2012年深圳市高三年级第二次调研考试_文科数学参考答案与评分标准

2012 年深圳市高三年级第二次调研考试 数学（文科）参考答案及评分标准 2012-4-23 说明： 1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据 试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 2. 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题 的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分 数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4. 只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数 一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算。共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A D B A B C C D 二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性共 5 小题，每小题 5 分， 满分 20 分其中第 14、15 两小题是选作题，考生只能选做一题，如果两题都做， 以第 14 题的得分为最后得分 11 （第一空 3 分，第二空 2 分） 12 13. 14 15 4, 2179023 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步 骤 16 （本小题满分 12 分） 在 中，角 为锐角,记角 所对的边分别为 设向量ABC,ABC,.abc 且 与 的夹角为(cos,in)m(cosin)m3 （1）求 的值及角 的大小； （2）若 ，求 的面积 7,3aABS 【说明】 本小题主要考查向量的数量积和夹角的概念，以及用正弦或余弦定理解三 角形，三角形的面积公式，考查了简单的数学运算能力 解：（1） 22cosin1,Am22cos(in)1,A 3 分n=.3 ，22csics 5 分1o.A0,2, 7 分2.36 （2）(法一) , 及 ,7,3ac,6A22cosabA , 即 (舍去) 或 10 分2b1b4. 故 12 分1sin.Sc (法二) , 及 ,7,3a,6AsiniacC .7 分siin27cC , a ,025cos1in7A132sini()si()cosin67BCC .10 分4iabA 故 12 分1sn32Sc 17 （本小题满分 12 分） 设函数 ，其中 是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求cbxf2)(, 事件 A “ 且 ”发生的概率.15(0)3f (1) 若随机数 ；,4 (2) 已知随机函数 产生的随机数的范围为 , 是算法语句Rand10xbc 2012 年深圳市高三年级第二次调研考试数学（文科）答案及评分标准第 3 页 共 10 页 4 43 O (1,3)c b 和 的执行结果(注: 符号“ ”表示“乘号”)4Rand()b4and)c 【说明】本题主要考查随机数、随机函数的定义，古典概型，几何概型，线性规划等 基础知识，考查学生转换问题的能力，数据处理能力 解：由 知，事件 A “ 且 ”，即 1 分cbxf2)( (1)5f(0)3f4.3bc (1) 因为随机数 ，所以共等可能地产生 个数对 ，,1,3416(,) 列举如下： ，(1,)2,(),(2),(,3)24,()3,2(),4 4 分434. 事件 A ： 包含了其中 个数对 ，即：bc6(,)bc 6 分(1,)2,(3),1(2),3. 所以 ，即事件 A 发生的概率为 7 分68P3.8 (2) 由题意， 均是区间 中的随机数，产生的点 均匀地分布在边,bc0,4(,)bc 长为 4 的正方形区域 中（如图） ，其面积 . 8 分16)S 事件 A ： 所对应的区域为如图所示的梯形（阴影部分） ，3c 其面积为： .10 分115()(4)22S 所以 ，()15632APS 即事件 的发生概率为 12 分. EF O 1O D1 B1C1 D C BAA1 18 （本小题满分 14 分） 如图，四棱柱 的底面 是平行四边形， 分别在棱1ABCDABCD,EF1,B 上，且 1FE （1）求证： ；1 （2）若 平面 ，四边形 是边长为 的正方形，且 ，11EF61 ，求线段 的长, 并证明：D1C1.AC 【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，考查线线、线面平行的性质和判定， 线线垂直的性质和判定，考查空间想象能力、运算能力、把空间问题转化为平 面问题的意识以及推理论证能力 证明：（1） 四棱柱 的底面 是平行四边形，1ABCDABCD 1 分1,. 平面 平面1,1, 平面 平面 3 分1AAB1, 平面 ，,1, 平面 平面 4 分1B.CD ，AFE 四点共面. 5 分1,第 18 题图 A 1 A B CD C1 B 1D1F E 2012 年深圳市高三年级第二次调研考试数学（文科）答案及评分标准第 5 页 共 10 页 平面 平面 ,平面 平面 ,1AECF1BAE1CF11DFC 7 分. （2） 设 11,DO 四边形 ,四边形 都是平行四边形，ABCEF 为 ， 的中点， 为 ， 的中点. 8 分1AC 连结 由(1)知 ,从而 .1,OD11()2OBEDF ， ，BE2F 10 分13.C 平面 ,四边形 是正方形,A1AECF ， ， 均为直角三角形,得1BD ,2221193C 65,AE2242.BDF ，即 . 12 分CACB 平面 平面1,D . AB 平面1,C1,C 平面 13 分. 平面 1E1,B 14 分.AC 19 （本小题满分 14 分） 已知二次函数 的最小值为 且关于 的不等式 的解集为fx4,x0fx ,13,Rx （1）求函数 的解析式；fx （2）求函数 的零点个数.()4lngx 【说明】本题主要考查二次函数与一元二次不等式的关系，函数零点的概念，导数运 算法则、用导数研究函数图像的意识、考查数形结合思想，考查考生的计算推理能力及 分析问题、解决问题的能力 解：（1） 是二次函数, 且关于 的不等式 的解集为fxx0fx ,13R , 且 . 4 分2()3fxaxaxa ,且 ,0,1414f 6 分min()4,.fx 故函数 的解析式为23.fx (2) , 23()4ln4ln(0)xg x . 8 分22(1)1x 的取值变化情况如下：,()xg 11 分 (0,1)(1,3)(3,)gx0( 单调增加 极大值 单调减少 极小值 单调增加 2012 年深圳市高三年级第二次调研考试数学（文科）答案及评分标准第 7 页 共 10 页 当 时, ； 12 分03x140gx 又 .13 分555e2029 故函数 只有 1 个零点,且零点 14 分()x50(3,e)x 20 （本小题满分 14 分） 如图， 是抛物线 上的两动点（ 异于原点 ） ，且 的,MN21:4Cxy,MNOMN 角平分线垂直于 轴，直线 与 轴， 轴分别相交于 .yN,AB (1) 求实数 的值，使得 ； ,OB (2）若中心在原点，焦点在 轴上的椭圆 经过 . 求椭圆 焦距的最大值及此x2C,2C 时 的方程.2C 【说明】本题主要考查直线的斜率、抛物线的切线、 两直线平行的位置关系，椭圆的基本性质， 考查学生运算能力、推理论证以及分析问 题、解决问题的能力，考查数形结合思想、 化归与转化思想 解: (1) 设 221112(,)(,)0,.4xMNxx 由 的角平分线垂直于 轴知，直线 与直线 的倾斜角互补，OyOMN 从而斜率之和等于 ，即 化简得 .3 分0 2211240,x21x第 20 题图 N MA OB C 1 x y C2 由点 知直线 的方程为 . 2211(,)(,)4xMNxMN211()4xyx 分别在其中令 及 得 .5 分0y211(,0)(,)AB 将 的坐标代入 中得 ,BNON11222()4x 即 ,7 分24 所以 8 分1,.3 (2) 设椭圆 的方程为 ,2C2(0)xyab 将 , 代入,得 ,9 分1(0)Ax21()4M24112,6xx 解得 , 由 得 . 10 分2211,ab2ab2108 椭圆 的焦距2C222221111(48)33(48) 3xcabx （或 ） 12 分22221113(48)()x 当且仅当 时,上式取等号, 故 ,13 分2211,48xmax()83c 此时椭圆 的方程为 14 分2C 2.96y 2012 年深圳市高三年级第二次调研考试数学（文科）答案及评分标准第 9 页 共 10 页 21 （本小题满分 14 分） 定义数列 ： ，且对任意正整数 ，有na12,an .记数列 前 项和为 .12()()nn anS (1) 求数列 的通项公式与前 项和 ； n nS （2）问是否存在正整数 ，使得 ？若存在，则求出所有的正整数对,m21 ；若不存在，则加以证明.(,) 【说明】考查了等差、等比数列的通项公式、求和公式，数列的分组求和等知识，考 查了学生变形的能力，推理能力，探究问题的能力，分类讨论的数学思想、 化归与转化的思想以及创新意识 解：（1）对任意正整数 ， ，k21221 21()()kkk kaaa .1 分2 2()3k ka 所以数列 是首项 ,公差为 等差数列；数列 是首项21k1 2k ,公比为 的等比数列. 2 分23 对任意正整数 , , .3 分k21a123kka 所以数列 的通项公式n 1 ,.nknkN 或 4 分12 ,.3Nnnka 对任意正整数 ,k21321242()()k kSaa .5 分(1) k 6 分21221331kkkkSa 所以数列 的前 项和为 . na123,1,knnkS N 或 7 分 1223,