2013年指南第二段复习资料(答案成稿2)

动点问题中的图形变换答案 刘丽伸 【典型例题】 (1) BAO=60；直线 AB 解析式为 36xy （2）由题意知 PE=6，PD:PE= 3:1 PD=2 ,PD=PD=23 DD=4 ,EDD=E DD=60 DDE 为等边三角形 312642121DPESD OP=t,OD= ,t3 OM= = =O)(tt EDD=60, OBA=30, BFD=30 EFA=EAF=30,EF=AE=t FNE=90,NE= ,FN=2tt3 281ttFNESFN 363)(36(221 2 tttODMDO 当 D 点 O 相重合时， ，t=2 ,4t 当 时30tFNEMDOESSs = 2283)6(31tt D x y A B O P C EN M D F = 36852t 当 D与点 B 重合时， 36234t 当 时2t2831tSsFEND 当 时634t PD= ,OP=t2 OD= t BD= t34)(36 DN= 421t BN= )3(t S= )34(2)34(2121 ttBND = 638t 综上： )364(368212)0(5ttttS xyABOP C EDD F N xy A B O P C E D D N 九年级数学 第 3 页 共 18 页 (1) 设点 E 的坐标为（m，0） ， B（1，4） 、C（3，2） BE= 4)( CE= 2 BCE 是以 BC 为底边的等腰三角形 =24)1(m2)3( 解得：m=-1 E(-1，0) （2）连结 EE交 FG 于点 M，交 BC 于点 N EEFG， EP=x+1 直线 AB 的解析式为： ，BAO=455xy EMP=90，EM= ，EM=)1(2)1(2x PFBC ， EFGEBC ENMBCFG B（1，4） 、C（3，2） BC= 2)4()( EN= 362AE FG= =3 )1(x)1(3x 当点 E 在 BC 上时，EE= EE=2EM=2 =2)1(2x)( = x=2)1(2x3 时 O x y B C E F G E AP N M O x y B C E F G E AP N M 613)1(2)(32121 2 xxxMEFGS 当 时5x EN=EE-EN= )()( PFBC ， EFGEBC ENMBCFG FG= )1(32x =NEMFGHK)(2x HK= =)1(x)(3)2(xHCEFGS = )2(3)2(632 xxx = 51 综上： )52(3521162xxS 【迁移变式】 解：（1）60 （2） 当 0t 2 时 SS PB E BEPE t t t 2 12 12 3 当 2t 4 时 SS PB E SFB C t 2 ( 2t4 )2 t 24 t43 3 A C B D P E B O x y B C E F N E AP H K M G 九年级数学 第 5 页 共 18 页 当 4t 5 时 SS PGH PHGK 4 24 12 12 3 3 综上得，S 与 t 之间的函数关系式为： S （3）若DPB 90 B PB60，DPA 30 又A60 ，ADP 90 AP2AD ，102t8，t 1 若PDB 90 作 DM AB 于 M，DNB B 于 N 则 AM2，DM2 ，NC 3，DN 33 3 PM|1022t|82t| NB|342 t|72t| DP 2DM 2PM 2( 2 )2( 82t )2( 82t )2123 DB 2DN 2NB ( 3 )2( 72t )2( 72t )2273 DP 2DB 2B P 2 ( 82t )212( 72t )227( 2t )2 解得 t1 5（舍去） ，t 2 若DB P90，则 DB 2B P 2DP 2 ( 72t )227( 2t )2( 82t )212 解得 t11（舍去） ，t 20（舍去） 存在以点 D、P、B 为顶点的三角形为直角三角形，此时 t1 或 t 若 DPB P，则( 82t )212( 2t )2 解得 t 198 若 BDB P，则( 72t )227( 2t )2 解得 t 197 若 DPDB ，则( 82t )212 ( 72t )227 解得 t0（舍去） 存在以点 D、P、B 为顶点的三角形为等腰三角形，此时 t 或 t 198 197 2、解：（1）对于 yx 6 ，令 y0，得 x6 点 N 的坐标为（6，0） A C B D P E B F A C B D P E B A C B D P E B M N A C B D P E B A C B D P B E A B l1 N M x l2 CD y O A l1 N M x l2 CD y O B 由题意，得 解得 点 M 的坐标为（4，2） （2）当 0t 1 时，S t 2 14 当 1t 4 时，S t 12 14 当 4t 5 时，S t 2 t 34 132 494 当 5t 6 时，St 132 当 6t 7 时，S ( 7t )2 12 （3）当 0t 1 时，S 最大 14 当 1t 4 时，S 最大 74 当 4t 5 时，S ( t )2 34 133 116 当 t 时，S 最大 133 116 当 5t 6 时，S 最大 32 当 6t 7 时，S 最大 12 综上可知，当 t 时，S 的值最大，且最大值是 133 116 抛物线中的图形变换 1、解：（1）当 m3 时，yx 26x 令 y0，得x 26x 0，x 10，x 26 A（6，0） A l1 N M x l2 CD y O B A l1 N M x l2 CD y O B A l1 N M x l2 CD y O B 九年级数学 第 7 页 共 18 页 当 x1 时，y5，B（1，5） 抛物线 yx 26x 的对称轴为直线 x3 又B，C 关于对称轴对称， BC 4 （2）过点 C 作 CHx 轴于点 H（如图 1） 由已知得ACPBCH90 ACHPCB 又AHCPBC90，ACHPCB AHCH PBBC 抛物线 yx 22mx 的对称轴为直线 xm ，其中 m1 又B，C 关于对称轴对称， BC 2( m1) B（1，2m1） ，P（1，m） ，BPm 1 又A（2m，0） ，C（2m1， 2m1） ，H（2m1，0） AH1，CH2m1 ，m 12m 1 m 12(m 1) 32 （3）B，C 不重合，m1 （）当 m1 时，BC2( m1)，PMm ，BPm1 （i）若点 E 在 x 轴上（如图 1） CPE90，MPEBPCMPEMEP 90 BPCMEP 又CBPPME90，PCEP BPCMEP，BC PM 2( m1)m，m2 此时点 E 的坐标是（2，0） （ii）若点 E 在 y 轴上（如图 2） ， 过点 P 作 PNy 轴于点 N 易证BPCNPE，BP NPOM1 m11，m2， 此时点 E 的坐标是（0，4） （）当 0m1 时，BC2( 1m )，PMm ，BP1m （i）若点 E 在 x 轴上（如图 3） ， 易证BPCMEP，BC PM 2( 1m )m，m 23 此时点 E 的坐标是（ ，0） 43 （ii）若点 E 在 y 轴上（如图 4） ， 过点 P 作 PNy 轴于点 N xO y A B M C P 图 2 E N xO y A B M C P 图 1 HE xO y N B M C P 图 4 E xO y A B M C P 图 3 E 易证BPCNPE，BP NPOM1 1m1，m0（舍去） 综上所述，当 m2 时，点 E 的坐标是（0，2）或（0，4） 当 m 时，点 E 的坐标是（ ，0） 23 43 2、由题意可得 ，解得：)6(1xy 3412xy （） h=2, 2 （） 设对称轴与直线 AD 交于点 Q，AD= ,MN=22 PMN 与PAD 的面积相等,PMN 与PAD 的高的比为 ：2 = 1: 由题意可知 AN=4，当 时，代入抛物线 ，NQ=42x4y AN=NQ，QAN=45 ， 过点 Q 作 x 轴的平行线交抛物线于点 P 和 1 过点 P 作 PFAD，过点 作 GAD1 LQF=GQK=45 21GF 点 P 和 为所求 当 时4y ，解得 ，312x241x24x P（ ，4） ， （ ，4）P 【拓展提升】 1、解：（1）y 1x 23x B（3，0） （2） 由题意，可得 C（6，0） 过 A 作 AHx 轴于 H，设 OPa 可得ODP OAH， 2 DPOP AHOH DP2OP 2a x A y O D B CP F ED Q G N M H 九年级数学 第 9 页 共 18 页 正方形 PDEF，E（3a，2a） E（3a，2a）在抛物线 y1 x 23x 上 2a9a 29a，解得 a10（舍去） ，a 2 79 OP 的长为 79 设直线 AC 的解析式为 ykxb 解得 k ，b 25 125 直线 AC 的解析式为 y x 25 125 由题意，OPt，PF 2t，QC2t，GQ t 45 当 EF 与 MN 重合时，则 OFCN6 3t2t t6，t 45 3029 当 EF 与 GQ 重合时，则 OFQC6 3t2t6，t 65 当 DP 与 MN 重合时，则 OPCN6 t2t t6，t 45 3019 当 DP 与 GQ 重合时，则 OPCQ6 t2t6，t2 2、解：（1）3；4.5 （2）由题意，PEFMEN EFAC， C90， BEF90 ，CPE PEF ENAB， BMEN CPEB，tan CPE tan B tanCPE ，tanB CECP ACBC 34 ，CP CE CECP 34 43 AP3t（0 t 2） ，CE t，CP63t 43 63t t，解得 t 43 43 5443 O P N Q C x y D A E F M G O P N Q C x y D A E F M G O PN Q C x y D A E F M G O PN Q C x y D A E F M G E B M C A P l F N （3）S S 的最大值为 163 - - 解：（1）y x 22x ( x m )2 m 2m 2m 12 12 抛物线的顶点 B 的坐标为（ m， m） 12 12 （2）令 x 22x 0，解得 x10，x 2m 2m 抛物线 y x 22x 与 x 轴负半轴交于点 A 2m A（m，0）且 m0. 过点 D 作 DFx 轴于 F 由 D 为 BO 中点，DFBC，可得 CFFO CO 12 D BC 12 由抛物线的对称性得 ACOC， AFAO 34 DFEO ，ADF AEO， DFEO AFAO 由 E（0，2） ，B（ m， m） ，得 OE2，DF m 12 12 14 ，m6 34 抛物线的解析式为 y x 22x 13 （3）依题意，得 A（6，0） ，B（3，3） ，C （3，0） 可得直线 OB 的解析式为 yx，直线 BC 为 x3 作点 C 关于直线 BO 的对称点 C1（0，3） ，连接 AC1 交 BO 于 M，则 M 即为所求 由 A（6，0） ，C 1（0，3） ，可得直线 AC1 的解析式为 y x3 12 由 解得 点 M 的坐标为（2，2） A C1B C H M O P G y x Q A C1B C M O y x A B C D O y x E F 九年级数学 第 11 页 共 18 页 由点 P 在抛物线 y x 22x 上，设 P（t， t 22t） 13 13 当 AM 为平行四边形的一边时 如右图，过 M 作 MGx 轴于 G，过 P 作 PHBC 于 H 则 xGx M 2，x H x B 3 可证AMGPQH，得 PHAG4 t(3)4，t1 P 1（1， ） 73 如右图，同理可得 PHAG4 3t4，t7 P 2（7， ） 73 当 AM 为平行四边形的对角线时 如右图，过 M 作 MHBC 于 H，过 P 作 PGx 轴于 G 则 xH x B 3，x G x P t 可证APGMQH ，得 AGMH1 t(6)1，t5 P 3（5， ） 53 综上，点 P 的坐标为 P1（1， ） ，P 2（7， ） ，P 3（5， ） 73 73 53 迁移变式 解：（1）点 B 的坐标为（1， ） ，点 C 的坐标为（3，0）3 抛物线的解析式为 y x 2 x （2）设折叠后点 O 落在点 F 处 当 0t 1 时，重叠部分为 DEF，如图（1） 可得 DE t，S ODDE t 2 12 此时 S 的最大值为 当 1t 时，重叠部分为四边形 BDEG，如图（2） 32 SS DEF SBGF t 2 (2t2) (2t2) 12 t 22 t ( t )2 3 3 65 A C1B C H M O P G y x Q A C1B C H M O P G y xQ xO y A B C E 图（1） D F xO y A B C E 图（3） D F G xO y A B C E 图（2） D F G 此时 S 的最大值为 当 t 2 时，重叠部分为 BDG，如图（3） 32 S (2t ) (2t ) ( t2 )2 12 3 此时 S 的最大值为 （） 存在，点 Q 的坐标为： Q1（12 ， ） ，Q 2（12 ， ） ，Q 3（2， 2 3 2 3 ） ，Q 4（2， ） ，Q 5（4， ） xO C y B Q1 P1 xO C y B Q2 P2 xO C y B Q3 P3 xO C y B Q5 P5 xO C y B Q4 P4 九年级数学 第 13 页 共 18 页 2.解：（1）y2x 22x 4（2）略 （3）旋转中心的坐标为：（2，2） ， （ ，） ， （3，） ， （1，） 5232 32 32 提示：记旋转后的三角形为O EB，旋转中心为 F（u，v） 由于BOE90，故OEB 旋转 90后 O、B 两点不可能同时落在抛物线上 若OEB 绕旋转中心顺时针旋转 90 （i）当 E、B 两点同时落在抛物线上时， 则点 E 在 B 上方，如图 8 设 B（m，2m 22m4） ， 则 E（m1，2m 22m 4 2） 点 E 在抛物线 y2x 22 x4 上 2( m1 )22( m1 )42m 22m42 解得 m ，B （ ，） 32 3252 由 Rt BFGRt BFH ，得 BGBH u2，FGFHv 解得 F（3，） 32 （ii）当 O、E 两点同时落在抛物线上时，则点 O 在 E 右侧，如图 9 设 E（m，2m 22m4） ， 则 O（m1，2m 22m 4） 点 O 在抛物线 y2x 22x4 上 2( m1 )22( m1 )42m 22m4 解得 m0，O （1，4），B （1，2） 由 Rt BFGRt BFH ，得 BGBH u2，F GFHv 解得 F（ ，） 5232 若OEB 绕旋转中心逆时针旋转 90 （i）当 E、B 两点同时落在抛物线上时， 则点 B 在 E 上方，如图 10 可得 E（ ，） ，O （ ，） 3252 1252 由 Rt OFG RtFOH ，得 FGOHu，O GFH v 解得 F（1，） 32 （ii）当 O、E 两点同时落在抛物线上时，则点 O 在 E 左侧， 如图 11 可得 O（0，4） 由 Rt OFG RtFOH ，得 FGOHu，O GFH v 解得 F（2，2） 拓展提升 xO y A B E 图 10 O E B E F G H xO y A B E 图 9 O B E FG H xO y A B E 图 11 E B O F G H x y B O A C D 1.解：（1）由题意可设抛物线的表达式为 ya( x2) 21 点 C（0，3）在抛物线上， a( 02) 213，解得 a1 抛物线的表达式为 y( x 2)21，即 yx 24x3 （2）略 （3）假设存在点 E，使得以 D、E、F 为顶点的三角形与BCO 相似 BCO 是等腰直角三角形 以 D、E、F 为顶点的三角形也必须是等腰直角三角形 由 EFOC 得DEF 45 故以 D、E、F 为顶点的等腰直角三角形只能以点 D、F 为直角顶点 当 F 为直角顶点时，DF EF，此时DEFBCO DF 所在的直线为 y1 由 解得 x2 2 将 x2 代入 yx3，得 y1 ，E（2 ，1 ）2 2 2 2 将 x2 代入 yx3，得 y1 ，E（2 ，1 ）2 2 2 2 当 D 为直角顶点时，DFED，此时EFDBCO 点 D 在对称轴上，DADB CBA45，DAB45，ADB 90 ADBC，故点 F 在直线 AD 上 设直线 AD 的解析式为 ykxb，将 A（1，0） ，D （2，1 ）代入得 解得 直线 AD 的解析式为 yx1 由 解得 x11，x 24 将 x1 代入 yx 3，得 y2，E（1 ，2） 将 x4 代入 yx 3，得 y1，E（4 ，1） 综上所述，点 E 的坐标可以为（2 ，1 ） ， （2 ，1 ） ，2 2 2 2 （1 ，2） ， （4 ，1） 2.解：（1）B（3，0） ，C（0 ， ）3 设过 A、B 、C 三点的抛物线为 ya( x1 )( x3 )（a0 ） C（0， ）在抛物线上3 a( 01 )( 03 )，a 3 y ( x1 )( x3 )，即 y x 2 x 3 x y B O A EC DF x y B O A E C D (F) x y B O A E C D F 九年级数学 第 15 页 共 18 页 （2）当OCEOBC 时，则 OCOB OEOC OC ，OEAEAOx1，OB33 ，x2 当 x2 时，OCEOB 存在点 P 由可知 x2，OE 1，E（1，0） 此时CAE 为等边三角形，AEC A60 又CEM60，MEB60 点 C 与点 M 关于抛物线的对称轴 x 1 对称 b2a C（0， ） ，M（2， ）3 3 过 M 作 MNx 轴于点 N（2，0） MN ，EN1，EM 23 若PEM 为等腰三角形，则： ）当 EPEM 时 EM2，且点 P 在直线 x 1 上 P（1，2）或 P（1，2） ）当 EMPM 时，点 M 在 EP 的垂直平分线上 P（1，2 ）3 ）当 PEPM 时，点 P 是线段 EM 的垂直平分线与直线 x1 的交点 P（1， ) 综上所述，存在点 P（1，2）或（1，2）或（1，2 ）或（1， ） ，使PEM 是等腰3 三角形 几何推理与几何计算中的图形变换 【典型例题】 1、解：（1）BE2CF，BECF （2）仍然成立 证明：如图 2，延长 CF 到 H，使 HFCF，连接 AH、DH y x B O C A 1 M E A B C D E F 图 2 H AFDF ，四边形 AHDC 为平行四边形 AHCDCE，CAH180ACD BCEBCADCEACD180 ACD CAHBCE 又ACBC，CAHBCE CHBE ，ACHCBE BECH2CF CBEBCHACHBCH90 即 BECF （3）如图 3，设 BE、CF 相交于点 O，则GOC 90 作 BC 的垂直平分线，交 BG 于点 M，连接 CM 则 BMCM，MBC MCB ，OMC 2MBC ACDE，CDE45，DCA45 DCF30，ACHCBE15 OMC30 设 OGx，则 CG2x ，OC x，BMCM2 x3 3 OM OC3x，MG 3xx2x3 BGBMMG2 x2x ，BOBM