 =0 时，求该函数的零点；m （2）证明：无论 取何值，该函数总有两个零点； （3）设函数的两个零点分别为 和 ，且 ，此时函数图象与 x 轴的交点分别为1x2124x A、B(点 A 在点 B 左侧)，点 M 在直线 上，当 MA+MB 最小时，求直线 AM 的函数解析式。0y 13 26如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（0,2），点 P 是 x 轴上一动点，以线段 AP 为一边，在其一侧 作等边三角线 APQ。当点 P 运动到原点 O 处时，记 Q 得位置为 B。 （1）求点 B 的坐标； （2）求证：当点 P 在 x 轴上运动（P 不与 Q 重合）时，ABQ 为定值； （3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在， 请说明理由。 2011 年长沙市初中毕业学业水平考试试卷 14 数学参考答案 一、选择题： 二、填空题： 11. 12. 13. 50 14. 1 15. 0.03 16. 20 17. 5 18. 35()ab6 三、解答题： 19. 4 20. 解得 ，正整数解为 1 和 2.2x 四、解答题 21. （1）极差：2.2 平均数：4.4 （2）这 10 户居民这一天平均每户节约：7.8-4.4=3.4 （度） 总数为：3.4200=680（度） 22. （1）证明略 （2）AD=2OE=6 五。、解答题： 23. （1）设甲、乙班组平均每天掘进 x 米,y 米，得 ，解得0.65()4xy4.82xy 甲班组平均每天掘进 4.8 米，乙班组平均每天掘进 4.2 米。 （2）设按原来的施工进度和改进施工技术后的进度分别还需 a 天，b 填完成任务，则 a=（1755-45 ） （4.8+4.2 ）=190（天） b=（1755-45 ）（4.8+4.2+0.3+0.3 ）=180（天） a-b=10 （天） 少用 10 天完成任务。 24. （1）DE=1.6（米） （2）AD:BE=5:3 六、解答题： 25. （1）当 =0 时，该函数的零点为 和 。m6 （2）令 y=0，得= 2 2()4(3)4(1)0m 无论 取何值，方程 总有两个不相等的实数根。x 即无论 取何值，该函数总有两个零点。 （3）依题意有 ，1212(3) 由 解得 。124xm 函数的解析式为 。28yx 令 y=0，解得 12， A( )，B(4,0)20， 15 作点 B 关于直线 的对称点 B，连结 AB，10yx 则 AB与直线 的交点就是满足条件的 M 点。 易求得直线 与 x 轴、y 轴的交点分别为 C（10,0），D（0,10）。y 连结 CB，则BCD=45 BC=CB=6，BCD=BCD=45 BCB=90 即 B（ ）106， - 设直线 AB的解析式为 ，则ykxb ，解得2106kb12， 直线 AB的解析式为 ，yx 即 AM 的解析式为 。12 26、（1）过点 B 作 BCy 轴于点 C，A(0,2)，AOB 为等边三角形， AB=OB=2，BAO=60 ， BC= ，OC=AC=1，3 即 B（ ） 1， （2）当点 P 在 x 轴上运动（P 不与 O 重合）时，不失一般性， PAQ=OAB=60 ， PAO= QAB， 在APO 和 AQB 中， AP=AQ， PAO=QAB ，AO=AB APO AQB 总成立， ABQ=AOP=90总成立， 当点 P 在 x 轴上运动（P 不与 Q 重合）时，ABQ 为定值 90。 （3）由（2）可知，点 Q 总在过点 B 且与 AB 垂直的直线上， 可见 AO 与 BQ 不平行。 当点 P 在 x 轴负半轴上时，点 Q 在点 B 的下方， 此时，若 ABOQ，四边形 AOQB 即是梯形， 当 ABOQ 时，BQO=90，BOQ=ABO=60 。 又 OB=OA=2，可求得 BQ= ，3 由（2）可知，APOAQB，OP=BQ= ，3 此时 P 的坐标为（ ）。 0， 当点 P 在 x 轴正半轴上时，点 Q 在嗲牛 B 的上方， 16 此时，若 AQOB，四边形 AOQB 即是梯形， 当 AQOB 时，ABQ=90，QAB=ABO=60 。 又 AB= 2，可求得 BQ= ，23 由（2）可知，APOAQB，OP=BQ= ，23 此时 P 的坐标为（ ）。 0， 综上，P 的坐标为（ ）或（ ）。3， 0， 2012 年湖南省长沙市中考数学试卷 17 参考答案与试题解析 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的 1 （3 分） （2012长沙）3 相反数是（ ） A B 3 C D 3 考点： 相反数2696387 分析： 根据只有符号不同的两个数互为相反数解答 解答： 解：3 相反数是 3 故选 D 点评： 本题主要考查了互为相反数的定义，熟记定义是解题的关键 2 （3 分） （2012长沙）下列平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 考点： 中心对称图形；轴对称图形2696387 分析： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 解答： 解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误 故选 A 点评： 此题考查了轴对称及中心对称图形的判断，解答本题的关键是掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，属 于基础题 3 （3 分） （2012长沙）甲、乙两学生在军训打靶训练中，打靶的总次数相同，且所中环数的平均数也相 同，但甲的成绩比乙的成绩稳定，那么两者的方差的大小关系是（ ） A B C = D 不能确定 考点： 方差2696387 分析： 方差越小，表示这个样本或总体的波动越小，即越稳定根据方差的意义判断 解答： 解：根据方差的意义知，射击成绩比较稳定，则方差较小， 甲的成绩比乙的成绩稳定， 有： S 甲 2S 乙 2 故选 A 点评： 本题考查了方差的意义，方差反映的是数据的稳定情况，方差越小，表示这个样本或总体的波动越小，即 越稳定；反之，表示数据越不稳定 18 4 （3 分） （2012长沙）一个不等式组的解集在数轴上表示出来如图所示，则下列符合条件的不等式组为 （ ） A B C D 考点： 不等式的解集2696387 专题： 计算题 分析： 由图示可看出，从1 出发向右画出的折线且表示 1 的点是实心圆，表示 x1；从 2 出发向左画出的折线且 表示 2 的点是空心圆，表示 x2，所以这个不等式组的解集为1x2，从而得出正确选项 解答： 解：由图示可看出，从1 出发向右画出的折线且表示 1 的点是实心圆，表示 x1； 从 2 出发向左画出的折线且表示 2 的点是空心圆，表示 x2，所以这个不等式组的解集为1x2，即： 故选：C 点评： 考查了不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“”空心圆点向右画折线， “”实心圆点向 右画折线， “”空心圆点向左画折线， “”实心圆点向左画折线 5 （3 分） （2004淮安）下列四边形中，两条对角线一定不相等的是（ ） A 正方形 B 矩形 C 等腰梯形 D 直角梯形 考点： 直角梯形2696387 分析： 对各个选项进行分析从而得到最后答案 解答： 解：根据正方形、矩形、等腰梯形的性质，它们的两条对角线一定相等，只有直角梯形的对角线一定不相 等 故选 D 点评： 本题主要考查了正方形、矩形、等腰梯形的性质 6 （3 分） （2012长沙）下列四个角中，最有可能与 70角互补的是（ ） A B C D 考点： 余角和补角2696387 分析： 根据互补的两个角的和等于 180求出 70角的补角，然后结合各选项即可选择 解答： 解：70角的补角 =18070=110，是钝角， 结合各选项，只有 D 选项是钝角， 19 所以，最有可能与 70角互补的是 D 选项的角 故选 D 点评： 本题考查了互为补角的定义，根据补角的定义求出 70角的补角是钝角是解题的关键 7 （3 分） （2012长沙）小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途时，自行车出了故障， 只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了速度继续匀速行驶，下面是行驶路程 s（m）关于时间 t（min）的函数图象，那么符合小明行驶情况的大致图象是（ ） A B C D 考点： 函数的图象2696387 分析： 根据匀速直线运动的路程、时间图象是一条过原点的斜线，修车时自行车没有运动，所以修车时的路程保 持不变是一条直线，修车后为了赶时间，加大速度后再做匀速直线运动，其速度比原来变大，斜线的倾角 变大，即可得出答案 解答： 解：小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，正常匀速行驶的路程、时间图象是一条过原点 O 的斜 线， 修车时自行车没有运动，所以修车时的路程保持不变是一条平行于横坐标的水平线， 修车后为了赶时间，他比修车前加快了速度继续匀速行驶，此时的路程、时间图象仍是一条斜线，只是斜 线的倾角变大 因此选项 A、B、D 都不符合要求 故选 C 点评： 此题考查了函数的图象，本题的解题关键是知道匀速直线运动的路程、时间与图象的特点，要能把实际问 题转化成数学问题 8 （3 分） （2012长沙）已知：菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，OEDC 交 BC 于点 E，AD=6cm ，则 OE 的长为（ ） A 6cm B 4cm C 3cm D 2cm 考点： 菱形的性质；三角形中位线定理2696387 分析： 根据题意可得：OE 是BCD 的中位线，从而求得 OE 的长 解答： 解： 四边形 ABCD 是菱形， OB=OD，CD=AD=6cm ， OEDC， BE=CE， 20 OE= CD=3cm 故选 C 点评： 此题考查了菱形的性质：菱形的对角线互相平分，菱形的四条边都相等还考查了三角形中位线的性质： 三角形的中位线等于三角形第三边的一半 9 （3 分） （2008黔东南州）某闭合电路中，电源的电压为定值，电流 I（A）与电阻 R（）成反比 例图表示的是该电路中电流 I 与电阻 R 之间函数关系的图象，则用电阻 R 表示电流 I 的函数解析式为（ ） A B C D 考点： 根据实际问题列反比例函数关系式2696387 专题： 跨学科 分析： 可设 I= ，由于点（ 3，2）适合这个函数解析式，则可求得 k 的值 解答： 解：设 I= ，那么点（ 3，2）适合这个函数解析式，则 k=32=6， I= 故选 C 点评： 解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式 10 （3 分） （2012长沙）现有 3cm，4cm，7cm，9cm 长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那 么可以组成的三角形的个数是（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 考点： 三角形三边关系2696387 分析： 从 4 条线段里任取 3 条线段组合，可有 4 种情况，看哪种情况不符合三角形三边关系，舍去即可 解答： 解：四条木棒的所有组合：3，4，7 和 3，4，9 和 3，7，9 和 4，7，9； 只有 3，7，9 和 4，7，9 能组成三角形 故选 B 点评： 考查了三角形三边关系，三角形的三边关系：任意两边之和第三边，任意两边之差第三边；注意情况 的多解和取舍 二、填空题（本题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分） 11 （3 分） （2012长沙）已知函数关系式：y= ，则自变量 x 的取值范围是 x1 21 考点： 函数自变量的取值范围2696387 分析： 根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解 解答： 解：根据题意得，x10， 解得 x1 故答案为：x1 点评： 本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数 12 （3 分） （2012长沙）如图，在ABC 中，A=45，B=60，则外角ACD= 105 度 考点： 三角形的外角性质2696387 专题： 常规题型 分析： 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解 解答： 解：A=45， B=60， ACD=A+B=45+60=105 故答案为：105 点评： 本题主要考查了三角形的外角性质，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关 键 13 （3 分） （2001东城区）若实数 a、b 满足|3a 1|+b2=0，则 ab 的值为 1 考点： 非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值2696387 分析： 根据非负数的性质列式求出 a、b 的值，然后代入代数式，根据任何非 0 数的 0 次幂等于 1 进行计算即可 得解 解答： 解：根据题意得，3a1=0 ，b=0， 解得 a= ，b=0， ab=（ ） 0=1 故答案为：1 点评： 本题考查了绝对值非负数，平方数非负数的性质，根据几个非负数的和等于 0，则每一个算式都等于 0 列 式是解题的关键 14 （3 分） （2012长沙）如果一次函数 y=mx+3 的图象经过第一、二、四象限，则 m 的取值范围是 m0 22 考点： 一次函数图象与系数的关系2696387 分析： 根据一次函数 y=mx+3 的图象经过第一、二、四象限判断出 m 的取值范围即可 解答： 解： 一次函数 y=mx+3 的图象经过第一、二、四象限， m0 故答案为：m0 点评： 本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数 y=kx+b（k0）中，当 k0，b0 时函数的图 象在一、二、四象限 15 （3 分） （2012长沙）任意抛掷一枚硬币，则“正面朝上”是 随机 事件 考点： 随机事件2696387 分析： 根据随机事件的定义，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，即可判断 解答： 解：抛掷 1 枚均匀硬币可能正面朝上，也可能反面朝上， 故抛掷 1 枚均匀硬币正面朝上是随机事件 故答案为：随机 点评： 本题主要考查的是对随机事件概念的理解，解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方 法去分析、看待、解决问题，比较简单 16 （3 分） （2012长沙）在半径为 1cm 的圆中，圆心角为 120的扇形的弧长是 cm 考点： 弧长的计算2696387 分析： 知道半径，圆心角，直接代入弧长公式 L= 即可求得扇形的弧长 解答： 解：扇形的弧长 L= = cm 故答案为： cm 点评： 考查了弧长的计算，要掌握弧长公式：L= 才能准确的解题 17 （3 分） （2012长沙）如图，ABCDEF，那么BAC+ ACE+CEF= 360 度 考点： 平行线的性质2696387 专题： 计算题 分析： 先根据 ABCD 求出BAC+ ACD 的度数，再由 CDEF 求出 CEF+ECD 的度数，把两式相加即可得出 答案 解答： 解： ABCD， BAC+ACD=180， CDEF， CEF+ECD=180， 23 +得， BAC+ACD+CEF+ECD=180+180=360， 即BAC+ ACE+CEF=360 点评： 此题比较简单，考查的是平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补 18 （3 分） （2012长沙）如图，等腰梯形 ABCD 中，ADBC，AB=AD=2，B=60，则 BC 的长为 4 考点： 等腰梯形的性质2696387 分析： 首先作辅助线：过点 A 作 AECD 交 BC 于点 E，根据等腰梯形的性质，易得四边形 AECD 是平行四边形， 根据平行四边形的对边相等，即可得 AE=CD=2，AD=EC=2，易得 ABE 是等边三角形，即可求得 BC 的 长 解答： 解：过点 A 作 AECD 交 BC 于点 E， ADBC， 四边形 AECD 是平行四边形， AE=CD=2，AD=EC=2， B=60， BE=AB=AE=2， BC=BE+CE=2+2=4 点评： 此题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质以及等边三角形的性质解题的关键是注意平移梯 形的一腰是梯形题目中常见的辅助线 三、解答题：（本题共 2 个小题，每小题 6 分，共 12 分） 19 （6 分） （2012长沙）计算： 考点： 实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值2696387 专题： 计算题 分析： 分别计算负整数指数幂及二次根式的化简，然后代入 sin30的值即可 解答： 解：原式=2+2 3=0 点评： 此题考查了实数的运算，解答本题的关键是熟练负整数指数幂的运算，也要熟练记忆一些特殊角的三角函 数值 20 （6 分） （2012长沙）先化简，再求值： ，其中 a=2，b=1 24 考点： 分式的化简求值2696387 分析： 首先把分子分母分解因式，再约分化简，然后根据同分母的分数相加，分母不变分子相加进行计算，结果 要化为最简形式，再把 a=2， b=1 代入化简后的结果可得出分式的值 解答： 解：原式= + = + = ， 把 a=2，b=1 代入得：原式= =2 点评： 此题主要考查了分式的化简求值，一定要先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的 值 四解答题：（本题共 2 个小题，每小题 8 分，共 16 分） 21 （8 分） （2012长沙）某班数学科代表小华对本班上期期末考试数学成绩作了统计分析，绘制成如下频 数、频率统计表和频数分布直方图，请你根据图表提供的信息，解答下列问题： 分组 49.559.5 59.569.5 69.579.5 79.589.5 89.5100.5 合计 频数 2 a 20 16 4 50 频率 0.04 0.16 0.40 0.32 b 1 根据上述信息，完成下列问题： （1）频数、频率统计表中，a= 8 ；b= 0.08 ； （2）请将频数分布直方图补充完整； （3）小华在班上任选一名同学，该同学成绩不低于 80 分的概率是多少？ 考点： 频数（率）分布直方图；频数（率）分布表；概率公式2696387 专题： 图表型 分析： （1）根据 a=总人数各分数段的人的和计算即可得解， b=1各分数段的频率的和计算即可得解； （2）根据第二组的频数补全统计图即可； （3）求出后两组的频率之和即可 解答： 解：（1）a=502 20164=5042=8， 25 b=10.040.160.400.32=10.92=0.08； 故答案为：8，0.08 （2）如图所示； （3）该同学成绩不低于 80 分的概率是：0.32+0.08=0.40=40% 点评： 本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、 分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题 22 （8 分） （2012长沙）如图，A，P，B，C 是半径为 8 的 O 上的四点，且满足BAC=APC=60， （1）求证：ABC 是等边三角形； （2）求圆心 O 到 BC 的距离 OD 考点： 圆周角定理；等边三角形的判定；垂径定理；解直角三角形2696387 专题： 探究型 分析： （1）先根据圆周角定理得出ABC 的度数，再直接根据三角形的内角和定理进行解答即可； （2）连接 OB，由等边三角形的性质可知，OBD=30 ，根据 OB=8 利用直角三角形的性质即可得出结 论 解答： （1）证明：在ABC 中， BAC=APC=60， 又APC=ABC， ABC=60， ACB=180BACABC=1806060=60， ABC 是等边三角形； 26 （2）解：连接 OB， ABC 为等边三角形，O 为其外接圆， O 为ABC 的外心， BO 平分ABC， OBD=30， OD=8 =4 点评： 本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定，垂径定理，解直角三角形等知识，将各知识点有机结合，旨 在考查同学们的综合应用能力 五、解答题（本题共 2 个小题，每小题 9 分，共 18 分） 23 （9 分） （2012长沙）以“开放崛起，绿色发展”为主题的第七届“中博会”已于 2012 年 5 月 20 日在湖南 长沙圆满落幕，作为东道主的湖南省一共签订了境外与省外境内投资合作项目共 348 个，其中境外投资合 作项目个数的 2 倍比省外境内投资合作项目多 51 个 （1）求湖南省签订的境外，省外境内的投资合作项目分别有多少个？ （2）若境外、省外境内投资合作项目平均每个项目引进资金分别为 6 亿元，7.5 亿元，求在这次“中博会” 中，东道主湖南省共引进资金多少亿元？ 考点： 二元一次方程组的应用2696387 分析： （1）利用境外投资合作项目个数的 2 倍比省外境内投资合作项目多 51 个，得出等式方程求出即可； （2）根据（1）中数据以及境外、省外境内投资合作项目平均每个项目引进资金分别为 6 亿元，7.5 亿元， 得出即可 解答： 解：（1）设境外投资合作项目个数为 x 个， 根据题意得出：2x（348 x） =51， 解得：x=133， 故省外境内投资合作项目为：348133=215 个 答：境外投资合作项目为 133 个，省外境内投资合作项目为 215 个 （2）境外、省外境内投资合作项目平均每个项目引进资金分别为 6 亿元，7.5 亿元， 湖南省共引进资金：1336+2157.5=2410.5 亿元 答：东道主湖南省共引进资金 2410.5 亿元 点评： 此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是弄清题意，找到等量关系：境外投资合作项目个数的 2 倍比 省外境内投资合作项目多 51 个列出方程是解题关键 27 24 （9 分） （2012长沙）如图，已知正方形 ABCD 中，BE 平分 DBC 且交 CD 边于点 E，将 BCE 绕点 C 顺时针旋转到DCF 的位置，并延长 BE 交 DF 于点 G （1）求证：BDG DEG； （2）若 EGBG=4，求 BE 的长 考点： 相似三角形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质2696387 专题： 证明题；几何综合题 分析： （1）根据旋转性质求出EDG=EBC= DBE，根据相似三角形的判定推出即可； （2）先求出 BD=BF，BG DF，求出 BE=DF=2DG，根据相似求出 DG 的长，即可求出答案 解答： （1）证明：将BCE 绕点 C 顺时针旋转到DCF 的位置， BCEDCF， FDC=EBC， BE 平分DBC， DBE=EBC， FDC=EBD， DGE=DGE， BDGDEG （2）解：BCEDCF ， F=BEC，EBC= FDC， 四边形 ABCD 是正方形， DCB=90，DBC= BDC=45， BE 平分DBC， DBE=EBC=22.5=FDC， BEC=67.5=DEG， DGE=18022.567.5=90， 即 BGDF， BDF=45+22.5=67.5，F=90 22.5=67.5， BDF=F， BD=BF， DF=2DG， BDGDEG，BGEG=4， = ， BGEG=DGDG=4， DG=2， 28 BE=DF=2DG=4 点评： 本题考查了相似三角形的性质和判定，正方形的性质，旋转的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推 理的能力，本题综合性比较强，有一定的难度 六、解答题（本题共 2 个小题，每小题 10 分，共 20 分） 25 （10 分） （2012长沙）在长株潭建设两型社会的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公 司以 25 万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入 100 万元购买生产设备，进行该产品的生产加 工已知生产这种产品的成本价为每件 20 元经过市场调研发现，该产品的销售单价定在 25 元到 30 元 之间较为合理，并且该产品的年销售量 y（万件）与销售单价 x（元）之间的函数关系式为： （年获利=年销售收入 生产成本投资成本） （1）当销售单价定为 28 元时，该产品的年销售量为多少万件？ （2）求该公司第一年的年获利 W（万元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年， 该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？ （3）第二年，该公司决定给希望工程捐款 Z 万元，该项捐款由两部分组成：一部分为 10 万元的固定捐款； 另一部分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款若除去第一年的最大获利（或最小亏损）以及第 二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不低于 67.5 万元，请你确定此时销售单价的范围 考点： 二次函数的应用2696387 分析： （1）因为 252830，所以把 28 代入 y=40x 即可求出该产品的年销售量为多少万件； （2）由（1）中 y 于 x 的函数关系式和根据年获利=年销售收入生产成本 投资成本，得到 w 和 x 的二次函 数关系，再有 x 的取值范围不同分别讨论即可知道该公司是盈利还是亏损，若盈利，最大利润是多少？若 亏损，最小亏损是多少？ （3）由题目的条件得到 w 和 x 在自变量 x 的不同取值范围的函数关系式，再分别当 w=67.5，求出对应 x 的值，结合 y 于 x 的关系中的 x 取值范围即可确定此时销售单价的范围 解答： 解：（1）252830 ， ， 把 28 代入 y=40x 得， y=12（万件） ， 答：当销售单价定为 28 元时，该产品的年销售量为 12 万件； 29 （2） 当 25x30时，W=（40 x） （x20）25 100=x2+60x925=（x30） 225， 故当 x=30 时，W 最大为25，即公司最少亏损 25 万； 当 30x35 时，W=（250.5x） （x20） 25100 = x2+35x625= （x 35） 212.5 故当 x=35 时，W 最大为12.5 ，即公司最少亏损 12.5 万； 对比 ， 得，投资的第一年，公司亏损，最少亏损是 12.5 万； 答：投资的第一年，公司亏损，最少亏损是 12.5 万； （3） 当 25x30时，W=（40 x） （x201） 12.510=x2+59x782.5 当 W=67.5，则x 2+59x782.5=67.5 化简得：x 259x+850=0 x1=25；x 2=34 此时，当两年的总盈利不低于 67.5 万元，此时 25x30； 当 30x35 时，W=（250.5x） （x20 1）12.510= x2+35.5x547.5， 当 W=67.5，则 x2+35.5x547.5=67.5， 化简得：x 271x+1230=0 x1=30；x 2=41， 此时，当两年的总盈利不低于 67.5 万元，此时 30x35， 答：到第二年年底，两年的总盈利不低于 67.5 万元，此时销售单价的范围是 25x30 又 30x35 点评： 本题主要考查二次函数在实际中应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要弄懂题 意，确定变量，建立函数模型解答，其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值 26 （10 分） （2012长沙）如图半径分别为 m，n（0mn）的两圆O 1 和O 2 相交于 P，Q 两点，且点 P（4，1） ，两圆同时与两坐标轴相切，O 1 与 x 轴，y 轴分别切于点 M，点 N，O 2 与 x 轴，y 轴分别切 于点 R，点 H （1）求两圆的圆心 O1，O 2 所在直线的解析式； （2）求两圆的圆心 O1，O 2 之间的距离 d； （3）令四边形 PO1QO2 的面积为 S1，四边形 RMO1O2 的面积为 S2 试探究：是否存在一条经过 P，Q 两点、开口向下，且在 x 轴上截得的线段长为 的抛物线？若 存在，请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由 30 考点： 二次函数综合题2696387 分析： （1）根据直线过点 O1（m，m ） ，O 2（n，n） ，利用待定系数法求出其解析式； （2）本问有一定难度可分以下步骤解决： 第 1 步：首先根据 P、Q 关于连心线对称，求出 Q 点的坐标； 第 2 步：求出 m、n利用两点间的距离公式，求出 O1Q，而 O1Q=m，从而得到关于 m 的一元二次方程， 求解即可得到 m 的大小；同理求得 n； 第 3 步：利用两点间距离公式求 d （3）本问有一定难度可分以下步骤解决： 第 1 步：假设存在这样的抛物线，其解析式为 y=ax2+bx+c，因为开口向下，所以 a0； 第 2 步：求出 S1、S 2，再代入计算得： =1，即抛物线在 x 轴上截得的线段长为 1； 第 3 步：根据抛物线过点 P（4，1） ，Q（1，4） ，用待定系数法求得其解析式为：y=ax 2（5a+1）x+5+4a； 第 4 步：由抛物线在 x 轴上截得的线段长为 1，即|x 1x2|=1，得到关于 a 的一元二次方程，此方程的两个根 均大于 0，这与抛物线开口向下（a0）相矛盾，所以得出结论：这样的抛物线不存在 解答： 解：（1）由题意可知 O1（m，m ） ，O 2（n，n） ， 设过点 O1，O 2 的直线解析式为 y=kx+b，则有： （0 mn） ，解得 ， 所求直线的解析式为：y=x （2）由相交两圆的性质，可知 P、Q 点关于 O1O2 对称 P（ 4，1） ，直线 O1O2 解析式为 y=x，Q （1，4） 如解答图 1，连接 O1Q Q（ 1， 4） ，O 1（m，m） ，根据两点间距离公式得到： O1Q= = 又 O1Q 为小圆半径，即 QO1=m， =m，化简得：m